高中数学人教A版2第二章推理与证明合情推理与演绎推理 第2章

学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．(2023·厦门高二检测)用火柴棒摆“金鱼”，如图2­1­7所示：图2­1­7按照上面的规律，第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为()A．6n－2 B．8n－2C．6n＋2 D．8n＋2【解析】观察易知第1个“金鱼”图中需要火柴棒8根，而第2个“金鱼”图中比第1个“金鱼”图中多的部分需要火柴棒6根，第3个“金鱼”图中比第2个“金鱼”图中多的部分需要火柴棒6根……由此可猜测第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数比第n－1个“金鱼”图需要火柴棒的根数多6，即各个“金鱼”图需要火柴棒的根数组成以8为首项，6为公差的等差数列，易求得通项公式为an＝6n＋2.【答案】C2．数列－3,7，－11,15，…的通项公式可能是()A．an＝4n－7B．an＝(－1)n(4n＋1)C．an＝(－1)n(4n－1)D．an＝(－1)n＋1(4n－1)【解析】当数列中负项、正项交替出现时，用(－1)n来控制；若是正项、负项交替出现，则用(－1)n＋1来控制．【答案】C3．定义A*B，B*C，C*D，D*B依次对应下列4个图形：图2­1­8那么下列4个图形中，可以表示A*D，A*C的分别是()A．(1)，(2) B．(1)，(3)C．(2)，(4) D．(1)，(4)【解析】由①②③④可归纳得出：符号“*”表示图形的叠加，字母A代表竖线，字母B代表大矩形，字母C代表横线，字母D代表小矩形，∴A*D是(2)，A*C是(4)．【答案】C4．下列推理正确的是()A．把a(b＋c)与loga(x＋y)类比，则loga(x＋y)＝logax＋logayB．把a(b＋c)与sin(x＋y)类比，则sin(x＋y)＝sinx＋sinyC．把(ab)n与(x＋y)n类比，则(x＋y)n＝xn＋ynD．把(a＋b)＋c与(xy)z类比，则(xy)z＝x(yz)【解析】A错误，因为logax＋logay＝logaxy(x>0，y>0)；B错误，因为sin(x＋y)＝sinxcosy＋cosxsiny；C错误，如当n＝2时，若xy≠0，则(x＋y)2＝x2＋2xy＋y2≠x2＋y2；D正确，类比的是加法、乘法的结合律．【答案】D5．给出下列等式：1×9＋2＝11，12×9＋3＝111，123×9＋4＝1111，1234×9＋5＝11111，12345×9＋6＝111111，…猜测123456×9＋7等于()A．1111110 B．1111111C．1111112 D．1111113【解析】由题中给出的等式猜测，应是各位数都是1的七位数，即1111111.【答案】B二、填空题6．已知eq\r(2＋\f(2,3))＝2·eq\r(\f(2,3))，eq\r(3＋\f(3,8))＝3·eq\r(\f(3,8))，eq\r(4＋\f(4,15))＝4·eq\r(\f(4,15))，….若eq\r(8＋\f(a,t))＝8·eq\r(\f(a,t))(a，t均为正实数)，类比以上等式，可推测a，t的值，则a＋t＝________.【解析】由所给等式知，a＝8，t＝82－1＝63，∴a＋t＝71.【答案】717．设n为正整数，f(n)＝1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,n)，计算得f(2)＝eq\f(3,2)，f(4)>2，f(8)>eq\f(5,2)，f(16)>3，观察上述结果，可推测一般的结论为__________.【导学号：60030050】【解析】∵f(2)＝eq\f(3,2)，f(4)>2＝eq\f(4,2)，f(8)>eq\f(5,2)，f(16)>3＝eq\f(6,2)，∴由此可推测一般性的结论为f(2n)≥eq\f(n＋2,2).【答案】f(2n)≥eq\f(n＋2,2)8．对于命题“如果O是线段AB上一点，则|eq\o(OB,\s\up6(→))|·eq\o(OA,\s\up6(→))＋|eq\o(OA,\s\up6(→))|·eq\o(OB,\s\up6(→))＝0”，将它类比到平面的情形是：若O是△ABC内一点，有S△OBC·eq\o(OA,\s\up6(→))＋S△OCA·eq\o(OB,\s\up6(→))＋S△OBA·eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，将它类比到空间的情形应为：若O是四面体ABCD内一点，则有________________________________________________．【解析】根据类比的特点和规律，所得结论形式上一致，又线段类比平面，平面类比到空间，又线段长类比为三角形面积，再类比成四面体的体积，故可以类比为VO­BCD·eq\o(OA,\s\up6(→))＋VO­ACD·eq\o(OB,\s\up6(→))＋VO­ABD·eq\o(OC,\s\up6(→))＋VO­ABC·eq\o(OD,\s\up6(→))＝0.【答案】VO­BCD·eq\o(OA,\s\up6(→))＋VO­ACD·eq\o(OB,\s\up6(→))＋VO­ABD·eq\o(OC,\s\up6(→))＋VO­ABC·eq\o(OD,\s\up6(→))＝0三、解答题9．平面中的三角形和空间中的四面体有很多相类似的性质，例如在三角形中：(1)三角形两边之和大于第三边．(2)三角形的面积S＝eq\f(1,2)×底×高．(3)三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的eq\f(1,2).…请类比上述性质，写出空间中四面体的相关结论．【解】由三角形的性质，可类比得空间四面体的相关性质为：(1)四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积．(2)四面体的体积V＝eq\f(1,3)×底面积×高．(3)四面体的中位面平行于第四个面且面积等于第四个面的面积的eq\f(1,4).10．某少数民族的刺绣有着悠久的历史，如图2­1­9(1)、(2)、(3)、(4)为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮，现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n个图形包含f(n)个小正方形．图2­1­9(1)求出f(5)；(2)利用合情推理的“归纳推理思想”归纳出f(n＋1)与f(n)的关系式，并根据你得到的关系式求f(n)的表达式．【解】(1)∵f(1)＝1，f(2)＝5，f(3)＝13，f(4)＝25，∴f(5)＝25＋4×4＝41.(2)∵f(2)－f(1)＝4＝4×1，f(3)－f(2)＝8＝4×2，f(4)－f(3)＝12＝4×3，f(5)－f(4)＝16＝4×4，由上式规律得出f(n＋1)－f(n)＝4n.∴f(2)－f(1)＝4×1，f(3)－f(2)＝4×2，f(4)－f(3)＝4×3，…f(n－1)－f(n－2)＝4·(n－2)，f(n)－f(n－1)＝4·(n－1)．∴f(n)－f(1)＝4[1＋2＋…＋(n－2)＋(n－1)]＝2(n－1)·n，∴f(n)＝2n2－2n＋1.[能力提升]1．观察下列各式：1＝12，2＋3＋4＝32，3＋4＋5＋6＋7＝52，4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝72，…可以得出的一般结论是()A．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝n2B．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2C．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－1)＝n2D．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－1)＝(2n－1)2【解析】观察已知等式，第n个等式左边都是2n－1个数相加，第1个数是n，等式右边是(2n－1)2.由此可得一般结论为：n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2，故选B.【答案】B2．已知x>0，由不等式x＋eq\f(1,x)≥2eq\r(x·\f(1,x))＝2，x＋eq\f(4,x2)＝eq\f(x,2)＋eq\f(x,2)＋eq\f(4,x2)≥3eq\r(3,\f(x,2)·\f(x,2)·\f(4,x2))＝3，…我们可以得出推广结论：x＋eq\f(a,xn)≥n＋1(n∈N*)，则a＝()A．2n B．n2C．3n D．nn【解析】∵x＋eq\f(1,x)≥2eq\r(x·\f(1,x))＝2，x＋eq\f(4,x2)＝eq\f(x,2)＋eq\f(x,2)＋eq\f(4,x2)≥3eq\r(3,\f(x,2)·\f(x,2)·\f(4,x2))＝3.…由此猜想，x＋eq\f(a,xn)＝＋eq\f(nn,xn)≥n＋1，n个eq\f(x,n)所以a＝nn，选D.【答案】D3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝b，BC＝a，则△ABC的外接圆半径为r＝eq\f(\r(a2＋b2),2)，将此结论类比到空间，得到相类似的结论为：________.【导学号：60030051】【解析】利用类比推理，可把Rt△ABC类比为三棱锥P­ABC，且PA，PB，PC两两垂直，当PA＝a，PB＝b，PC＝c时，其外接球半径为R＝eq\f(\r(a2＋b2＋c2),2).【答案】在三棱锥P­ABC中，PA，PB，PC两两垂直，PA＝a，PB＝b，PC＝c，则三棱锥P­ABC的外接球的半径为R＝eq\f(\r(a2＋b2＋c2),2)4．如图2­1­10所示为m行m＋1列的士兵方阵(m∈N*，m≥2)．图2­1­10(1)写出一个数列，用它表示当m分别是2,3,4,5，…时，方阵中士兵的人数；(2)若把(1)中的数列记为{an}，归纳该数列的通项公式；(3)求a10，并说明a10表示的实际意义；(4)已知an＝9900，问an是数列的第几项？【解】(1)当m