高中数学北师大版3第一章计数原理二项式定理 第1章二项式系数的性质

二项式系数的性质1．了解杨辉三角．2．掌握二项式系数的性质．(重点)3．会用赋值法求系数和．(难点)[基础·初探]教材整理二项式系数的性质阅读教材P26～P27“练习”以上部分，完成下列问题．1．杨辉三角的特点(1)在同一行中每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数________．(2)在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”的两个数的________，即Ceq\o\al(r,n＋1)＝________.【答案】(1)相等(2)和Ceq\o\al(r－1,n)＋Ceq\o\al(r,n)2．二项式系数的性质对称性在(a＋b)n展开式中，与首末两端“________”的两个二项式系数相等，即Ceq\o\al(m,n)＝________增减性与最大值增减性：当k<eq\f(n＋1,2)时，二项式系数是逐渐增大的；当k>eq\f(n＋1,2)时，二项式系数是逐渐减小的．最大值：当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大；当n为奇数时，中间两项的二项式系数相等，且同时取得最大值各二项式系数的和(1)Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋…＋Ceq\o\al(n,n)＝________.(2)Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋Ceq\o\al(4,n)＋…＝Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(3,n)＋Ceq\o\al(5,n)＋…＝________【答案】等距离Ceq\o\al(n－m,n)(1)2n(2)2n－11．已知(a＋b)n展开式中只有第5项的二项式系数最大，则n等于()A．11 B．10C．9 D．8【解析】∵只有第5项的二项式系数最大，∴eq\f(n,2)＋1＝5，∴n＝8.【答案】D2．如图1­5­1，在由二项式系数所构成的杨辉三角形中，第______行中从左至右第14个与第15个数的比为2∶3.图1­5­1【解析】由已知eq\f(C\o\al(13,n),C\o\al(14,n))＝eq\f(2,3)，即eq\f(n！,n－13！·13！)×eq\f(n－14！·14！,n！)＝eq\f(2,3)，化简得eq\f(14,n－13)＝eq\f(2,3)，解得n＝34.【答案】34[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：[小组合作型]与“杨辉三角”有关的问题如图1­5­2，在“杨辉三角”中斜线AB的上方，从1开始箭头所示的数组成一个锯齿形数列：1,2,3,3,6,4,10,5，….记其前n项和为Sn，求S19的值．图1­5­2【精彩点拨】由图知，数列中的首项是Ceq\o\al(2,2)，第2项是Ceq\o\al(1,2)，第3项是Ceq\o\al(2,3)，第4项是Ceq\o\al(1,3)，……，第17项是Ceq\o\al(2,10)，第18项是Ceq\o\al(1,10)，第19项是Ceq\o\al(2,11).【自主解答】S19＝(Ceq\o\al(2,2)＋Ceq\o\al(1,2))＋(Ceq\o\al(2,3)＋Ceq\o\al(1,3))＋(Ceq\o\al(2,4)＋Ceq\o\al(1,4))＋…＋(Ceq\o\al(2,10)＋Ceq\o\al(1,10))＋Ceq\o\al(2,11)＝(Ceq\o\al(1,2)＋Ceq\o\al(1,3)＋Ceq\o\al(1,4)＋…＋Ceq\o\al(1,10))＋(Ceq\o\al(2,2)＋Ceq\o\al(2,3)＋…＋Ceq\o\al(2,10)＋Ceq\o\al(2,11))＝(2＋3＋4＋…＋10)＋Ceq\o\al(3,12)＝eq\f(2＋10×9,2)＋220＝274.“杨辉三角”问题解决的一般方法观察—分析；试验—猜想；结论—证明，要得到杨辉三角中蕴含的诸多规律，取决于我们的观察能力，观察能力有：横看、竖看、斜看、连续看、隔行看，从多角度观察．如表所示：[再练一题]1．如图1­5­3所示，满足如下条件：①第n行首尾两数均为n；②表中的递推关系类似“杨辉三角”．则第10行的第2个数是________，第n行的第2个数是________．图1­5­3【解析】由图表可知第10行的第2个数为：(1＋2＋3＋…＋9)＋1＝46，第n行的第2个数为：[1＋2＋3＋…＋(n－1)]＋1＝eq\f(nn－1,2)＋1＝eq\f(n2－n＋2,2).【答案】46eq\f(n2－n＋2,2)求展开式的系数和设(1－2x)2017＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2017·x2017(x∈R)．(1)求a0＋a1＋a2＋…＋a2017的值；(2)求a1＋a3＋a5＋…＋a2017的值；(3)求|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a2017|的值．【精彩点拨】先观察所求式子与展开式各项的特点，利用赋值法求解．【自主解答】(1)令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a2017＝(－1)2017＝－1.①(2)令x＝－1，得a0－a1＋a2－…－a2017＝32017.②①－②得2(a1＋a3＋…＋a2017)＝－1－32017，∴a1＋a3＋a5＋…＋a2017＝eq\f(－1－32017,2).(3)∵Tr＋1＝Ceq\o\al(r,2017)(－2x)r＝(－1)r·Ceq\o\al(r,2017)·(2x)r，∴a2k－1＜0(k∈N＋)，a2k＞0(k∈N＋)．∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a2017|＝a0－a1＋a2－a3＋…－a2017＝32017.1．解决二项式系数和问题思维流程．2．“赋值法”是解决二项展开式中项的系数常用的方法，根据题目要求，灵活赋给字母不同值．一般地，要使展开式中项的关系变为系数的关系，令x＝0可得常数项，令x＝1可得所有项系数之和，令x＝－1可得偶次项系数之和与奇次项系数之和的差．[再练一题]2．已知(2x－1)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a9x9＋a10x10，则a2＋a3＋…＋a9＋a10的值为()A．－20 B．0C．1 D．20【解析】令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a9＋a10＝1，再令x＝0，得a0＝1，所以a1＋a2＋…＋a9＋a10＝0，又易知a1＝Ceq\o\al(9,10)×21×(－1)9＝－20，所以a2＋a3＋…＋a9＋a10＝20.【答案】D[探究共研型]二项式系数性质的应用探究1根据杨辉三角的特点，在杨辉三角同一行中与两个1等距离的项的系数相等，你可以得到二项式系数的什么性质？【提示】对称性，因为Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(n－m,n)，也可以从f(r)＝Ceq\o\al(r,n)的图象中得到．探究2计算eq\f(C\o\al(k,n),C\o\al(k－1,n))，并说明你得到的结论．【提示】eq\f(C\o\al(k,n),C\o\al(k－1,n))＝eq\f(n－k＋1,k).当k<eq\f(n＋1,2)时，eq\f(C\o\al(k,n),C\o\al(k－1,n))>1，说明二项式系数逐渐增大；同理，当k>eq\f(n＋1,2)时，二项式系数逐渐减小．探究3二项式系数何时取得最大值？【提示】当n是偶数时，中间的一项取得最大值；当n是奇数时，中间的两项相等，且同时取得最大值．已知f(x)＝(eq\r(3,x2)＋3x2)n展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992.(1)求展开式中二项式系数最大的项；(2)求展开式中系数最大的项．【精彩点拨】求二项式系数最大的项，利用性质知展开式中中间项(或中间两项)是二项式系数最大的项；求展开式中系数最大的项，必须将x，y的系数均考虑进去，包括“＋”“－”号．【自主解答】令x＝1，则二项式各项系数的和为f(1)＝(1＋3)n＝4n，又展开式中各项的二项式系数之和为2n.由题意知，4n－2n＝992.∴(2n)2－2n－992＝0，∴(2n＋31)(2n－32)＝0，∴2n＝－31(舍去)或2n＝32，∴n＝5.(1)由于n＝5为奇数，所以展开式中二项式系数最大的项为中间两项，它们分别是T3＝Ceq\o\al(2,5)()3(3x2)2＝90x6，T4＝Ceq\o\al(3,5)()2(3x2)3＝270.(2)展开式的通项公式为Tr＋1＝Ceq\o\al(r,5)3r·．假设Tr＋1项系数最大，则有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(C\o\al(r,5)3r≥C\o\al(r－1,5)·3r－1，,C\o\al(r,5)3r≥C\o\al(r＋1,5)·3r＋1，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(5！,5－r！r！)×3≥\f(5！,6－r！r－1！)，,\f(5！,5－r！r！)≥\f(5！,4－r！r＋1！)×3，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(3,r)≥\f(1,6－r)，,\f(1,5－r)≥\f(3,r＋1).))∴eq\f(7,2)≤r≤eq\f(9,2)，∵r∈N＋，∴r＝4.∴展开式中系数最大的项为T5＝Ceq\o\al(4,5)(3x2)4＝405.1．求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质，当n为奇数时，中间两项的二项式系数最大；当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大．2．求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式组，解不等式的方法求得．[再练一题]3．已知(a2＋1)n展开式中的各项系数之和等于eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(16,5)x2＋\f(1,\r(x))))5的展开式的常数项，而(a2＋1)n的展开式的系数最大的项等于54，求a的值．【解】由eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(16,5)x2＋\f(1,\r(x))))5，得Tr＋1＝Ceq\o\al(r,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(16,5)x2))5－req\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(x))))r＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(16,5)))5－r·Ceq\o\al(r,5)·，令Tr＋1为常数项，则20－5r＝0，所以r＝4，常数项T5＝Ceq\o\al(4,5)×eq\f(16,5)＝16.又(a2＋1)n展开式中的各项系数之和等于2n，由此得到2n＝16，n＝4.所以(a2＋1)4展开式中系数最大项是中间项T3＝Ceq\o\al(2,4)a4＝54，所以a＝±eq\r(3).[构建·体系]1．(1＋x)2n＋1的展开式中，二项式系数最大的项所在项数是()A．n，n＋1 B．n－1，nC．n＋1，n＋2 D．n＋2，n＋3【解析】该展开式共2n＋2项，中间两项为第n＋1项与第n＋2项，所以第n＋1项与第n＋2项为二项式系数最大的项．【答案】C2．已知Ceq\o\al(0,n)＋2Ceq\o\al(1,n)＋22Ceq\o\al(2,n)＋…＋2nCeq\o\al(n,n)＝729，则Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(3,n)＋Ceq\o\al(5,n)的值等于()A．64 B．32C．63 D．31【解析】Ceq\o\al(0,n)＋2Ceq\o\al(1,n)＋…＋2nCeq\o\al(n,n)＝(1＋2)n＝3n＝729，∴n＝6，∴Ceq\o\al(1,6)＋Ceq\o\al(3,6)＋Ceq\o\al(5,6)＝32.【答案】B3．若(x＋3y)n的展开式中各项系数的和等于(7a＋b)10的展开式中二项式系数的和，则n【解析】(7a＋b)10的展开式中二项式系数的和为Ceq\o\al(0,10)＋Ceq\o\al(1,10)＋…＋Ceq\o\al(10,10)＝210，令(x＋3y)n中x＝y＝1，则由题设知，4n＝210，即22n＝210，解得n＝5.【答案】54．已知(a－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a5x5，若a2＝80，则a0＋a1＋a2＋…＋a5＝________.【导学号：62690023】【解析】(a－x)5展开式的通项为Tk＋1＝(－1)kCeq\o\al(k,5)·a5－kxk，令k＝2，得a2＝(－1)2Ceq\o\al(2,5)a3＝80，解得a＝2，即(2－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a5x5，令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a5＝1.【答案】15．在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)－\f