高中数学北师大版1第二章圆锥曲线与方程 第2章7

第二章§2第二课时一、选择题(每小题5分，共20分)1．设P为双曲线x2－eq\f(y2,12)＝1上的一点，F1、F2是该双曲线的两个焦点，若|PF1|∶|PF2|＝3∶2，则△PF1F2的面积为()A．6eq\r(3) B．12C．12eq\r(3) D．24解析：由已知得2a|PF1|－|PF2|＝2，又|PF1|∶|PF2|＝3∶2，∴|PF1|＝6，|PF2|＝4.又|F1F2|＝2c＝2eq\r(13).由余弦定理得cos∠F1PF2＝eq\f(62＋42－52,2×6×4)＝0.∴三角形为直角三角形．∴S△PF1F2＝eq\f(1,2)×6×4＝12.答案：B2．中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线的实轴与虚轴相等，一个焦点到一条渐近线的距离为eq\r(2)，则双曲线方程为()A．x2－y2＝1B．x2－y2＝2或x2－y2＝－2C．x2－y2＝eq\r(2)D．x2－y2＝eq\f(1,2)或x2－y2＝－eq\f(1,2)解析：由题意，设双曲线方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,a2)＝1(a＞0)，则c＝eq\r(2)a，渐近线为y＝x，∴eq\f(|\r(2)a|,\r(2))＝eq\r(2)，∴a2＝2.∴双曲线方程为x2－y2＝2.若焦点在y轴上，双曲线方程为x2－y2＝－2.答案：B3．双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的两渐近线含实轴的夹角为θ，离心率e∈[eq\r(2)，2]，则θ的取值范围是()\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,2))) B．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(π,2)))\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(2π,3))) D．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)，π))解析：由e2＝eq\f(c2,a2)＝1＋eq\f(b2,a2)∈[2,4]，可得1≤eq\f(b,a)≤eq\r(3)，故两渐近线含实轴的夹角范围为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(2π,3))).答案：C4．过双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的右顶点A作斜率为－1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B，C.若eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))，则双曲线的离心率是()\r(2) B．eq\r(3)\r(5) D．eq\r(10)解析：对于A(a,0)，则直线方程为x＋y－a＝0，直线与两渐近线的交点为B、C，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a2,a＋b)，\f(ab,a＋b)))，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a2,a－b)，－\f(ab,a－b)))，则有eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2a2b,a2－b2)，－\f(2a2b,a2－b2)))，eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(ab,a＋b)，\f(ab,a＋b)))，∵2eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))，∴4a2＝b2，∴e＝eq\r(5).答案：C二、填空题(每小题5分，共10分)5．设F1，F2是双曲线eq\f(x2,4)－y2＝1的两个焦点，点P在双曲线上，且eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))＝0，则|PF1|·|PF2|＝________.解析：∵eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))＝0，∴eq\o(PF1,\s\up6(→))⊥eq\o(PF2,\s\up6(→)).又||PF1|－|PF2||＝4，|PF1|2＋|PF2|2＝20，∴(|PF1|－|PF2|)2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝20－2|PF1|·|PF2|＝16，∴|PF1|·|PF2|＝2.答案：26．已知双曲线C：x2－y2＝1，F是其右焦点，过F的直线l与双曲线有唯一的交点，则直线l的斜率等于________．解析：要使过右焦点F的直线l与双曲线有唯一的交点，则直线l应平行于双曲线的渐近线，又双曲线C的渐近线方程为y＝±x，故直线l的斜率为±1.答案：±1三、解答题(每小题10分，共20分)7．已知双曲线与椭圆eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,25)＝1共焦点，它们的离心率之和为eq\f(14,5)，求双曲线方程．解析：由于椭圆焦点为F(0，±4)，离心率为e＝eq\f(4,5)，所以双曲线的焦点为F(0，±4)，离心率为2，从而c＝4，a＝2，b＝2eq\r(3)，所以所求双曲线方程为eq\f(y2,4)－eq\f(x2,12)＝1.8．已知双曲线中心在原点，以坐标轴为对称轴，并且与圆x2＋y2＝17相交于A(4，－1)，若圆在点A的切线与双曲线的渐近线平行，求双曲线的方程．解析：∵圆x2＋y2＝17在点(4，－1)处的切线方程为4x－y＝17，∴双曲线的渐近线为y＝4x，(1)当双曲线的焦点在x轴上时，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)＝4,\f(16,a2)－\f(1,b2)＝1))解得：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝\f(255,16),b2＝255))，∴双曲线方程为eq\f(x2,\f(255,16))－eq\f(y2,255)＝1.(2)当双曲线的焦点在y轴上时，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)＝4,\f(1,a2)－\f(16,b2)＝1))无解．综上，双曲线方程为eq\f(x2,\f(255,16))－eq\f(y2,255)＝1.eq\x(尖子生题库)☆☆☆9．(10分)设双曲线C：eq\f(x2,a2)－y2＝1(a＞0)与直线l：x＋y＝1相交于两个不同的点A、B.(1)求实数a的取值范围；(2)设直线l与y轴的交点为P，取eq\o(PA,\s\up6(→))＝eq\f(5,12)eq\o(PB,\s\up6(→))，求a的值．解析：(1)将y＝－x＋1代入双曲线eq\f(x2,a2)－y2＝1(a＞0)中得(1－a2)x2＋2a2x－2a2＝0.依题意eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－a2≠0,Δ＝4a4＋8a21－a2＞0，))又a＞0，∴0＜a＜eq\r(2)且a≠1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(0,1)，因为eq\o(PA,\s\up6(→))＝eq\f(5,12)eq\o(PB,\s\up6(→))，所以(x1，y1－1)＝eq\f(5,12)(x2，y2－1)．由此得x1＝eq\f(5,12)x2.由于x1，x2是方