高中数学苏教版本册总复习总复习 2023版第3章分数指数幂

3．1指数函数3．分数指数幂1．理解根式、分数指数幂的意义，掌握根式与分数指数幂的互化．(重点)2．掌握有理指数幂的运算法则．(重点)3．了解实数指数幂的意义．[基础·初探]教材整理1根式阅读教材P59～P60例1，完成下列问题．1．平方根与立方根的概念如果x2＝a，那么x称为a的平方根；如果x3＝a，那么x称为a的立方根．根据平方根、立方根的定义，正实数的平方根有2个，它们互为相反数，一个数的立方根只有一个．2．a的n次方根(1)定义：一般地，如果一个实数x满足xn＝a(n>1，n∈N*)，那么称x为a的n次实数方根，式子eq\r(n,a)叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数．(2)几个规定：①当n为奇数时，正数的n次实数方根是一个正数，负数的n次实数方根是一个负数，这时，a的n次实数方根只有一个，记作x＝eq\r(n,a)；②当n为偶数时，正数的n次实数方根有2个，它们互为相反数，这时，正数a的正的n次实数方根用符号eq\r(n,a)表示，负的n次实数方根用符号－eq\r(n,a)表示，它们可以合并写成±eq\r(n,a)(a>0)形式；③0的n次实数方根等于0(无论n为奇数，还是为偶数)．3．根式的性质(1)eq\r(n,0)＝0(n∈N*，且n>1)；(2)(eq\r(n,a))n＝a(n∈N*，且n>1)；(3)(eq\r(n,an))＝a(n为大于1的奇数)；(4)(eq\r(n,an))＝|a|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(aa≥0，,－aa<0))(n为大于1的偶数)．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)16的四次方根为2.()(2)eq\r(π－42)＝π－4.()(3)eq\r(4,－16)＝－2.()【解析】(1)16的四次方根有两个，是±2；(2)eq\r(π－42)＝|π－4|＝4－π；(3)eq\r(4,－16)没意义．【答案】(1)×(2)×(3)×2．若n是偶数，eq\r(n,x－1n)＝x－1，则x的取值范围为________．【解析】x－1≥0，∴x≥1.【答案】x≥1教材整理2分数指数幂阅读教材P60“分数指数幂”至P61例3，完成下列问题．1．分数指数幂的意义一般地，我们规定：(3)0的正分数指数幂为0,0的负分数指数幂没有意义．2．有理数指数幂的运算性质(1)asat＝as＋t；(2)(as)t＝ast；(3)(ab)t＝atbt，(其中s，t∈Q，a>0，b>0)．1．下列根式与分数指数幂的互化正确的是________．(填序号)【解析】根据根式与分数指数幂的互化关系，(1)(2)正确，(3)(4)错误．【答案】(1)(2)2．设5x＝4,5y＝2，则52x－y＝________.【解析】52x－y＝eq\f(52x,5y)＝eq\f(5x2,5y)＝eq\f(42,2)＝8.【答案】8[小组合作型]根式的性质求下列各式的值．(1)eq\r(3,－23)；(2)eq\r(4,－32)；(3)eq\r(8,3－π8)；(4)eq\r(a6)；(5)eq\r(x2－2x＋1)－eq\r(x2＋6x＋9)，x∈(－3,3)．【精彩点拨】利用根式的性质进行求解．【自主解答】(1)eq\r(3,－23)＝－2.(2)eq\r(4,－32)＝eq\r(4,32)＝eq\r(3).(3)eq\r(8,3－π8)＝|3－π|＝π－3.(4)eq\r(a6)＝eq\r(a32)＝|a3|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a3，a≥0，,－a3，a<0.))(5)原式＝eq\r(x－12)－eq\r(x＋32)＝|x－1|－|x＋3|，当－3<x≤1时，原式＝1－x－(x＋3)＝－2x－2.当1<x<3时，原式＝x－1－(x＋3)＝－4.因此，原式＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2x－2，－3<x≤1，,－4，1<x<3.))1．解决根式的化简或求值问题，首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性质进行化简或求值．2．注意eq\r(n,an)与(eq\r(n,a))n的区别(eq\r(n,a))n＝a(当n为奇数时，a∈R，当n为偶数时，a≥0)；eq\r(n,an)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a，n为奇数，,|a|＝\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(aa≥0，,－aa<0))n为偶数.))[再练一题]1．(1)化简：(eq\r(a－1))2＋eq\r(1－a2)＋eq\r(3,1－a3)＝________.(2)若eq\r(x2－2x＋1)＋eq\r(y2＋6y＋9)＝0，则yx＝________.【解析】(1)易知a－1≥0，原式＝(a－1)＋|a－1|＋1－a＝a－1＋(a－1)＋1－a＝a－1.(2)由题知0＝|x－1|＋|y＋3|，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－1＝0，,y＋3＝0))⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝－3，))∴yx＝(－3)1＝－3.【答案】(1)a－1(2)－3根式与分数指数幂的互化将下列根式化成分数指数幂的形式．【精彩点拨】利用分数指数幂的意义以及有理指数幂的运算性质进行转化．[再练一题]2．将下列根式化成分数指数幂的形式．分数指数幂的运算【精彩点拨】将各个根式化成指数幂的形式，按照幂的运算性质进行运算．指数幂与根式运算的技巧1．有理数指数幂的运算技巧(1)运算顺序：有括号的，先算括号里面的，无括号的先做指数运算．(2)指数的处理：负指数先化为正指数．(底数互为倒数)(3)底数的处理：底数是负数，先确定幂的符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数，先化成假分数，然后再把底数尽可能用幂的形式表示．2．根式运算技巧(1)各根式(尤其是根指数不同时)要先化成分数指数幂，再运算．(2)多重根式可以从内向外逐层变换为分数指数幂．【答案】(1)ac(2)①②5[探究共研型]条件求值问题探究2立方和(差)公式是什么？【提示】a3＋b3＝(a＋b)(a2－ab＋b2)，a3－b3＝(a－b)(a2＋ab＋b2)．【精彩点拨】应用乘法公式进行计算．【答案】19452条件求值问题的常用方法1．整体代入：从已知条件中解出所含字母的值，然后再代入求值，这种方法一般是不可取的，而应设法从整体寻求结果与条件的联系，进而整体代入求值．2．求值后代入：所求结果涉及的某些部分，可以作为一个整体先求出其值，然后再代入求最终结果．[再练一题]4．已知a＞0，a2x＝3，求eq\f(a3x＋a－3x,ax＋a－x)的值．【解】因为a＞0，a2x＝3，所以ax＝eq\r(3)，所以a－x＝eq\f(1,\r(3))，a3x＝3eq\r(3)，a－3x＝eq\f(1,3\r(3))，所以eq\f(a3x＋a－3x,ax＋a－x)＝eq\f(3\r(3)＋\f(1,3\r(3)),\r(3)＋\f(1,\r(3)))＝eq\f(7,3).1．以下说法正确的是________．(填序号)①正数的n次方根是正数；②负数的n次方根是负数；③0的n次方根是0(其中n＞1且n∈N*)；④a的n次方根是eq\r(n,a).【解析】由于正数的偶次方根有互为相反数的两个方根，故①错；由于负数的偶次方根无意义，故②错；③显然正确；当a＜0时，只有n为大于1的奇数时eq\r(n,a)才有意义，故④错．【答案】③2．计算：eq\r(x2－2x＋1)＝________.(x<1)【解析】原式＝eq\r(x－12)＝|x－1|＝1－x.【答案】1－x3．计算[(－eq\r(2))2]的结果是________．【解析】[(－eq\r(2))2]＝2＝eq\f(\r(2),2).【答案】eq\f(\r(2),2)4．计算：(eq\r(3,\r(6,a9)))4(eq\r(6,\r(3,a9)))4＝________.【解析】【答案】a45．若代数式eq\r(2x－1)＋eq\r(2－x)有意义，化简：eq\r(4x2－4x＋1)＋2eq\r(4,x－24).【