高中数学人教A版第二章点直线平面之间的位置关系 7

第16课时直线与平面垂直的性质课时目标1.能准确应用线面垂直的定义证明线线垂直．2．能利用线面垂直的性质定理解决平行问题．3．体会垂直与平行的转化．识记强化1．直线与平面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行．2．直线与平面垂直的其他性质：如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于平面内的任意一条直线．如果一条直线垂直于一个平面，那么与这条直线平行的直线也垂直于这个平面．课时作业一、选择题(每个5分，共30分)1．在空间，下列哪些命题是正确的()①平行于同一条直线的两条直线互相平行；②垂直于同一条直线的两条直线互相平行；③平行于同一个平面的两条直线互相平行；④垂直于同一个平面的两条直线互相平行．A．①③④B．①④C．①D．①②③④答案：B解析：①该命题就是平行公理，即课本中的公理4，因此该命题是正确的．②如图(1)，直线a⊥平面α，b⊂α，c⊂α，且b∩c＝A，则a⊥b，a⊥c，即平面α内两条相交直线b、c都垂直于同一条直线a，但b、c的位置关系并不是平行．另外，b、c的位置关系也可以是异面，如果把直线b平移到平面α外，此时，与a的位置关系仍是垂直，但此时b、c的位置关系是异面．③如图(2)，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，易知A1B1∥平面ABCD，A1D1∥平面ABCD，但A1B1∩A1D1＝A1，因此该命题是错误的④该命题是线面垂直的性质定理，因此是正确的．综上可知①、④正确．2．下列命题正确的是()①eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a∥b,a⊥α))⇒b⊥α；②eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,b⊥α))⇒a∥b；③eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,a⊥b))⇒b∥α；④eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a∥α,a⊥b))⇒b⊥α.A．①②B．①②③C．②③④D．①②④答案：A解析：由性质定理可得①②正确．3．若直线a与平面α不垂直，那么在平面α内与直线a垂直的直线()A．只有一条B．有无数条C．平面α内的所有直线D．不存在答案：B4．已知直线a，b和平面α，β，γ，可以使α∥β的条件是()A．a⊂α，b⊂β，a∥bB．a⊂α，b⊂α，a∥β，b∥βC．α⊥γ，β⊥γD．a⊥α，a⊥β答案：D5．如图，设平面α∩平面β＝PQ，EG⊥平面α，FH⊥平面α，垂足分别为G，H.为使PQ⊥GH，则需增加的一个条件是()A．EF⊥平面αB．EF⊥平面βC．PQ⊥GED．PQ⊥FH答案：B解析：因为EG⊥平面α，PQ⊂平面α，所以EG⊥PQ.若EF⊥平面β，则由PQ⊂平面β，得EF⊥PQ.又EG与EF为相交直线，所以PQ⊥平面EFHG，所以PQ⊥GH，故选B.6．如图所示，PA垂直于⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，E，F分别是点A在PB，PC上的射影，给出下列结论：①AF⊥PB，②EF⊥PB，③AF⊥BC，④AE⊥BC，其中正确的个数为()A．1B．2C．3D．4答案：C解析：∵AB是⊙O的直径，∴AC⊥BC.∵PA垂直于⊙O所在的平面，∴PA⊥AB，PA⊥AC，PA⊥BC，∴BC⊥平面PAC，∴BC⊥AF，∴③正确．又AF⊥PC，∴AF⊥平面PBC，∴AF⊥PB，∴①正确．又AE⊥PB，∴PB⊥平面AEF，∴EF⊥PB，∴②正确．若AE⊥BC，则由AE⊥PB，得AE⊥平面PBC，此时E，F重合，与已知矛盾，∴④错误．故选C.二、填空题(每个5分，共15分)7．在棱长为2的正方体ABCD—A1B1C1D1中，E是BC1的中点，则直线DE与平面ABCD所成角的正切值为________答案：eq\f(\r(5),5)解析：如图，过E作EF⊥BC，垂足为F，连接DF.易知平面BCC1B1⊥平面ABCD，交线为BC，所以EF⊥平面ABCD.∠EDF即为直线DE与平面ABCD所成的角．由题意，得EF＝eq\f(1,2)CC1＝1，CF＝eq\f(1,2)CB＝1，所以DF＝eq\r(CF2＋DC2)＝eq\r(5).在Rt△EFD中，tan∠EDF＝eq\f(EF,DF)＝eq\f(1,\r(5))＝eq\f(\r(5),5).所以，直线DE与平面ABCD所成角的正切值为eq\f(\r(5),5).8．长方体ABCD—A1B1C1D1中，MN在平面BCC1B1内，MN⊥BC于M，则MN与AB的位置关系是________答案：垂直解析：如下图．由面面垂直的性质定理知MN⊥平面ABCD，再由线面垂直的定义知MN⊥AB.9．将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A－BD－C，有如下四个结论：①AC⊥BD；②△ACD是等边三角形；③AB与平面BCD所成的角为60°；④AB与CD所成的角为60°.其中正确结论的序号是________．答案：①②④三、解答题10．(12分)如图，PA⊥平面ABD，PC⊥平面BCD，E，F分别为BC，CD上的点，且EF⊥AC.求证：eq\f(CF,DC)＝eq\f(CE,BC).证明：∵PA⊥平面ABD，PC⊥平面BCD，∴PA⊥BD，PC⊥BD，PC⊥EF.又PA∩PC＝P，∴BD⊥平面PAC.又EF⊥AC，PC∩AC＝C，∴EF⊥平面PAC，∴EF∥BD，∴eq\f(CF,DC)＝eq\f(CE,BC).11．(13分)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，EF与AC，A1D都垂直相交，求证：EF∥BD1证明：如图，连接AB1，B1C，BD，B1D1因为DD1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以DD1⊥AC.又BD⊥AC，DD1∩BD＝D，所以AC⊥平面BDD1B1，所以AC⊥BD1.同理可证BD1⊥B1C又AC∩B1C＝C所以BD1⊥平面AB1C因为EF⊥A1D，A1D∥B1C所以EF⊥B1C，因为EF⊥AC，AC∩B1C＝所以EF⊥平面AB1C所以EF∥BD1.能力提升12．(5分)直线a和b在正方体ABCD—A1B1C1D1的两个不同平面内，使a∥b成立的条件是________(只填序号即可①a和b垂直于正方体的一个面；②a和b在正方体两个相对的面内，且共面；③a和b平行于同一条棱；④a和b在正方体的两个面内，且与正方体的同一条棱垂直．答案：①②③解析：①线面垂直的性质定理；②面面平行的性质定理；③平行公理．13．(15分)如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP＝AB，BP＝BC＝2，E，F分别是PB，PC的中点．(1)证明：EF∥平面PAD；(2)求三棱锥E—ABC的体积V.解：(1)证明：在△PBC中，E，F分别是PB，PC的中点，∴EF∥BC.又BC∥AD，∴EF∥AD，∵AD⊂平面PAD，EF⊄平面PAD，∴EF∥平面PAD.(2)连接AE，AC，EC，过点E作EG∥PA交AB于点G，则EG⊥平面ABCD，且EG＝eq\f(1,2)PA.在△PAB中，AP＝AB，∠PAB＝90°，BP＝2，∴AP＝