福建省宁德市霞浦县第十中学2021-2022学年高二数学理联考试题含解析

福建省宁德市霞浦县第十中学2021-2022学年高二数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设复数(其中为虚数单位)，则的虚部为A．

B．

C．

D．

参考答案：D2.函数f（x）的定义域为开区间（a，b），导函数f′（x）在（a，b）内的图象如图所示，则函数f（x）在开区间（a，b）内有极小值点的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4参考答案：A【考点】利用导数研究函数的单调性．【专题】综合题；导数的概念及应用．【分析】根据当f'（x）＞0时函数f（x）单调递增，f'（x）＜0时f（x）单调递减，可从f′（x）的图象可知f（x）在（a，b）内从左到右的单调性依次为增→减→增→减，然后得到答案．【解答】解：从f′（x）的图象可知f（x）在（a，b）内从左到右的单调性依次为增→减→增→减，根据极值点的定义可知在（a，b）内只有一个极小值点．故选：A．【点评】本题主要考查函数的极值点和导数正负的关系．属基础题．3.若随机变量X的概率分布密度函数是

则的值是

(

)

A

5

B

9

C

3

D

2参考答案：C4.“若，则是函数的极值点，因为中，且，所以0是的极值点.”在此“三段论”中，下列说法正确的是（）A．推理过程错误

B．大前提错误

C．小前提错误

D．大、小前提错误参考答案：B略5.设a∈R，函数f(x)＝ex＋a·e－x的导函数f′(x)，且f′(x)是奇函数．若曲线y＝f(x)的一条切线的斜率是，则切点的横坐标为()A．－

B．－ln2C.

D．ln2参考答案：Df′(x)＝ex－ae－x，由于f′(x)是奇函数，故f′(－x)＝－f′(x)对任意x恒成立，由此得a＝1，由f′(x)＝ex－e－x＝得2e2x－3ex－2＝0，即(ex－2)(2ex＋1)＝0，解得ex＝2，故x＝ln2，即切点的横坐标是ln2.

6.设为双曲线的两个焦点，点在双曲线上且，则的面积是（*****）

A．1

B．

C．2

D．参考答案：A7.命题“若则”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中,真命题有（

）A.1个

B.2个

C.3个

D.4个参考答案：B8.6人站成一排，甲、乙、丙3个人不能都站在一起的排法种数为()A．720

B．144

C．576

D．684参考答案：A9.在四边形ABCD中，“=2”是“四边形ABCD为梯形”的（

）A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件参考答案：A略10.不等式的解集是(

)

A.

B.

C.

D.参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.三棱柱ABC-A1B1C1的底是边长为1的正三角形，高,在AB上取一点P,设与面A1B1C1所成的二面角为，与面所成的二面角为，则的最小值是

▲

.参考答案：则是三棱柱的高，过则，设，，，同理，（当时取等号）．

12.已知函数f（x）=13﹣8x+x2，且f′（a）=4，则实数a的值．参考答案：3【考点】63：导数的运算．【分析】根据题意，对函数f（x）求导可得f′（x），又由f′（a）=4，可得2a﹣8=4，解可得a的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，函数f（x）=13﹣8x+x2，则其导函数f′（x）=2x﹣8，若f′（a）=4，则有2a﹣8=4，解可得a=3；故答案为：3．13.现有红、黄、蓝三种颜色的旗子各面，在每种颜色的旗子上分别画上A、B、C、D、E种不同的图案，若从中取面旗子，要求颜色齐全且图案各不相同，则共有

_

种不同的取法.

参考答案：15014.过双曲线的有焦点作垂直于实轴的弦QP,是左焦点，若,则离心率是

参考答案：15.的解集是______参考答案：【分析】根据绝对值不等式的解法，直接解出不等式的解集.【详解】由得或，即或，故不等式的解集为.【点睛】本小题主要考查绝对值不等式的解法，考查运算求解能力，属于基础题.16.用系统抽样的方法从容量为的总体中抽取容量为的样本，则总体中每个个体被抽到的概率为

参考答案：略17.执行如图所示的流程图，则输出的S＝________.参考答案：7500三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.设的三个内角对边分别是，已知，（1）求角；（2）已知,判断的形状.参考答案：（2），，

由余弦定理可得，，是直角三角形.

略19.已知展开式中的二项式系数的和比（3a+2b）7展开式的二项式系数的和大128，求展开式中的系数最大的项和系数最小的项．参考答案：【考点】DA：二项式定理．【分析】先由条件求出n=8，再求出二项式展开式的通项公式，再由二项式系数的性质求得当r为何值时，展开式的系数最大或最小，从而求得展开式中的系数最大的项和系数最小的项．【解答】解：由题意可得2n﹣27=128，解得n=8．故=展开式的通项公式为Tr+1=?x16﹣2r?（﹣1）r?x﹣r=（﹣1）r??x16﹣3r．由二项式系数的性质可得，当r=4时，展开式中的系数最大，为T5=?x4=70x4；当r=3或5时，展开式中的系数最小，为T4=﹣?x7=﹣56x7，或T6=﹣?x=﹣56x．20.如图所示，矩形ABCD为本市沿海的一块滩涂湿地，其中阴影区域有丹顶鹤活动，曲线AC是以AD所在直线为对称轴的抛物线的一部分，其中AB=1km，BC=2km，现准备开发一个面积为0.6km2的湿地公园，要求不能破坏丹顶鹤活动区域．问：能否在AB边上取点E、在BC边上取点F，使得△BEF区域满足该项目的用地要求？若能，请给出点E、F的选址方案；若不能，请说明理由．参考答案：由题意可得：△BEF区域满足该项目的用地要求等价于△BEF面积的最大值不小于0.6km2，以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立如图所示平面直角坐标系，求出A，B，C，D的坐标，运用待定系数法求出曲线AC的方程，欲使得△BEF的面积最大，必有EF与抛物线弧AC相切，设出切点（t，2t2），0≤t≤1，求出导数，可得切线的斜率和方程，求出三角形BEF的面积，设f（t）=t3﹣2t2+2t，0＜t≤1，求出导数和单调区间，可得极值，且为最值，即可判断是否满足要求．解：△BEF区域满足该项目的用地要求等价于△BEF面积的最大值不小于0.6km2，以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立如图所示平面直角坐标系，则A（0，0），B（1，0），C（1，2），D（0，2），设曲线AC所在的抛物线的方程为x2=2py（p＞0），代入点C（1，2）得p=，得曲线AC的方程为y=2x2（0≤x≤1），欲使得△BEF的面积最大，必有EF与抛物线弧AC相切，设切点为P（t，2t2），0≤t≤1，由y=2x2得y′=4x，故点P（t，2t2）处切线的斜率为4t，切线的方程为y﹣2t2=4t（x﹣t），即y=4tx﹣2t2，当t=0时显然不合题意，故0＜t≤1，令x=1得yP=4t﹣2t2，令y=0得xK=t，则S△BEF=BE?BF=（1﹣）（4t﹣2t2）=t3﹣2t2+2t，设f（t）=t3﹣2t2+2t，0＜t≤1，则f′（t）=（3t﹣2）（t﹣2），令f′（t）＞0得0＜t＜，令f′（t）＜0得＜t≤1，故f（t）在（0，）上递增，在（，1]上递减，故f（t）max=f（）=，而＜0.6，故该方案所得△BEF区域不能满足该项目的用地要求．21.如图，三棱锥P﹣ABC中，△ABC为等腰直角三角形，AB=BC=2，PA=PB=PC=．（1）求证：平面PAC⊥平面ABC；（2）求平面PBC和平面ABC夹角的正切值．参考答案：【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定．【分析】（1）设O是AC的中点，连接PO，BO，推导出PO⊥AC，PO⊥OB，从而PO⊥平面ABC，由此能证明平面PAC⊥平面ABC．（2）设H是BC的中点，连接OH，PH，则∠PHO为平面PBC和平面ABC的夹角，由此能求出平面PBC和平面ABC夹角的正切值．【解答】（本小题满分17分）证明：（1）如图，设O是AC的中点，连接PO，BO．∵△ABC为等腰直角三角形，AB=BC=2，∴AC=2，OB=．…又∵PA=PC=，∴PO⊥AC，PO=2．…∴PO2+BO2=PB2，即PO⊥OB．…又∵BO∩AC=O，∴PO⊥平面ABC．∵PO?平面PAC，∴平面PAC⊥平面ABC．…解：（2）设H是BC的中点，连接OH