湖北省襄阳市枣阳新市火青中学2022年高三数学理月考试卷含解析

湖北省襄阳市枣阳新市火青中学2022年高三数学理月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若双曲线的渐近线与抛物线相切，且被圆截得的弦长为，则a=（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B可以设切点为(x0，＋1)，由y′＝2x，∴切线方程为y－(＋1)＝2x0(x－x0)，即y＝2x0x－＋1，∵已知双曲线的渐近线为y＝±x，∴，x0＝±1，＝2，一条渐近线方程为y＝2x，圆心到直线的距离是.故选：B

2.函数（

）（A）

（B）（C）

（D）参考答案：C略3.设为空间的两条不同的直线，为空间的两个不同的平面，给出下列命题：①若∥，∥，则∥；

②若，则∥；③若∥，∥，则∥；

④若，则∥．上述命题中，所有真命题的序号是

（

）A.①②

B.③④

C.①③

D.②④参考答案：D4.若一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（）A． B． C．8 D．参考答案：D【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；由三视图求面积、体积．【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个正方体内挖去一个同底等高的四棱锥，进而得到答案．【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个正方体内挖去一个同底等高的四棱锥，故体积V=（1﹣）×4×4×4=，故选：D5.如果执行下面的框图，运行结果为(

) A． B．3 C． D．4参考答案：B考点：循环结构．专题：计算题．分析：先由流程图判断其作用，即求数列=的前9项和，再对数列进行裂项求和即可解答： 解：本框图的作用即求s=1++++…+=1+（﹣1）+（﹣）+…+（）==3故选B点评：本题考察了算法的表示方法，程序框图的认识和意义，循环结构的流程规则6.已知向量a，b满足，，且，则向量a，b的夹角是（

）（A） （B） （C） （D）参考答案：D7.已知f（x）=2x﹣1，g（x）=1﹣x2，规定：当|f（x）|≥g（x）时，h（x）=|f（x）|；当|f（x）|＜g（x）时，h（x）=﹣g（x），则h（x）(

)A．有最小值﹣1，最大值1 B．有最大值1，无最小值C．有最小值﹣1，无最大值 D．有最大值﹣1，无最小值参考答案：C【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法．【专题】计算题；压轴题．【分析】可以画出f（x）=2x﹣1，g（x）=1﹣x2，的图象，根据规定分两种情况：在A、B两侧，|f（x）|≥g（x）；在A、B之间，从图象上可以看出最值；【解答】解：画出y=|f（x）|=|2x﹣1|与y=g（x）=1﹣x2的图象，它们交于A、B两点．由“规定”，在A、B两侧，|f（x）|≥g（x）故h（x）=|f（x）|；在A、B之间，|f（x）|＜g（x），故h（x）=﹣g（x）．综上可知，y=h（x）的图象是图中的实线部分，因此h（x）有最小值﹣1，无最大值．故选C．【点评】此题考查分段函数的解析式及其图象的性质，利用了数形结合的方法，是一道中档题；8.幂函数在(0,+∞)上单调递增，则m的值为（

）A.2

B.3

C.4

D.2或4参考答案：C由题意得：解得,∴m=4．故选：C．

9.将函数的图象向左平移个长度单位后,所得到的函数为偶函数,则m的最小值是(

)A． B. C． D．参考答案：A略10.已知△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若=，则sin（2A+）的取值范围是（）A．（﹣，） B．（﹣，1] C．（，1] D．[﹣1，）参考答案：B【考点】GI：三角函数的化简求值．【分析】将已知的等式变形，能够得到A的范围，然后求sin（2A+）取值范围．【解答】解：因为=，由正弦定理得到，所以sinCcosA=sin（A+C）（1+cosC），展开整理得到cosC（sinA+sinB）=0，因为sinA+sinB≠0，所以cosC=0，所以C=，所以A+B=，所以0＜A＜，所以＜2A+＜，所以﹣＜sin（2A+）≤1；所以sin（2A+）的取值范围是（﹣，1]；故选B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设函数y=的图象上存在两点P，Q，使得△POQ是以O为直角顶点的直角三角形（其中O为坐标原点），且斜边的中点恰好在y轴上，则实数a的取值范围是．参考答案：（0，]【考点】分段函数的应用．【分析】曲线y=f（x）上存在两点P、Q满足题设要求，则点P、Q只能在y轴两侧．设P（t，f（t））（t＞0），则Q（﹣t，t3+t2），运用向量垂直的条件：数量积为0，构造函数h（x）=（x+1）lnx（x≥e），运用导数判断单调性，求得最值，即可得到a的范围．【解答】解：假设曲线y=f（x）上存在两点P、Q满足题设要求，则点P、Q只能在y轴两侧．不妨设P（t，f（t））（t＞0），则Q（﹣t，t3+t2），∵△POQ是以O为直角顶点的直角三角形，∴?=0，即﹣t2+f（t）（t3+t2）=0（*）若方程（*）有解，存在满足题设要求的两点P、Q；若方程（*）无解，不存在满足题设要求的两点P、Q．若0＜t＜e，则f（t）=﹣t3+t2代入（*）式得：﹣t2+（﹣t3+t2）（t3+t2）=0即t4﹣t2+1=0，而此方程无解，因此t≥e，此时f（t）=alnt，代入（*）式得：﹣t2+（alnt）（t3+t2）=0，即=（t+1）lnt（**）令h（x）=（x+1）lnx（x≥e），则h′（x）=lnx+1+＞0，∴h（x）在[e，+∞）上单调递增，∵t≥e∴h（t）≥h（e）=e+1，∴h（t）的取值范围是[e+1，+∞）．∴对于0＜a≤，方程（**）总有解，即方程（*）总有解．故答案为：（0，]．12.函数的定义域是

参考答案：试题分析：要使函数有意义满足，得，因此函数的定义域是.考点：函数的定义域.13.若向量，满足，则__________．参考答案：略14.设函数，记在上的最大值为，则函数的最小值为__________.参考答案：略15.已知单位向量e1与e2的夹角为α，且cosα＝，向量a＝3e1－2e2与b＝3e1－e2的夹角为β，则cosβ＝________．参考答案：16.设F1，F2为椭圆C:的两个焦点，M为C上一点且在第一象限.若为等腰三角形，则M的坐标为___________.参考答案：由已知可得，．．设点的坐标为，则，又，解得，，解得（舍去），的坐标为．

17.设函数，观察：

，

，，……

根据以上事实，由归纳推理可得：当时，____________.参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数f（x）=ax+lnx，a∈R．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若g（x）=[f（x）﹣ax]，且对任意x≥1，2?g′（x）﹣1≥恒成立，求实数λ的取值范围．参考答案：【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（Ⅰ）先求出函数的定义域，求出函数f（x）的导函数，在定义域下，讨论a≥0，a＜0，令导函数大于0得到函数的递增区间，令导函数小于0得到函数的递减区间．（Ⅱ）先求导，化简对任意x≥1，2?g′（x）﹣1≥恒成立，得到λ≤（1+）（lnx+1），再构造函数，根据导数和函数的单调性和最值得关系即可求出实数λ的取值范围【解答】解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），则f′（x）=+a，当a≥0时，f′（x）＞0恒成立，则f（x）的增区间为（0，+∞）．无减区间；当a＜0时，令f′（x）＞0，解得0＜x＜﹣；令f′（x）＜0，解得x＞﹣．则f（x）的增区间为（0，﹣），减区间为（﹣，+∞）．（Ⅱ）∵g（x）=[f（x）﹣ax]=（ax+lnx﹣ax）=lnx，x＞0，∴g′（x）=lnx+=（lnx+2），∴2?g′（x）﹣1=lnx+1，∵对任意x≥1，2?g′（x）﹣1≥恒成立，∴lnx+1≥恒成立，∴λ≤（1+）（lnx+1），设h（x）=（1+）（lnx+1），∴h′（x）=，再令φ（x）=x﹣lnx，x≥1，∴φ′（x）=1﹣≥0恒成立，∴φ（x）在[1，+∞）上单调递增，∴φ（x）≥φ（1）=1，∴h′（x）＞0恒成立，∴h（x）在[1，+∞）上单调递增，∴h（x）min=h（1）=2，∴λ≤219.（本小题满分13分）某学习兴趣小组开展“学生语文成绩与英语成绩的关系”的课题研究，对该校高二年级800名学生上学期期末语文和英语成绩进行统计，按优秀和不优秀进行分类．记集合A={语文成绩优秀的学生}，B={英语成绩优秀的学生}．如果用表示有限集合M中元素的个数．已知,,,其中U表示800名学生组成的全集．（Ⅰ）是否有99．9%的把握认为“该校学生的语文成绩与英语成绩优秀与否有关系”；（Ⅱ）将上述调查所得的频率视为概率，从该校高二年级的学生成绩中，有放回地随机抽取3次，记所抽取的成绩中，语文英语两科成绩中至少有一科优秀的人数为，求的分布列和数学期望．

附：参考数据：0．0250．0100．0050．0015．0246．6357．87910．828

参考答案：（Ⅰ）由题意得列联表：

语文优秀语文不优秀总计英语优秀60100160英语不优秀140500640总计200600800

20.若的图象关于直线对称，其中．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）将y=f（x）的图象向左平移个单位，再将得到的图象的横坐标变为原来的2倍，（纵坐标不变）后得到的y=g（x）的图象；若函数的图象与y=a的图象有三个交点且交点的横坐标成等比数列，求a的值．参考答案：【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】（Ⅰ）利用f（x）的图象关于直线对称求出ω，得到函数f（x）的表达式．（Ⅱ）按照将y=f（x）的图象向左平移个单位，再将得到的图象的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）后，得到函数y=g（x）的表达式；求出函数y=g（x），x∈（，3π）的范围，函数的图象与y=a的图象有三个交点且交点的横坐标成等比数列，列出方程，求a的值．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）的图象关于直线x=对称，∴2ω?﹣=kπ+，k∈Z，解得ω=k+1．∵ω∈（﹣，），∴﹣＜k+1＜，∴﹣1＜k＜1（k∈Z），∴k=0，ω=1∴f（x）=sin（2x﹣）（Ⅱ）将f（x）=sin（2x﹣）的图象向左平移个单位后，得到f（x）=sin[2（x+）﹣]=sin（2x+）=cos2x，再将得到的图象的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）后，得到y=g（x）=cosx函数y=g（x）=cosx，x∈（，3π）的图象与y=a的图象有三个交点坐标分别为（x1，a），（x2，a），（x3，a）且＜x1＜x2＜x3＜3π，则由已知结合如图图象的对称性有，解得x2=．∴a=cos=﹣．【点评】本题考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，两角和与差的三角函数，正弦函数的单调性，考查计算能力，考查数形结合思想．21.本小题12分）设f(x)＝a(x－5)2＋6lnx，其中a∈R，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与y轴相交于点(0，6)．(1)确定a的值；(2)求函数f(x)的单调区间与极值．参考答案：(1)

(2)上增

上减极大值极小值略22.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥面ABCD，PA=BC=4，AD=2，AC=AB=3，AD∥BC，N是PC的中点．（Ⅰ）证明：ND∥面PAB；（Ⅱ）求AN与面PND所成角的正弦值．参考答案：【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）取PB中点M，连结AM，MN，证明：四边形AMND是平行四边形，得出ND∥AM，即可证明ND∥面PAB；（Ⅱ）在面PAD内过A做AF⊥PD于F，则CD⊥AF，又CD∩PD=D，AF⊥面PDC，连接NF，则∠ANF是AN与面PND所成的角，即可求AN与面PND所成角的正弦值．【解答】（Ⅰ）证明：如图，取PB中点M，连结AM，MN．∵MN是△BCP的中位线，∴MN平行且等于BC．

依题意得，AD平行且等于B