湖北省荆门市育才学校2021-2022学年高三数学理上学期期末试卷含解析

湖北省荆门市育才学校2021-2022学年高三数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知函数在R上满足，则曲线在点处的切线方程是(

)

A．

B.

C.

D.参考答案：B2.在△ABC中，是边AB上的一点，的面积为1，则BD的长为（

）A．

B．4

C．2

D．1参考答案：C,选C

3.德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数f（x）=，称为狄利克雷函数，则关于函数f（x）有以下四个命题：①f（f（x））=1；②函数f（x）是偶函数；③任意一个非零有理数T，f（x+T）=f（x）对任意x∈R恒成立；④存在三个点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2）），C（x3，f（x3）），使得△ABC为等边三角形．其中真命题的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．1参考答案：A【考点】2K：命题的真假判断与应用；5B：分段函数的应用．【分析】①根据函数的对应法则，可得不管x是有理数还是无理数，均有f（f（x））=1；②根据函数奇偶性的定义，可得f（x）是偶函数；③根据函数的表达式，结合有理数和无理数的性质；④取x1=﹣，x2=0，x3=，可得A（，0），B（0，1），C（﹣，0），三点恰好构成等边三角形．【解答】解：①∵当x为有理数时，f（x）=1；当x为无理数时，f（x）=0，∴当x为有理数时，ff（（x））=f（1）=1；当x为无理数时，f（f（x））=f（0）=1，即不管x是有理数还是无理数，均有f（f（x））=1，故①正确；②∵有理数的相反数还是有理数，无理数的相反数还是无理数，∴对任意x∈R，都有f（﹣x）=f（x），故②正确；③若x是有理数，则x+T也是有理数；若x是无理数，则x+T也是无理数，∴根据函数的表达式，任取一个不为零的有理数T，f（x+T）=f（x）对x∈R恒成立，故③正确；④取x1=﹣，x2=0，x3=，可得f（x1）=0，f（x2）=1，f（x3）=0，∴A（，0），B（0，1），C（﹣，0），恰好△ABC为等边三角形，故④正确．即真命题的个数是4个，故选：A．【点评】本题给出特殊函数表达式，求函数的值并讨论它的奇偶性，着重考查了有理数、无理数的性质和函数的奇偶性等知识，属于中档题．4.某调查机构对本市小学生课业负担情况进行了调查，设平均每人每天做作业的时间为分钟.有

1000名小学生参加了此项调查，调查所得数据用程序框图处理，若输出的结果是680，则平均每天做作业的时间在0～60分钟内的学生的频率是A.

680

B.

320

C.

0.68

D.

0.32参考答案：D5.若点的坐标满足，则点的轨迹图象大致是（

）

A．

B． C． D．参考答案：C6.等差数列{an}中，已知|a6|=|a11|，且公差d＞0，则其前n项和取最小值时的n的值为（

）A．6

B．7

C．8

D．9参考答案：C由题意知，有， 所以当时前项和取最小值.故选C7.已知函数是R上的偶函数,其图象过点,又f(x)的图象关于点对称,且在区间上是减函数，则=(A).

(B)

(C)

(D)参考答案：C8.已知集合，，则（

）A.

B.

C.

D.[1,2]参考答案：B9.函数在区间上的图象大致为（

）参考答案：D10.过平面区域内一点作圆的两条切线，切点分别为，记，则当最小时的值为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C试题分析：因为,而,所以最大时,最小,最小.结合图象可知点,故的最大值为,则,应选C.考点：线性规划、二倍角的余弦等有关知识的综合运用.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知为第二象限角，,则

.参考答案：略12.曲线在点处的切线方程是

▲

．参考答案：x－y－2=013.曲线在点处的切线分别为,设及直线

x-2y+2=0围成的区域为D(包括边界)．设点P(x，y)是区域D内任意一点，则x+2y的最大值为________.参考答案：614.锐角△ABC中，AB＝4，AC＝3，△ABC的面积为，则BC＝_______。参考答案：【分析】利用三角形的面积公式求出A，再利用余弦定理求出BC．【详解】因为锐角△ABC的面积为3，且AB=4，AC=3，所以×3×4×sinA=3，所以sinA=，所以A=60°，所以cosA=，所以BC===．故答案为：．

15.设，，且，则当取最小值时，______.参考答案：12【分析】当取最小值时，取最小值，变形可得，由基本不等式和等号成立的条件可得答案．【详解】解析：∵，，∴当取最小值时，取得最小值，∵，又，∴，∴，∴，当且仅当，即时取等号，∴当取最小值时，，，∴，∴.【点睛】本题考查基本不等式求最值，变形为可用基本不等式的形式是解决问题的关键，属中档题．16.设定义在区间上的函数的图像与的图像交于点P，过点P作x轴的垂线，垂足为，直线与的图像交于点,则线段的长为参考答案：17.已知向量与的夹角为,且,若,且,则实数的值为

.参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，已知椭圆C中心在原点，焦点在x轴上，F1，F2分别为左右焦点，椭圆的短轴长为2，过F2的直线与椭圆C交于A，B两点，三角形F1BF2面积的最大值为（a＞1）．（Ⅰ）求椭圆C的方程（用a表示）；（Ⅱ）求三角形F1AB面积的最大值．参考答案：考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）确定c=，即可求椭圆C的方程（用a表示）；（Ⅱ）设直线方程，代入椭圆方程，求出三角形F1AB面积，分类讨论，即可求出最大值．解答： 解：（Ⅰ）由题意，椭圆的上顶点为（0，1），下顶点为（0，﹣1），当B与上（或下）顶点重合时，三角形F1BF2面积最大S==，∴c=，∴椭圆C的方程为；（Ⅱ）三角形F1AB面积S==c?AB?sinα（α为F2B与x轴正向所成的角）设F2（c，0），A（x1，y1），B（x2，y2），AB：y=k（x﹣c），代入椭圆方程可得（1+a2k2）x2﹣2a2k2cx+a2k2c2﹣a2=0，∴x1+x2=，x1x2=∴AB=|x1﹣x2|=，∴S=c?AB?sinα=，a时，S≤=a；1＜a＜时，S≤=．点评：本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的方程的运用，联立直线方程，运用韦达定理，同时考查求最值，属于中档题．19.在△ABC中，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且．（1）求B；（2）若a=6，△ABC的面积为9，求b的长，并判断△ABC的形状．参考答案：【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）由已知及正弦定理可得sinB=，结合范围0＜B＜π，可得B的值．（2）利用三角形面积公式可求c，进而利用余弦定理可求b的值，分类讨论，即可判定三角形的形状．【解答】解：（1）由，可得．根据正弦定理可得：sinB=，由于0＜B＜π，可得：B=或，（2）因为△ABC的面积为9=acsinB，a=6，sinB=，所以．解得．由余弦定理可知，由得b2=18或b2=90，所以或．当时，此时，△ABC为等腰直角三角形；当时，此时，△ABC为钝角三角形．20.在如图所示的几何体中，四边形ABDE为梯形，AE//BD，AE平面ABC，ACBC，AC=BC=BD=2AE，M为AB的中点.

（1）求证：CMDE；（2）求锐二面角的余弦值.参考答案：略21.若的图像的最高点都在直线上，并且任意相邻两个最高点之间的距离为π.(1)求和m的值：(2)在△ABC中，a，b，c分别是的对边,若点是函数图像的一个对称中心,且,求△ABC外接圆的面积.参考答案：(1).(2).【分析】（1）利用二倍角的正弦函数公式化简，再由正弦函数的性质求得和的值；（2）由是函数图象的一个对称中心求得值，再由正弦定理求得外接圆半径，则外接圆的面积可求．【详解】（1）由题意知,函数的周期为,且最大值为,所以.(2)是函数图像的一个对称中心,所以,又因为的内角,所以，在中,设外接圆半径为,由得所以的外接圆的面积【点睛】本题考查了二倍角的正弦函数公式，以及正弦定理的应用，熟练掌握公式是解本题的关键，是中档题．22.在锐角△ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，且cos（B+C）=﹣sin2A．（1）求A；（2）设a=7，b=5，求△ABC的面积．参考答案：【考点】HP：正弦定理；GL：三角函数中的恒等变换应用．【分析】（1）由已知式子可得sinA，由锐角三角形可得；（2）由正弦定理可得sinB，进而可得cosB，再由和差角的三角函数可得