高中数学人教A版1直线与圆的位置关系 第3节

第二讲第三节一、选择题(每小题5分，共20分)1．下列说法正确的是()A．垂直于半径的直线是圆的切线B．垂直于切线的直线必经过圆心C．圆的切线垂直于经过切点的半径D．垂直于切线的直线必经过切点解析：垂直于半径且经过半径外端的直线是圆的切线，A错误，B显然不正确，C正确，D显然不正确．答案：C2．如图，PA切⊙O于A，PO交⊙O于B，若PA＝6，PB＝4，则⊙O的半径是()A．eq\f(5,2) B．eq\f(5,6)C．2 D．5解析：令OA＝OB＝r，∵PA切⊙O于点A，所以PA2＋OA2＝OP2，即62＋r2＝(r＋4)2.解得r＝eq\f(5,2).答案：A3．如图，在⊙O中，AB为直径，AD为弦，过B点的切线与AD的延长线交于C，若AD＝DC，则sin∠ACO等于()A．eq\f(\r(10),10) B．eq\f(\r(2),10)C．eq\f(\r(5),5) D．eq\f(\r(2),4)解析：连接BD，作OE⊥AC于E.∵BC切⊙O于B，∴AB⊥BC，∵AB为直径，∴BD⊥AC，∵AD＝DC，∴BA＝BC，∠A＝45°，设⊙O的半径为R，∴OC＝eq\r(BC2＋OB2)＝eq\r(4R2＋R2)＝eq\r(5)＝eq\f(\r(2),2)R.∴sin∠ACO＝eq\f(OE,OC)＝eq\f(\f(\r(2),2)R,\r(5)R)＝eq\f(\r(10),10).答案：A4．如图所示，AC切⊙O于D，AO的延长线交⊙O于B，且AB⊥BC，若AD∶AC＝1∶2，则AO∶OB＝()A．2∶1 B．1∶1C．1∶2 D．1∶解析：如图所示，连接OD、OC，则OD⊥AC．∵AB⊥BC，∴∠ODC＝∠OBC＝90°.∵OB＝OD，OC＝OC，∴△CDO≌△CBO.∴BC＝DC．∵eq\f(AD,AC)＝eq\f(1,2)，∴AD＝DC．∴BC＝eq\f(1,2)AC．又OB⊥BC，∠ABC＝90°，∴∠A＝30°.∴OB＝OD＝eq\f(1,2)AO.∴eq\f(AO,OB)＝eq\f(2,1).答案：A二、填空题(每小题5分，共10分)5．(2023·四川卷)若⊙O：x2＋y2＝5与⊙O1：(x－m)2＋y2＝20(m∈R)相交于A、B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是__________________.解析：由题意得OA⊥O1A∴在Rt△OO1A中，eq\f(|AB|,2)＝2，∴|AB|＝4.答案：46．PA、PB切⊙O于A、B，PA＝5，在劣弧eq\o\ac(AB,\s\up10(︵))上取一点C，过C作⊙O的切线，分别交PA、PB于D、E两点，则△PDE的周长等于________.解析：由DC＝DA，CE＝EB，∴△PDE的周长＝PD＋DE＋PE＝PD＋PE＋DC＋CE＝(PD＋DA)＋(PE＋EB)＝PA＋PB，又PA＝PB＝5，∴△PDE的周长为10.答案：10三、解答题(每小题10分，共20分)7．如图所示，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB＝CD，且AB与小圆相切于点E.求证：CD与小圆相切．证明：如图所示，分别连接OA、OB、OC、OD、OE，过圆心O，作OF⊥CD．∵AB是小圆的切线，∴OE⊥AB．又∵AB＝CD，OA＝OC＝OB＝OD，∴△AOB≌△COD，∴OE＝OF，∴OF为小圆的半径．∴CD与小圆相切．8．如图，已知AP是⊙O的切线，P为切点，AC与⊙O交于B、C两点，圆心O在∠PAC的内部，点M是BC的中点．(1)证明：A、P、O、M四点共圆；(2)求∠OAM＋∠APM的大小．解析：(1)证明：如图所示，连接OP、OM.∵AP与⊙O相切于点P，∴OP⊥AP.∵M是⊙O的弦BC的中点，∴OM⊥BC．∴∠OPA＋∠OMA＝180°.∵圆心O在∠PAC的内部，∴四边形APOM的对角互补，∴A、P、O、M四点共圆．(2)由(1)得A、P、O、M四点共圆，∴∠OAM＝∠OPM.由(1)得，OP⊥AP.由圆心O在∠PAC的内部，可知∠OPM＋∠APM＝90°.∴∠OAM＋∠APM＝90°.eq\x(尖子生题库)☆☆☆9．(10分)(1)如图①，⊙O与△ABC的三边都相切，切点分别为D、E、F.如果∠FDE＝70°，那么∠A是多少度？(2)一变：如图②，⊙O与△ABC的三边都相切，切点分别为D，E，F，如果∠A＝30°，那么∠FDE是多少度？(3)二变：如图③，△ABC中，内切圆O和边BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，你认为∠FDE和∠A有什么数量关系？说明理由．解析：(1)连接OE、OF，则OE⊥AC，OF⊥AB．∠EOF＝2∠FDE＝2×70°＝140°.因为∠A＋∠AFO＋∠FOE＋∠AEO＝360°，所以∠A＝360°－∠FOE－∠AFO－∠AEO＝360°－140°－90°－90°＝40°.(2)连接OF、OE.因为AB、AC与⊙O分别相切于点F、E.所以OF⊥AB，OE⊥AC，所以∠EOF＝360°－∠A－∠AFO－∠AEO＝360°－30°－90°－90°＝150°，所以∠FDE＝eq\f(1,2)∠EOF＝eq