湖北省武汉市先锋中学2021-2022学年高三数学文测试题含解析

湖北省武汉市先锋中学2021-2022学年高三数学文测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知抛物线y2=2px（p＞0）与双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）有相同的焦点F，若点A是抛物线与双曲线的一个交点，且AF⊥x轴，则双曲线的离心率为（）A． B．+1 C．+1 D．参考答案：B【考点】K8：抛物线的简单性质．【分析】根据抛物线和双曲线有相同的焦点求得p和c的关系，根据AF⊥x轴可判断出|AF|的值和A的坐标，代入双曲线方程与p=2c，b2=c2﹣a2联立求得a和c的关系式，然后求得离心率e．【解答】解：∵抛物线的焦点和双曲线的焦点相同，∴p=2c∵A是它们的一个公共点，且AF垂直x轴，设A点的纵坐标大于0，∴|AF|=p，∴A（，p），∵点A在双曲线上，∴=1，∵p=2c，b2=c2﹣a2，∴=1，化简得：c4﹣6c2a2+a4=0，∴e4﹣6e2+1=0，∵e2＞1，∴e2=3+2∴e=+1，故选：B2.若关于x的不等式xex﹣2ax+a＜0的非空解集中无整数解，则实数a的取值范围是（）A．[，） B．[，） C．[，e] D．[，e]参考答案：B【考点】函数恒成立问题．【分析】设g（x）=xex，f（x）=2ax﹣a，求出g（x）的导数，判断直线恒过定点，设直线与曲线相切于（m，n），求得切线的斜率和切点在直线上和曲线上，解方程可得a，再由题意可得当x=﹣1时，求得a，通过图象观察，即可得到a的范围．【解答】解：设g（x）=xex，f（x）=2ax﹣a，由题意可得g（x）=xex在直线f（x）=2ax﹣a下方，g′（x）=（x+1）ex，f（x）=2ax﹣a恒过定点（，0），设直线与曲线相切于（m，n），可得2a=（m+1）em，mem=2am﹣a，消去a，可得2m2﹣m﹣1=0，解得m=1（舍去）或﹣，则切线的斜率为2a=（﹣+1）e，解得a=，又由题设原不等式无整数解，由图象可得当x=﹣1时，g（﹣1）=﹣e﹣1，f（﹣1）=﹣3a，由f（﹣1）=g（﹣1），可得a=，由直线绕着点（，0）旋转，可得≤a＜，故选：B．【点评】本题考查不等式解法问题，注意运用数形结合的方法，结合导数的运用：求切线的斜率，以及直线恒过定点，考查运算能力和观察能力，属于中档题．3.已知数列是公差不为0的等差数列，，数列的前项，前项，前项的和分别为，，，则（

）A．

B． C．

D．参考答案：D4.要得到函数的图象，只要将函数的图象(

)A.向左平移1个单位

B.向右平移1个单位C.向左平移个单位

D.向右平移个单位参考答案：C略5.已知，则的最小值为（

）A．8

B．16

C．20

D．25参考答案：6.设随机变量服从正态分布，若，则函数没有极值点的概率是（）A．0.2 B．0.3 C．0.7 D．0.8参考答案：C7.设全集为R，集合，N={0,1,2}，则M∩N=（

）A.{0,1,2} B.(0,2) C.(－2,2) D.{0,1}参考答案：D【分析】可解出M，然后进行交集的运算即可．【详解】解：M＝{x|﹣2＜x＜2}，N＝{0，1，2}；∴M∩N＝{0，1}．故选D．【点睛】本题考查描述法、列举法的定义，以及交集的运算，属于基础题．8.设向量，若是实数，则的最小值为A. B. C.1 D.参考答案：B略9.若函数在区间(1,+∞)上为增函数，则实数m的取值范围是（

）A．(－∞,1] B．(－∞,1) C．(－∞,2] D．(－∞,2)参考答案：C；由已知条件知时，恒成立；设，则在上恒成立；问题转化为在恒成立，而函数，故，故选C．10.在边长为2的正方形ABCD中，E,F分别为BC和

DC的中点，则（

）

A.

B．

C．

D．参考答案：C试题分析：将所求利用正方形的边对应的向量表示，然后利用正方形的性质解答．边长为2的正方形ABCD中，E，F分别为BC和DC的中点，所以故选：C考点：平面向量数量积运算二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数)；以原点为极点，以轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线的极坐标方程为 .参考答案：,或12.___________.参考答案：2略13.已知三棱锥O﹣ABC中，A，B，C三点均在球心O的球面上，且AB=BC=1，∠ABC=120°，若球O的体积为，则三棱锥O﹣ABC的体积是．参考答案：【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；球内接多面体．【分析】由已知条件可求出AC，求出△ABC的面积，设球半径为R，由球的体积可解得R，再设△ABC的外接圆的圆心为G，进一步求出OG，则三棱锥O﹣ABC的体积可求．【解答】解：三棱锥O﹣ABC中，A，B，C三点均在球心O的球面上，且AB=BC=1，∠ABC=120°，则AC=，∴，设球半径为R，由球的体积，解得R=4．设△ABC的外接圆的圆心为G，∴外接圆的半径为GA=，∴OG=．∴三棱锥O﹣ABC的体积是=．故答案为：．【点评】本题考查球的有关计算问题，考查棱锥的体积，考查学生空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题．14.某商人将彩电先按原价提高40%，然后“八折优惠”，结果是每台彩电比原价多赚144元，那么每台彩电原价是元．参考答案：1200【考点】一次函数的性质与图象．【专题】函数的性质及应用．【分析】设每台彩电原价是x元，由题意可得（1+40%）x?0.8﹣x=144，解方程求得x的值，即为所求．【解答】解：设每台彩电原价是x元，由题意可得（1+40%）x?0.8﹣x=144，解得x=1200，故答案为1200．【点评】本题主要考查一次函数的性质应用，属于基础题．15.已知变量x，y满足，则的取值范围是．参考答案：[，]【考点】简单线性规划．【专题】数形结合；数形结合法；不等式的解法及应用．【分析】作出可行域，变形目标函数可得=1+表示可行域内的点与A（﹣2，﹣1）连线的斜率与1的和，数形结合可得．【解答】解：作出所对应的区域（如图阴影），变形目标函数可得==1+，表示可行域内的点与A（﹣2，﹣1）连线的斜率与1的和，由图象可知当直线经过点B（2，0）时，目标函数取最小值1+=；当直线经过点C（0，2）时，目标函数取最大值1+=；故答案为：[，]【点评】本题考查简单线性规划，涉及直线的斜率公式，准确作图是解决问题的关键，属中档题．16.已知实数满足：，，则的最大值是___________

参考答案：略17.定义在上的函数满足.若当时.,则当时,=

.参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.央视传媒为了解央视举办的“朗读者”节目的收视时间情况，随机抽取了某市名30观众进行调查，其中有12名男观众和18名女观众，将这30名观众收视时间编成如图所示的茎叶图（单位：分钟），收视时间在35分钟以上（包括35分钟）的称为“朗读爱好者”，收视时间在35分钟以下（不包括35分钟）的称为“非朗读爱好者”.规定只有女“朗读爱好者”可以参加央视竞选.（1）若采用分层抽样的方法从“朗读爱好者”和“非朗读爱好者”中随机抽取5名，再从这5名观众中任选2名，求至少选到1名“朗读爱好者”的概率；（2）若从所有的“朗读爱好者”中随机抽取3名，求抽到的3名观众中能参加央视竞选的人数的分布列及其数学希望.参考答案：（1）根据茎叶图，有“朗读爱好者”12人，“非朗读爱好者”18人，用分层抽样的方法，每个人被抽到的概率是.选中的“朗读爱好者”有人，“非朗读爱好者”有人.记：至少有一名“朗读爱好者”被选中.：没有一名“朗读爱好者”被选中.则.（2）依题意，的取值为：0,1,2,3,的分布列是：19.[选做题:极坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy中，斜率为1的直线l过定点（﹣2，﹣4）．以O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C的极坐标方程为ρsin2θ﹣4cosθ=0．（1）求曲线C的直角坐标方程以及直线l的参数方程；（2）两曲线相交于M，N两点，若P（﹣2，﹣4），求|PM|+|PN|的值．参考答案：【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）由斜率为1的直线l过定点（﹣2，﹣4），可得参数方程为：，（t为参数）．由曲线C的极坐标方程为ρsin2θ﹣4cosθ=0，即ρ2sin2θ﹣4ρcosθ=0，利用互化公式可得直角坐标方程．（2）把直线l的方程代入抛物线方程可得：t2﹣12t+48=0．利用根与系数的关系及其|PM|+|PN|=|t1|+|t2|=|t1+t2|即可得出．【解答】解：（1）由斜率为1的直线l过定点（﹣2，﹣4），可得参数方程为：，（t为参数）．由曲线C的极坐标方程为ρsin2θ﹣4cosθ=0，即ρ2sin2θ﹣4ρcosθ=0，可得直角坐标方程：C：y2=4x．（2）把直线l的方程代入抛物线方程可得：t2﹣12t+48=0．∴t1+t2=12，t1t2=48．∴|PM|+|PN|=|t1|+|t2|=|t1+t2|=12．20.已知函数，（1）若是奇函数，求的值；（2）证明函数在R上是增函数。参考答案：

略21.（本小题满分12分）

已知函数，且.

⑴若曲线在点处的切线垂直于轴，求实数的值；

⑵当时，求函数的最小值；

⑶在⑴的条件下，若与的图像存在三个交点，求的取值范围.参考答案：解：由题意得：；

(2分)(1)由曲线在点处的切线垂直于轴，结合导数的几何意义得，即，解得；

(4分)(2)设，则只需求当时，函数的最小值.令，解得或，而，即.

从而函数在和上单调递增，在上单调递减.当时，即时，函数在上为减函数，；当，即时，函数的极小值即为其在区间上的最小值，.综上可知，当时，函数的最小值为；当时，函数的最小值为.

(8分)(3)令，显然，则.构造函数，.令得，，，可知：在上单调递减，且，当无限减小时，保持恒负并无限接近于0，其图像在下方无限靠近轴负半轴；在上单调递增，当无限接近于0时，无限增大，其图像在左侧向上无限接近轴正半轴，由于极小值，所以在内存在一个零点；在上单调递增，在上单调递减，在上单调递