高中数学人教A版第三章函数的应用（省一等奖）

二分法求方程的近似解一、课前准备1．课时目标（1）根据具体函数的图象，能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解（2）了解二分法的产生过程，掌握二分法求方程近似解得过程和方法。（3）通过对二分法的学习，进一步体会算法思想在解决问题和培养理性思维中的意义和作用。2．基础预探1、一般地，我们把称为区间的中点。2、所谓二分法，就是对于在区间上且的函数，通过不断地把函数的所在的区间，使区间的两个断点逐步逼近，进而得到零点的近似值的方法。3、给定精确度，用二分法求函数零点近似值的步骤如下：（1）确定，验证，给定；（2）求区间；（3）计算；①若，则就是函数的零点；②若，则令（此时零点）③若，则令（此时零点）（4）判断是否达到精确度：即若，则得到零点近似值（或）；否则重复（2）~（4）。4、求函数的零点的近似值时，所要求的不同，得到的结果也不相同，精确度，是指在计算过程中得到某个区间后，若，即认为达到所要求的精确度，否则应继续计算，直到为止。二、基本知识习题化1.若函数在区间上为减函数，则在上（）.A.至少有一个零点B.只有一个零点C.没有零点D.至多有一个零点2.下列函数图象与轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点近似值的是（）.3.函数的零点所在区间为（）.A.B.C.D.4.用二分法求方程在区间[2，3]内的实根，由计算器可算得，，，那么下一个有根区间为.三、学习引领1、变号零点与不变号零点的概念（1）变号零点：如果函数在一个区间上的图象不间断，并且在它的两个端点处的函数值异号，即，则这个函数在这个区间上，至少有一个零点，即存在一点，使，如果函数图象通过零点时穿过轴，则称这样的零点为变号零点。（2）不变号零点：如果曲线上存在一点，使，但没有穿过轴，则称这样的零点为不变号零点。2、判断一个函数在给定的区间的零点如果函数在给定区间上是连续不间断的且在两个端点处的函数值满足那么该函数在给定区间上至少存在一个变号零点。若，是否就不存在变号零点呢？例如：在上，，但是与都是函数的变号零点。3、二分法的基本思想如果将零点所在的范围尽量缩小，那么在一定精确度的要求下，我们可以得到零点的近似值，为了方便，通过“取中点”，不断地把函数零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值。4、二分法求零点近似值的步骤已知函数在定义在区间D上，求它在D上的一个零点的近似值，使它满足给定的精确度，步骤如下：第一步：在D内取一个闭区间，使与异号，即，零点位于区间中。第二步：取区间的中点，则此中点对应的坐标为。计算和判断：（1）如果，则就是函数的零点，计算终止；（2）如果，则零点位于区间内，令；（3）如果，则零点位于区间内，令；第三步：取区间的中点，则此中点对应的坐标为。计算和判断：（1）如果，则就是函数的零点，计算终止；（2）如果，则零点位于区间内，令；（3）如果，则零点位于区间内，令；……继续上述步骤，直到区间，函数的零点总位于区间上，当和按照给定的精确度所取的近似值相同时，这个相同的近似值就是函数的近似零点，计算终止，这时函数的近似零点满足给定的精确度。四、典例导析1、利用二分法求函数的近似零点例1、求方程的一个实数解，精确到。思路导析：考察函数，从一个两端函数值反号的区间开始，应用二分法逐步缩小方程实数解所在的区间。解析：经试算，，，∴函数在内存在零点，即方程在内有解。取的中点1，经计算，，又，∴方程在内有解。如此下去，得到方程的实数解所在区间如下表所示，至此可以看出，在区间内所有值，若精确到，都是，故是方程精确到的实数解。左端点右端点第1次02第2次01第3次1第4次第5次第6次第7次第8次第9次第10次第11次规律总结：二分法求方程实数解的思想是非常简明的，但是为了提高解的精确度，用二分法求方程实数解的过程又是比较长的，有些计算不用工具甚至无法实施，这就需要借助科学计算器等。变式练习1、求方程在区间［2，3］内的近似解（精确到）.2．二分法的应用例2、在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障，这是一条长的线路，如何迅速查出故障所在？如果沿着线路一小段一小段地查找，困难很多，每查一点要爬一次电线杆子，长，大约有200多根电线杆子呢！想一想，维修线路的工人师傅怎样工作最合理？分析：可用二分法原理进行查找。解析：如图所示，他首先从中点查，用随身带的话机向两端测试时，若发现段正常，断定故障在段；再到段的中点，这时发现段正常，可见故障在段；再到中点来查。这样每查一次，就可以把待查的线路长度缩减一半，故经过7次查找，即可将故障发生的范围缩小到之间，即一两根电线杆附近。闸门闸门指挥部待查规律总结：这种检查线路故障的方法，就是二分法的应用，二分法不仅可以查找电线线路、水管、气管故障，还能用于实验设计、资料查询等。变式练习2、函数在上存在一个零点，则的取值范围是（）A、B、C、D、或五、随堂练习1、下面关于二分法的叙述,正确的是A.用二分法可求所有函数零点的近似值B.用二分法求方程的近似解时,可以精确到小数点后的任一位C.二分法无规律可循,无法在计算机上完成D.只有在求函数零点时才用二分法2、下列图象与x轴均有交点,其中不能用二分法求函数零点的是

3、函数在上存在一个零点，则的取值范围是（）A、B、C、D、或4、用二分法研究函数的零点时，第一次经计算，可得其中一个零点，第二次应计算。以上横线应填的内容为：5、已知函数y=f(x)的图象是连续不断的，有如下的对应值表：x123456y123．5621．45-7．8211．45-53．76-128．88则函数y=f(x)在区间［1，6］上的零点至少有6、用二分法求方程在区间的一个实数（精确到）.六、课后作业1、定义在R上的函数的图象是连续不断的曲线,已知函数在区间上有一个零点,且,用二分法求时,当时,则函数的零点是A.外的点

B.C.区间或内的任意一个实数

D.或2、若方程在内恰有一解，则的取值范围是(

)A.

B.

C.

D.3、已知函数在区间上是连续不断的曲线,判断下列结论,正确的是______.①若,则在区间内函数有且仅有一个零点

②若,则在区间内函数可能有零点③若在内有零点,必有④若,则函数在内有零点

⑤若,则函数在内有零点4、当的范围为时，方程有两个实根且在区间上有且只有一个实根.5、作出函数与的图象，并写出方程的近似解.（精确到）.6、求函数的一个为正数的零点（精确到）.分析：由于要求的是函数的一个正数零点，因此可以考虑首先确定一个包含正数的闭区间，而，所以可取区间作为计算的初始区间.二分法求方程的近似解答案解析一、课前准备2．基础预探1、2、单调，连续，，，中点3、（略）4、精确度，区间左右断点精确到e索取的近似值相同，达到精确度二、基本知识习题化1.解析：根据二分法，可知函数在区间上为减函数，则在上至多有一个零点。2.解析：由二分法求零点的方法，所以B图不能用二分法求近似解。3.解析：由，，即，故选B。4.解析：根据二分法的规则，下一个有根区间为，即。四、典例导析变式练习1、解：设f（x）=x+-3，则f（2）＝－＜0，f（3）＝＞0，取区间（2，3）的中点，求得f（）=＜0，∴f（）f（3）＜0，∴x0∈（，3）；取区间（，3）的中点x2=，求得f（）≈＞0，∴f（）f（）＜0，∴x0∈（，）；取区间（，）的中点x3=，求得f（）≈＞0，∴f（）f（）＜0，∴x0∈（，）；取区间（，）的中点x4=，求得f（）≈＜0，∴f（）f（）＜0，∴x0∈（，）；取区间（，）的中点x5=，求得f（）≈－＜0，∴f（）f（）＜0，∴x0∈（，）；取区间（，）的中点x6=，求得f（）≈－＜0，∴f（）f（）＜0，∴x0∈（，）；取区间（，）的中点x7=，求得f（）≈－＜0，∴f（）f（）＜0，∴x0∈（，）；取区间（，）的中点x8=，求得f（）≈>0，∴f（）f（）＜0，∴x0∈（，）.此时区间（，）的两个端点精确到的近似值都是，∴方程x+-3=0在区间［2，3］内精确到的近似解为.2、分析：判断函数在某一区间上存在一个零点，只需要即可，故本题只要解不等式，故答案：D.五、随堂练习1、解析：二分法只能求解变号零点问题，故A不正确；二分法是一种算法问题，可利用计算机操作，故C不正确；二分法可解决一些实际问题，故D不正确；由二分法的可知，B是正确的。2、解析：二分法只能解决变号零点问题，故A不能使用二分法。3、分析：判断函数在某一区间上存在一个零点，只需要即可，故本题只要解不等式，故答案：D.4、答案：解析：在二分法中应用进行验证。5、答案：3个解析：根据二分法，可知，所以应该至少有三个零点。6、解析：设，∵，∴在区间内有实数解，取为初始运算区间，用二分法计算列表如下：端点（中点）坐标中点函数值符号取值区间∵∴所求根的近似值为六、课后作业1、解析：由可知，在区间内存在零点，又得。2、解析：由题意，设，得，解得，故选B3、答案：②⑤解析：根据二分法解决零点问题时，只有②⑤是正确的。4、解析：根据函数的零点的概念及二分法得，设，∴，即，解得.5、解析