2021-2022学年湖南省衡阳市耒阳市洲陂中学高三数学文联考试卷含解析

2021-2022学年湖南省衡阳市耒阳市洲陂中学高三数学文联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知集合A={-1,-2,0,1}，B={x|ex<1}，则集合C=A∩B的元素的个数为（

）A.1

B.2

C.3

D.4参考答案：B因为集合C=A∩B={-1,-2}，所以其元素的个数为2.2.设i为虚部单位，复数z满足，则（

）A.1 B. C.2 D.参考答案：B【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解．【详解】由（1﹣i）z＝2i，得z，∴|z|．故选：B．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．3.已知命题，命题.下面结论正确的是（

）A．命题“”是真命题

B.命题“”是假命题C．命题“”是真命题

D．命题“”是假命题参考答案：D略4.如图是一个程序框图，则输出的值是（

）A．5

B．7

C．9

D．11参考答案：C考点：程序框图．5.△ABC中，“角A，B，C成等差数列”是“sinC=（cosA+sinA）cosB”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据等差数列和两角和的正弦公式，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．【解答】解：若A，B，C成等差数列，则A+C=2B，∴B=60°，若，则sin（A+B）=，即sinAcosB+cosAsinB=，∴cosAsinB=cosAcosB，若cosA=0或tanB=，即A=90°或B=60°，∴角A，B，C成等差数列是成立的充分不必要条件．故选：A．6.已知曲线在点（1,1）处的切线与抛物线相切，则a的值为（）A.0 B.0或8 C.8 D.1参考答案：C【分析】求出曲线在点处的切线方程，再联立切线方程和抛物线方程并消去，利用判别式为零可求的值.【详解】，当时，切线的斜率，切线方程为，因为它与抛物线相切，有唯一解即故，解得，故选C.【点睛】对于曲线的切线问题，注意“在某点处的切线”和“过某点的切线”的差别，切线问题的核心是切点的横坐标.一般地，曲线在处的切线方程为.7.在△中，若，，，则A.

B.

C.

D.参考答案：B根据正弦定理，，则.8.设双曲线的右焦点为F,过点F作与x轴垂直的直线l交两条渐近线于A，B两点，且与双曲线在第一象限的交点为P，设O为坐标原点，若,则该双曲线的离心率为

（

）（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：C由题意得，因为，所以，选C

9.设集合M={x∈R|x2+x﹣6＜0}，N={x∈R||x﹣1|≤2}．则M∩N=(

) A．（﹣3，﹣2] B．[﹣2，﹣1） C．[﹣1，2） D．[2，3）参考答案：C考点：交集及其运算．专题：集合．分析：求出集合的等价条件，利用集合的基本运算进行求解．解答： 解：M={x∈R|x2+x﹣6＜0}={x|﹣3＜x＜2}，N={x∈R||x﹣1|≤2}={x|﹣1≤x≤3}．则M∩N={x|﹣1≤x＜2}=[﹣1，2），故选：C点评：本题主要考查集合的基本运算，比较基础．10.已知全集U={1,2,3,4}，若A={1,3}，则CUA=（

）A．{1,2} B．{1,4} C．{2,3} D．{2,4}参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知数列的前项和满足，则数列的通项公式________．参考答案：

12.已知点O（0，0），A（﹣1，3），B（2，﹣4），=2+m，若点P在y袖上，则实数m=．参考答案：【分析】利用坐标来表示平面向量的运算，又因为点P在y轴上，所以它的横坐标为0，从而得到答案．【解答】解：∵O（0，0），A（﹣1，3），B（2，﹣4），∴=（﹣1，3），=（3，﹣7），∵P在y袖上，∴可设=（0，y），∵=2+m，∴（0，y）=2（﹣1，3）+m（3，﹣7）=（3m﹣2，6﹣7m），∴3m﹣2=0，解得m=【点评】本题考查了利用坐标来表示平面向量的运算，属于最基本的题目．13.已知各项均为正数的等比数列{an}满足，且，则

．参考答案：18解得，即，则

14.若满足约束条件则

.参考答案：015.参考答案：4略16.如图，一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是直径为1的圆，那么该几何体的侧面积为

。参考答案：

17.若关于的不等式的解集为，则________.参考答案：(二)必做题（14-16题）三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数f（x）=xlnx+ax2﹣1，且f′（1）=﹣1．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）若对于任意x∈（0，+∞），都有f（x）﹣mx≤﹣1，求m的最小值；（Ⅲ）证明：函数y=f（x）﹣xex+x2的图象在直线y=﹣2x﹣1的下方．参考答案：【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，计算f′（1）=﹣1，求出a的值，从而求出函数的表达式即可；（Ⅱ）问题转化为对于任意x∈（0，+∞），都有lnx﹣x≤m，设g（x）=lnx﹣x，根据函数的单调性求出m的最小值即可；（Ⅲ）问题转化为证xlnx﹣xex+2x＜0，即只要证lnx＜ex﹣2，根据g（x）=lnx﹣x≤﹣1，即lnx≤x﹣1，问题转化为只要证明当x∈（0，+∞）时，x﹣1＜ex﹣2即可，设h（x）=（ex﹣2）﹣（x﹣1）=ex﹣x﹣1，根据函数的单调性求出h（x）的单调性，从而证出结论．【解答】（Ⅰ）解：对f（x）求导，得f′（x）=1+lnx+2ax，所以f′（1）=1+2a=﹣1，解得a=﹣1，所以f（x）=xlnx﹣x2﹣1；（Ⅱ）解：由f（x）﹣mx≤﹣1，得xlnx﹣x2﹣mx≤0，因为x∈（0，+∞），所以对于任意x∈（0，+∞），都有lnx﹣x≤m，设g（x）=lnx﹣x，则g′（x）=﹣1，令g′（x）＞0，解得：x＜1，令g′（x）＜0，解得：0＜x＜1，所以g（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减，所以当x=1时，g（x）max=g（1）=﹣1，因为对于任意x∈（0，+∞），都有g（x）≤m成立，所以m≥﹣1所以m的最小值为﹣1；（Ⅲ）证明：“函数y=f（x）﹣xex+x2的图象在直线y=﹣2x﹣1的下方”等价于“f（x）﹣xex+x2+2x+1＜0”，即要证xlnx﹣xex+2x＜0，所以只要证lnx＜ex﹣2．由（Ⅱ），得g（x）=lnx﹣x≤﹣1，即lnx≤x﹣1（当且仅当x=1时等号成立）．所以只要证明当x∈（0，+∞）时，x﹣1＜ex﹣2即可，设h（x）=（ex﹣2）﹣（x﹣1）=ex﹣x﹣1，所以h′（x）=ex﹣1，令h′（x）=0，解得：x=0由h′（x）＞0，得x＞0，所以h（x）在（0，+∞）上为增函数．，所以h（x）＞h（0）=0，即x﹣1＜ex﹣2，所以lnx＜ex﹣2，故函数y=f（x）﹣xex+x2的图象在直线y=﹣2x﹣1的下方．19.已知f（x）=|x﹣a|+|x﹣3|．（1）当a=1时，求f（x）的最小值；（2）若不等式f（x）≤3的解集非空，求a的取值范围．参考答案：【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式．【分析】（1）当a=1时，f（x）=|x﹣1|+|x﹣3|≥|x﹣1﹣x+3|=2，即可求f（x）的最小值；（2）x∈R时，恒有|x﹣a|+|x﹣3|≥|（x﹣a）﹣（x﹣3）|=|3﹣a|，不等式f（x）≤3的解集非空，|3﹣a|≤3，即可求a的取值范围．【解答】解：（1）当a=1时，f（x）=|x﹣1|+|x﹣3|≥|x﹣1﹣x+3|=2，∴f（x）的最小值为2，当且仅当1≤x≤3时取得最小值．（2）∵x∈R时，恒有|x﹣a|+|x﹣3|≥|（x﹣a）﹣（x﹣3）|=|3﹣a|，∴不等式f（x）≤3的解集非空，|3﹣a|≤3，∴0≤a≤6．20.如图，在四棱锥中，四边形为梯形，，，为等边三角形，.（1）求证：平面平面；（2）求二面角大小的余弦值.参考答案：（1)如图取的中点，连接，依题，所以四边形是平行四边形，所以.因为是中点，所以，故，所以为等边三角形，所以，因为，所以所以平行四边形为菱形，所以，所以，即，又已知，所以平面，平面，所以平面平面.(2)由（1)知，平面，平面平面，所以如图，以为轴，为轴，过点与平面垂直的直线为轴建立空间直角坐标.设，则，，所以，所以.设平面的法向量，则，令，则，所以.同理可得平面的法向量，所以，所以二面角大小的余弦值为.21.选修4-5：不等式选讲已知函数.（1）解不等式；（2）若关于x的不等式的解集为R，求实数a的取值范围.参考答案：解：（1）不等式可化为，当时，，解得，即；当时，，解得，即；当时，，解得，即；综上所述，不等式的解集为或.（2）由不等式可得.∵，∴，即解得或.∴实数的取值范围是.

22.已知函数．（1）讨论f(x)的单调性；（2）若f(x)存在两个极值点，证明：．参考答案：（1）见解析；（2）见解析分析：(1)首先确定函数的定义域，之后对函数求导，之后对进行分类讨论，从而确定出导数在相应区间上的符号，从而求得函数对应的单调区间；(2)根据存在两个极值点，结合第一问的结论，可以确定，令，得到两个极值点是方程的两个不等的正实根，利用韦达定理将其转换，构造新函数证得结果.详解：（1）的定义域为，.（i）若，则，当且仅当，时，所以在单调递减.（ii）若，令得，或.当时，；当时，.所以在单调递减，在单调递增.（2）由（1）知，存在两个极值点当且仅当.由于的两个极值