北师大数学八年级上册命题、证明及平行线的判定定理提高

命题、证明及平行线的判定定理（提高）知识讲解【学习目标】.了解定义、命题的含义，会区分命题的条件（题设）和结论；.体会检验数学结论的常用方法：实验验证、举出反例、推理；.了解公理和定理的定义，并能正确的写出已知和求证，掌握证明的基本步骤和书写格式；.掌握平行线的判定方法，并能简单应用这些结论.【要点梳理】要点一、定义与命题.定义：一般地，用来说明一个名词或者一个术语的意义的句子叫做定义要点诠释：（1）定义实际上就是一种规定.（2）定义的条件和结论互换后的命题仍是真命题.命题：判断一件事情的句子叫做命题.真命题：正确的命题叫做真命题.假命题：不正确的命题叫做假命题.要点诠释：（1）命题的结构：命题通常由条件（或题设）和结论两部分组成条件是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一般地，命题都可以写成"如果……那么……”的形式其中“如果”开始的部分是条件，“那么”后面是结论.（2）命题的真假：对于真命题来说，当条件成立时，结论一定成立；对于假命题来说，当条件成立时，不能保证结论正确，即结论不成立.要点二、证明的必要性要判断一个命题是不是真命题，仅仅依靠经验、观察、实验和猜想是不够的，必须一步一步、有根有据地进行推理.推理的过程叫做证明.要点三、公理与定理.公理：通过长期实践总结出来，并且被人们公认的真命题叫做公理要点诠释：欧几里得将“两点确定一条直线”等基本事实作为公理.定理：通过推理得到证实的真命题叫做定理.要点诠释：证明一个命题的正确性要按已知、求证、证明的顺序和格式写出其中“已知”是命题的条件，“求证”是命题的结论，而“证明”则是由条件（已知）出发，根据已给出的定义、公理、已经证明的定理，经过一步一步的推理，最后证实结论（求证）的过程要点四、平行公理及平行线的判定定理1.平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.要点诠释：⑴平行公理特别强调“经过直线外一点”，而非直线上的点，要区别于垂线的第一性质.⑵公理中“有”说明存在；“只有”说明唯一.（3）“平行公理的推论”也叫平行线的传递性.2.平行线的判定定理判定方法1:同位角相等，两直线平行.如上图，几何语言：「Z3=Z2•・AB#CD（同位角相等，两直线平行）判定方法2：内错角相等，两直线平行.如上图，几何语言：「Z1=Z2•・AB〃CD（内错角相等，两直线平行）判定方法3：同旁内角互补，两直线平行.如上图，几何语言：・•Z4+Z2=180°•・AB#CD（同旁内角互补，两直线平行）要点诠释：平行线的判定是由角相等或互补，得出平行，即由数推形.【典型例题】类型一、定义与命题1.说出下列命题的条件和结论，并判断它是真命题还是假命题：（1）在同一个三角形中，等角对等边；（2）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等；（3）有两边对应成比例,且有任意一角对应相等的两个三角形相似.【答案与解析】解：（1）先把这个命题写成“如果……那么……”的形式：如果在同一个三角形中，有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等.条件：同一个三角形中的两个角相等；结论：这两个角所对的两条边相等它是真命题.（2）原命题可以写成：如果两个三角形有两个角和其中一角的对边对应相等，那么这两个三角形全等.条件：两个三角形有两个角和其中一角的对边对应相等；结论：这两个三角形全等它是真命题.（3）原命题可以写成：如果两个三角形两边对应成比例，且有任意一角对应相等，那么这两个三角形相似.条件：两个三角形两边对应成比例，且有任意一角对应相等；结论：这两个三角形相似它是假命题，反例：如下图：【总结升华】要判断一个命题是假命题,只要能够举出一个例子,使之具备命题的条件,而不具备命题的结论,就可以说明这一命题是假命题，这种例子通常称为反例.举一反三：【变式】下列语句中，哪些是命题，哪些不是命题，如果是命题的话，请指出是真命题还是假命题？（1）三角形的三条高交于一点；（2）解方程x2—2x—3=0； ⑶1+2W3.【答案】（2）不是命题；（1）（3）是命题，其中（1）是真命题，（3）是假命题.【变式2】下列真命题的个数是（）（1）直线a、b、c、d,如果a〃b、c〃b、c〃d,则a〃d.（2）两条直线被第三条直线所截，同旁内角的平分线互相垂直（3）两条直线被第三条直线所截，同位角相等.（4）在同一平面内，如果两直线都垂直于同一条直线，那么这两直线平行.A.1个B.2个 C.3个D.4个【答案】B类型二、公理、定理及证明往2.证明：对顶角相等.【思路点拨】如果题目中没有明确出“条件”和“结论”，应先写出已知、求证、证明，如果需要的话并画出图形，再证明.【答案与解析】已知：如图，直线AB,CD相交于点O,N1和N2是对顶角.证明：•「N1和N2是对顶角（已知），・・OA与OB互为反向延长线（对顶角的意义）.••NAOB是平角（平角的定义）.同理，NCOD也是平角.AZ1和N2都是NAOC的补角（补角的定义）.・.N1=N2（等角的补角相等）.【总结升华】“对顶角相等”是一个定理，而不是公理.举一反三：【变式】证明：相似三角形的周长比等于相似比.

【答案】已知:求证:证明:如图，△ADEs^ABC, AE：已知:求证:证明:'△ADEQaBC-k•「△ADEMABC.\AE:AC=AD:AB=DE:BC=k・•・(AE+AD+DE):(AC+AB+BC)=k类型三、平行公理及平行线的判定,,,△ADE:C△ABC-k类型三、平行公理及平行线的判定3.(2015春•无锡)一副直角三角板叠放如图所示，现将含45°角的三角板ADE固定不动，把含30°角的三角板ABC绕顶点A顺时针旋转Na(a=ZBAD且0°<a<180°),使两块三角板至少有一组边平行.(1(1)如图①，a=。时，BC〃DE；(2)请你分别在图②、图③的指定框内，各画一种符合要求的图形，标出a,并完成各项；图③中a=。时，；图③中a=。时，〃填空：图②中a=。时，【思路点拨】(1)利用两直线平行同位角相等，并求得a=45°-30°=15°；(2)利用平行线的性质及旋转不变量求得旋转角即可.【答案与解析】解：(1)图①中a=15°时，BC〃DE,.•BC〃DE,.•・N1=NB=60°,VZ1=ZD+Za,ZD=45°,•.Na=15°a=NCAD-NCAB=45°-30°=15°.(2)图②中a=60°时，BC〃DA,VZBAC=30°,Za=60°,.•・NDAC=90°=NC,.•・NDAC+NC=180°,.•・BC〃DA；图③中a=105°时，BC〃EA.VZa=105°,ZDAE=45°,.•・NEAB=60°,VZB=60°,.•・NEAB=NB,・•・BC〃EA.故答案为：(1)15；(2)60；BC；DA；105；BC；【总结升华】本题考查了图形的旋转变化，学生主要看清是顺时针还是逆时针旋转，并判断旋转角为多少度，难度不大，但易错.举一反三:【变式】一个学员在广场上驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，这两次拐弯的角度可能是（）.A.第一次向左拐30°,第二次向右拐30°B.第一次向右拐50°,第二次向左拐130°C第一次向右拐50°,第二次向右拐130°D.第一次向左拐50°,第二次向左拐130°【答案】A提示：“方向相同”有两层含义，即路线平行且方向相同，在此基础上准确画出示意图.图B显然不同向，因为路线不平行.图C中，N1=180°T30°=50°,路线平行但不同向.图D中，N1=180°T30°=50°,路线平行但不同向.只有图A路线平行且同向，故应选A.©（2016春太仓市期末）如图，四边形ABCD中，NA=NC=90°,BE平分NABC,DF平分NADC,则BE与DF有何位置关系？试说明理由.3尸 C【思路点拨】根据四边形的内角和定理和NA=NC=90°,得NABC+NADC=180°；根据角平分线定义、等角的余角相等易证明和BE与DF两条直线有关的一对同位角相等，从而证明两条直线平行.【答案与解析】解：BE〃DF.理由如下：VZA=ZC=90°,.•・NABC+NADC=180°VBE平分NABC,DF平分/ADC,AZ1=Z2=yNABC,N3=N4—■NADC,・，./1+/34(NABC+NADC)弓X180°=90°,XN1+NAEB=90°

.•・N3=NAEB.•・BE〃DF【总结升华】此题运用了四边形的内角和是360°、角平分线定义、等角的余角相等和平行线的判定，考察的知识点较多，只有熟练掌握，才能运用自如.举一反三：试判断直线AB、【变式1】已知，如图，BE平分ZABD,DE平分NCDB,且Z1与Z试判断直线AB、解：AB〃CD解：AB〃CD,理由如下：•・,BE平分NABD,DE平分NCDB,.ZABD=2Z1,ZCDB=2Z2.又二Z1+Z2=90°,.ZABD+ZCDB=180°・•・AB〃CD（同旁内角互补，两直线平行）.【变式2】（2015•长春一模）如图，直线a与直线b被直线c所截，b，c,N1=70°.若使直线b与直线a平行，则可将直线b绕着点A顺时针旋转垂足为点A,20°20°解：•「b，c,AZ2=90°.・/N1=70°,a〃b,.直线b绕着点A顺时针旋转的度数=90°-70°=20°.故选D.命题、证明及平行线的判定定理（提高）巩固练习【巩固练习】一、选择题.下列说法中是真命题的有（）.①一条直线的平行线只有一条.②过一点与已知直线平行的直线只有一条.③因为a〃b,c〃d,所以a〃d.④经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行.A.1个 B.2个 C.3个 D.4个.如果两个角的一边在同一直线上，另一边互相平行，则这两个角（）.A.相等 B.互补C.互余D.相等或互补.（2015•黔南州）如图，下列说法错误的是（ ）人.若a〃b,b〃c,则a〃c B.若N1=N2,则a〃cC.若N3=N2,则b〃cD.若N3+N5=180°,则a〃c.一辆汽车在广阔的草原上行驶，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，那么这两次拐弯的角度可能是（）.A.第一次向右拐40°,第二次向右拐140°.B.第一次向右拐40°,第二次向左拐40°.C.第一次向左拐40°,第二次向右拐140°.D.第一次向右拐140°,第二次向左拐40°..（2016春•莒县期末）如图，下列条件中不能判定AB〃CD的是（）.A.Z3=Z4 B.Z1=Z5 C.Z1+Z4=180° D.Z3=Z5.（绍兴）学习了平行线后，小敏想出了过已知直线外一点画这条直线的平行线的新方法，她是通过折一张半透明的纸得到的（如图，（1）—（4））:从图中可知，小敏画平行线的依据有（）.①两直线平行，同位角相等.②两直线平行，内错角相等.③同位角相等，两直线平行.④内错角相等，两直线平行.A.①②B.②③C.③④D.④①二、填空题

TOC\o"1-5"\h\z.在同一平面内的三条直线，它们的交点个数可能是 ..（2015春•高密市）如图，在下列条件中：①NDAC=NACB；②NBAC二NACD；③NBAD+NADC=180°；④NBAD+NABC=180°.其中能使直线AB〃CD成立的.规律探究：同一平面内有直线a1,a2，a3…，a100，若a1，a2，a2〃a3，a3，a4…，按此规律，a1和a100的位置是 ..已知两个角的两边分别平行，其中一个角为40°,则另一个角的度数是 ..（2016春•吴兴区期末）如图，EFLAB于点F,CDXAB于点D,E是AC上一点，N1=N2,则图中互相平行的直线有 对..如图，ABXEF于点G,CDXEF于点H,GP平分NEGB,HQ平分NCHF,则图中互相平行的直线有 .三、解答题.如图，N1=60°,N2=60°,N3=100°,要使AB〃EF,N4应为多少度?说明理由..(2015春泗阳)如图，四边形ABCD中，NA=NC=90°,BE平分NABC交CD于E,DF平分NADC交AB于F.(1)若NABC=60°,则NADC=°,NAFD=°；(2)求证：BE〃DF..如图，把一张长芳形纸条ABCD沿AF折叠，已知/人口8=20°,那么NBAF为多少度时，才能使AB/〃BD?.如图所示，由N1=N2,BD平分NABC,可推出哪两条线段平行，写出推理过程，如果推出另两条线段平行，则应将以上两条件之一作如何改变？【答案与解析】一、选择题.【答案】A；【解析】只有④是真命题，其它均是假命题..【答案】D；.【答案】C；【解析】人、若@〃卜"5〃。，则@〃如利用了平行公理，正确；B、若/1=/2,则@〃的利用了内错角相等，两直线平行，正确；C、N3=N2,不能判断匕〃一错误；D、若/3+/5=180°,则@〃如利用同旁内角互补，两直线平行，正确；故选C..【答案】B；.【答案】D；【解析】N3和N5是同旁内角，同旁内角相等，不能判定两直线平行..【答案】C；【解析】解决本题关键是理解折叠的过程，图中的虚线与已知的直线垂直，过点P的折痕与虚线垂直.二、填空题.【答案】0或1或2或3个；.【答案】②③；【解析】①NDAC二NACB利用内错角相等两直线平行得到AD〃BC,错误；②NBAC二NACD利用内错角相等两直线平行得到AB〃CD,正确；③NBAD+NADC=180°利用同旁内角互补得到AB〃CD,正确；④NBAD+NABC=180°利用同旁内角互补得到AD〃BC,错误；故答案为：②③.【答案】匕〃4。。；【解析】为了方便，我们可以记为a1±a2#a3±a4#a5±a6#a7±a8#a9±a10^#a97±a98#a99±a100，因为aja/a3,所以a1±a3,而a3±a4,所以a/a/a(同理得a5#a8//a9,a9〃a12〃a13,…，接着这样的规律可以得.〃%〃/。，所以a4/。..【答案】40°或140°；.【答案】2；【解析】EF/CD,ED/CB..【答案】AB/CD,GP/HQ；【解析】理由：•・•AB±EF,CDXEF.AZ