高中数学人教A版第三章三角恒等变换 第三章质量评估检测

第三章质量评估检测时间：120分钟满分：150分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．sin75°cos30°－cos75°sin30°的值为()A．1\f(1,2)\f(\r(2),2)\f(\r(3),2)解析：sin75°cos30°－cos75°sin30°＝sin(75°－30°)＝sin45°＝eq\f(\r(2),2).答案：C2．已知sinα＝eq\f(2,3)，则cos(π－2α)＝()A．－eq\f(\r(5),3)B．－eq\f(1,9)\f(1,9)\f(\r(5),3)解析：cos(π－2α)＝－cos2α＝－(1－2sin2α)＝2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))2－1＝－eq\f(1,9).答案：B3．函数y＝cos2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,12)))＋sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,12)))－1是()A．周期是2π的奇函数B．周期是π的偶函数C．周期是π的奇函数D．周期是2π的偶函数解析：y＝cos2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,12)))＋sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,12)))－1＝eq\f(1＋cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6))),2)＋eq\f(1－cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6))),2)－1＝eq\f(cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))－cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6))),2)＝eq\f(cos2xcos\f(π,6)＋sin2xsin\f(π,6)－cos2xcos\f(π,6)＋sin2xsin\f(π,6),2)＝eq\f(sin2x,2).∴T＝eq\f(2π,2)＝π，且sin(－2x)＝－sin2x.故选C.答案：C4．已知cosα＝eq\f(12,13)，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，2π))，则coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝()\f(5\r(2),13)\f(7\r(2),13)\f(17\r(2),26)\f(7\r(2),26)解析：∵cosα＝eq\f(12,13)，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，2π))，∴sinα＝－eq\f(5,13)，∴coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝eq\f(\r(2),2)(cosα－sinα)＝eq\f(17\r(2),26).答案：C5．sineq\f(π,12)－eq\r(3)coseq\f(π,12)的值为()A．0B．－eq\r(2)C．2\r(2)解析：sineq\f(π,12)－eq\r(3)coseq\f(π,12)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)－\f(π,3)))＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)))＝－eq\r(2).答案：B6．y＝(sinx－cosx)2－1是()A．最小正周期为2π的偶函数B．最小正周期为2π的奇函数C．最小正周期为π的偶函数D．最小正周期为π的奇函数解析：y＝sin2x－2sinxcosx＋cos2x－1＝－sin2x.答案：D7．已知cos2θ＝eq\f(\r(2),3)，则sin4θ＋cos4θ的值为()\f(13,18)\f(11,18)\f(7,9)D．－1解析：sin4θ＋cos4θ＝(sin2θ＋cos2θ)2－2sin2θcos2θ＝1－eq\f(1,2)sin22θ＝1－eq\f(1,2)(1－cos22θ)＝eq\f(11,18).答案：B8．已知α和β都是锐角，且sinα＝eq\f(5,13)，cos(α＋β)＝－eq\f(4,5)，则sinβ的值为()\f(33,65)\f(16,65)\f(56,65)\f(63,65)解析：由题意得cosα＝eq\f(12,13)，sin(α＋β)＝eq\f(3,5)(因为eq\f(π,2)＜α＋β＜π)，所以sinβ＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cosα－cos(α＋β)sinα＝eq\f(3,5)×eq\f(12,13)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)))×eq\f(5,13)＝eq\f(56,65).答案：C\f(cos20°,cos35°\r(1－sin20°))的值等于()A．1B．2\r(2)\r(3)解析：eq\f(cos210°－sin210°,cos35°cos10°－sin10°)＝eq\f(cos10°＋sin10°,cos35°)＝eq\f(\r(2)sin55°,cos35°)＝eq\r(2).答案：C10．在△ABC中，A＝15°，则eq\r(3)sinA－cos(B＋C)的值为()\f(\r(2),2)\f(\r(3),2)C．2\r(2)解析：∵A＋B＋C＝π，∴原式＝eq\r(3)sinA－cos(π－A)＝eq\r(3)sinA＋cosA＝2sin(A＋30°)＝2sin(15°＋30°)＝eq\r(2).答案：D11．设向量a＝(1，cosθ)与b＝(－1,2cosθ)垂直，则cos2θ等于()\f(\r(2),2)\f(1,2)C．0D．－1解析：利用向量垂直及倍角公式求解．a＝(1，cosθ)，b＝(－1,2cosθ)．∵a⊥b，∴a·b＝－1＋2cos2θ＝0，∴cos2θ＝eq\f(1,2)，∴cos2θ＝2cos2θ－1＝1－1＝0.答案：C12．已知方程x2＋4ax＋3a＋1＝0(a＞1)的两根均为tanα，tanβ，且α，β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，则taneq\f(α＋β,2)的值是()\f(1,2)B．－2\f(4,3)\f(1,2)或－2解析：由题意知：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(tanα＋tanβ＝－4a,tanα·tanβ＝3a＋1))，∴tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)＝eq\f(－4a,1－3a－1)＝eq\f(4,3)，tan(α＋β)＝eq\f(2tan\f(α＋β,2),1－tan2\f(α＋β,2))＝eq\f(4,3)，∴taneq\f(α＋β,2)＝eq\f(1,2)或taneq\f(α＋β,2)＝－2.由a＞1，可得tanα＋tanβ＝－4a＜0，tanα·tanβ＝3a＋1＞0，∴tanα＜0，tanβ＜0，结合α，β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，∴α，β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，0))，eq\f(α＋β,2)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，0))，∴taneq\f(α＋β,2)＜0，故taneq\f(α＋β,2)＝－2，故选B.答案：B二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))＝eq\f(3,5)，则sin2x的值为________．解析：sin2x＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－2x))＝cos2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))＝1－2sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))＝eq\f(7,25).答案：eq\f(7,25)14．函数y＝sinx(sinx＋eq\r(3)cosx)(x∈R)的最大值是________．解析：y＝sinx(sinx＋eq\r(3)cosx)＝sin2x＋eq\r(3)sinxcosx＝eq\f(1－cos2x,2)＋eq\f(\r(3),2)sin2x＝eq\f(1,2)＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))≤eq\f(3,2).答案：eq\f(3,2)15．已知taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))＝2，则eq\f(tanx,tan2x)的值为________．解析：由taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))＝eq\f(tanx＋tan\f(π,4),1－tanxtan\f(π,4))＝2，得tanx＝eq\f(1,3)，tan2x＝eq\f(2tanx,1－tan2x)＝eq\f(3,4)，故eq\f(tanx,tan2x)＝eq\f(1,3)×eq\f(4,3)＝eq\f(4,9).答案：eq\f(4,9)16．已知sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))＝eq\f(\r(3),3)，则sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)－x))＋sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－x))＝________.解析：sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)－x))＋sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－x))＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(π－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)－x))))＋cos2eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－x))))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))＋1－sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))＝eq\f(\r(3),3)＋1－eq\f(1,3)＝eq\f(2＋\r(3),3).答案：eq\f(2＋\r(3),3)三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．(本小题满分10分)已知sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))＝eq\f(1,6)，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，求eq\f(sin4α,1＋cos2α)的值．解析：∵sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))＝eq\f(1,6)，∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))＝eq\f(1,6)，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋2α))＝eq\f(1,3)，即cos2α＝eq\f(1,3).(5分)又α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，2α∈(π，2π)，∴sin2α＝－eq\r(1－cos2α)＝－eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2)＝－eq\f(2\r(2),3).∴eq\f(sin4α,1＋cos2α)＝eq\f(2sin2α·cos2α,1＋\f(1＋cos2α,2))＝eq\f(2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2\r(2),3)))×\f(1,3),1＋\f(1＋\f(1,3),2))＝－eq\f(4\r(2),15).(10分)18．(本小题满分12分)已知α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，tanα＝eq\f(1,2)，求tan2α和sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(π,3)))的值．解析：∵tanα＝eq\f(1,2)，∴tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α)＝eq\f(2×\f(1,2),1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2)＝eq\f(4,3).(4分)∵α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，∴2α∈(0，π)．又tan2α＝eq\f(4,3)＞0，∴2α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，∴sin2α＝eq\f(4,5)，cos2α＝eq\f(3,5).(8分)∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(π,3)))＝sin2α·coseq\f(π,3)＋cos2α·sineq\f(π,3)＝eq\f(4,5)×eq\f(1,2)＋eq\f(3,5)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(4＋3\r(3),10).(12分)19．(本小题满分12分)已知角α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))，且(4cosα－3sinα)(2cosα－3sinα)＝0.(1)求taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))的值；(2)求coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－2α))的值．解析：∵(4cosα－3sinα)(2cosα－3sinα)＝0，又α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))，∴4cosα－3sinα＝0，∴tanα＝eq\f(4,3)，sinα＝eq\f(4,5)，cosα＝eq\f(3,5)，(2分)(1)taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝eq\f(tanα＋tan\f(π,4),1－tanαtan\f(π,4))＝eq\f(\f(4,3)＋1,1－\f(4,3))＝－7.(6分)(2)cos2α＝2cos2α－1＝－eq\f(7,25)，sin2α＝2sinαcosα＝eq\f(24,25)，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－2α))＝coseq\f(π,3)cos2α＋sineq\f(π,3)sin2α＝eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7,25)))＋eq\f(\r(3),2)×eq\f(24,25)＝eq\f(24\r(3)－7,50).(12分)20．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4))).(1)求f(x)的定义域与最小正周期；(2)设α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))，若feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,2)))＝2cos2α，求α的大小．解析：(1)由2x＋eq\f(π,4)≠eq\f(π,2)＋kπ，k∈Z，得x≠eq\f(π,8)＋eq\f(kπ,2)，k∈Z，所以f(x)的定义域为{x∈R|x≠eq\f(π,8)＋eq\f(kπ,2)，k∈Z}．(4分)f(x)的最小正周期为eq\f(π,2).(6分)(2)由feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,2)))＝2cos2α，得taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝2cos2α，即eq\f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4))),cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4))))＝2(cos2α－sin2α)，整理得eq\f(sinα＋cosα,cosα－sinα)＝2(cosα＋sinα)(cosα－sinα)．(8分)因为α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))，所以sinα＋cosα≠0.因此(cosα－sinα)2＝eq\f(1,2)，即sin2α＝eq\f(1,2).(10分)由α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))，得2α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).所以2α＝eq\f(π,6)，即α＝eq\f(π,12).(12分)21．(本小题满分12分)设f(x)＝6cos2x－eq\r(3)sin2x.(1)求f(x)的最大值及最小正周期；(2)若锐角α满足f(α)＝3－2eq\r(3)，求taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)α))的值．解析：(1)f(x)＝6×eq\f(1＋cos2x,2)－eq\r(3)sin2x＝3＋3cos2x－eq\r(3)sin2x＝2eq\r(3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)cos2x－\f(1,2)sin2x))＋3＝2eq\r(3)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))＋3，(4分)故f(x)的最大值为2eq\r(3)＋3.最小正周期T＝eq\f(2π,2)＝π.(6分)(2)由f(α)＝3－2eq\r(3)，得2eq\r(3)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(π,6)))＋3＝3－2eq\r(3)，故coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(π,6)))＝－1.(8分)又由0＜α＜eq\f(π,2)，得eq\f(π,6)＜2α＋eq\f(π,6)＜eq\f(7π,6)，故2α＋eq\f(π,6)＝π，解得α＝eq\f(5,12)π.(10分)从而taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)α))＝taneq\f(π,3)＝eq\r(3).(12分)22．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝2cos