工程中的数学方法

工程中的数学方法第一页，共二十页，2022年，8月28日引言

机械装配过程中，在保证各组成零件适当功能的前提下，各组成零件所定义的、允许的几何和位置上的误差称为公差。公差的大小不仅关系到制造和装配过程，还极大影响着产品的质量、功能、生产效率以及制造成本。公差分析或称偏差分析，即通过已知零部件的尺寸分布和公差，考虑偏差的累积和传播，以计算装配体的尺寸分布和装配公差的过程。公差分析的目的在于判断零部件的公差分布是否满足装配功能要求，进而评价整个装配的可行性。

当前的公差分析多采用计算机辅助的形式，在此基础上，有多种数学建模方式被应用。第二页，共二十页，2022年，8月28日目录CATALOGUE公差分析的应用与分析难点>计算机辅助公差设计>建立公差模型的数学方法研究>漂移公差带模型>虚拟边界模型>矢量空间模型>齐次变换矩阵法>用户定义法>第三页，共二十页，2022年，8月28日公差分析的应用与分析难点Toleranceinformationutilizationandtransferinamanufacturingenterprise可互换性质量经济效益理论几何形状与尺寸公差选择要求和规范生产制造CAPPCAPP：ComputerAidedProcessPlanning计算机辅助工艺过程设计检查实际配合与性能第四页，共二十页，2022年，8月28日公差分析的应用与分析难点MMC：MaximumMaterialCondition最大材料条件>LMC：LeastMaterialCondition最小材料条件>Parratt提出最大实体(MMP)的概念，用以定义在指定公差允许的条件下零件的最大实体。MMP：MaximumMaterialPartsLMP：LeastMaterialParts>第五页，共二十页，2022年，8月28日公差分析的应用与分析难点SingularitiesPROBLEM第六页，共二十页，2022年，8月28日计算机辅助公差设计公差分析是指己知尺寸链中各组成环公差，确定最终装配后所要保证的封闭环公差，是设计与制造高质量产品的关键一步。公差分析的方法主要有两种:极值法和统计法公差分析ToleranceAnalysis计算机辅助公差设计(ComputerAidedTolerancing,简称CAT)技术是指在机械产品的设计、加工、装配、检测等过程中,利用计算机对产品及其零部件的尺寸和公差进行并行优化和监控,力图用最低的成本设计并制造出满足用户精度要求的产品。·设计阶段·制造阶段·检测阶段·性能相关蒙特卡罗法（MonteCarlosimulationmethod）公差综合ToleranceSynthesis公差综合是指在保证产品装配技术要求下，规定各组成环尺寸的经济合理的公差,可以看成是从制造和检测的角度对公差设计进行优化和补充。制造阶段——CAPP包括选择机床和加工过程检测阶段——测量偏差与规范一致性性能相关——与偏差相关的性能第七页，共二十页，2022年，8月28日建立公差模型的数学方法研究漂移公差带模型此方法是由Requicha提出的，最早的一种用于建立公差带的数学方法。它基于闵科夫斯基和（Minkowskisum）的方法，对实体进行漂移操作。对于表面特征和相关公差信息则运用偏差图（VGraph）来表示。VGraph主要是作为一种分解实体表面特征的手段，将实体的边界部分定义为特征，公差信息则封装在特征属性中。漂移公差带模型很好地表达了轮廓公差，轮廓公差包含了所有实际制造过程中的偏差。该模型提供了公差的通用理论且易于实现，但是不能区分不同类型的形状公差。闵科夫斯基和（Minkowskisum）是两个欧几里得空间的点集的和，以德国数学家闵可夫斯基命名。点集A与B的闵可夫斯基和就是A+B={a+b|a∈A,b∈B}。例如，平面上有两个三角形，其坐标分别为A={(1,0),(0,1),(0,−1)}及B={(0,0),(1,1),(1,−1)}，则其闵可夫斯基和为A+B={(1,0),(2,1),(2,−1),(0,1),(1,2),(1,0),(0,−1),(1,0),(1,−2)}。在CAD中，利用半空间、布尔运算，可以得到综合公差结果。MMCsolid=（S

t）第八页，共二十页，2022年，8月28日建立公差模型的数学方法研究虚拟边界模型Jayaraman和Srinivasan以漂移公差法作为基础，将装配件的功能要求描述为虚拟表面的功能要求刚性集台。这种用虚拟表面或虚拟半空间的边界的刚性集合来描述的功能要求的方法称为虚拟表面法或虚拟边界要求法(VBRS)。虚拟边界实际上是满足公差定义的零件偏差的极值边界，所以虚拟边界模型可用于极值公差分析，但不适用于尺寸链复杂的装配体。首先，从装配件的各组成零件的功能集合出发。抽取每对理想匹配特征；再对每对特征定义一个合适的虚拟表面；为了术语(不是实体边，包围)简单化和为方便产生软件量规(这种软件量规可用来直接验证零件的功能)．定义一个虚拟半空间．使得虚拟表面是虚拟半空间的边界。为了进一步进行零件设计公差的有效性验证提供加工路线进行工序控制。使用统计公差技术，又将有位置要求和实效体积要求的装配件的VBRS描述的公差转化为条件公差t并且给出了具体的数学公式．这些公式可作为零件检验的软件量规。第九页，共二十页，2022年，8月28日建立公差模型的数学方法研究矢量空间模型在数学上，矢量的操作比代数的操作要方便，而且随着计量技术的进一步发展，出现CMM(三坐标测量机)。CMM主要是进行点测量，因此，为了适应CMM测量技术，可将实际零件看作空间上的点来处理，提出了矢量公差法。Hoffmann提出了矢量空间模型，Turner扩展了这一模型。这种理论适用于公差分析和合成的场合，是公差自动化分析系统GEOT的基础。但是对于不同零件的定义，就有不同的模型变量类型和数目，因此不可能存在通用的矢量空间。因此相对较为麻烦。矢量空间模型首先需要定义公差变量、设计变量和模型变量。公差变量表示零件名义尺寸的偏差。设计变量由设计者确定，用以表示最终装配体的多目标优化函数。模型变量是控制零件各个公差的独立变量。第十页，共二十页，2022年，8月28日建立公差模型的数学方法研究齐次变换矩阵法用户定义法齐次变换矩阵法（HomogeneousTransformationMatrixMethod）基于TTRS模型，利用矩阵求解公差范围。用户定义法（User-DefinedToleranceZonesUsingParametricCurves)利用B样条曲线，进行公差范围求解。Desrocher等从研究建立独立于造型系统的公差信息表示模型的角度出发,提出了基于TTRS(TopologicallyandTechnologicallyRelatedSurface,TTRS)的公差信息表示方法。它首先从CAD系统中提取必需的信息,将零件的各表面以二叉树的形式组织,形成零件的TTRS二叉树结构;然后构造此TTRS的最小几何基准元(MinimumGeometricDatumElement,MGDE)。第十一页，共二十页，2022年，8月28日Summaryofvariousapproachesfortheconstructionoftolerancezones第十二页，共二十页，2022年，8月28日公差分析方法简介公差分析是公差设计中的一个重要环节，常用的方法主要包括极值法、统计公差分析法和Monte-Carlo模拟法极值法是原理最简单、计算量最小、应用范围最广泛的公差分析方法。该方法无须考虑零件尺寸在公差带内的分布，且能保证装配成功率和零件互换性为100%。极值法实际生产中不会出现加工出的零件尺寸同时处于极值状态的现象，因而利用此法进行设计过于保守，使加工成本增加第十三页，共二十页，2022年，8月28日统计公差分析法统计公差分析法是指以统计分布的形式来描述零件尺寸的变化，并计算得出零件的制造能力和装配函数的统计分布。一旦确定了各零件尺寸的分布参数，就可以计算出设计尺寸的公差范围。统计公差法在计算装配公差时，假定各零件公差服从正态分布，装配公差与零件公差之间是线性关系，通过假设使得实际情况得到了简化。第十四页，共二十页，2022年，8月28日MonteCarlo模拟法用蒙特卡洛模拟法(MonteCarloSimulation)进行公差分析,就是把求封闭环尺寸及其公差的问题,当作求一个随机变量的统计问题来处理。因此封闭环尺寸及公差的确定,完全采用随机模拟和统计实验的方法,在一定条件下,用这种方法得到的结果比较符合实际情况。用MonteCarlo模拟法进行公差分析的具体步骤:①明确各组成环的分布规律②根据计算精度要求确定随机模拟次数N③根据各组成环尺寸的分布规律和分布范围,分别对其进行随机抽样,从而得到一组已知组成环和封闭环尺寸的随机抽样(X1,X2,......,Xn)④将随机抽样(X1,X2,......,Xn)代入公差函数,计算未知的封闭环或组成环尺寸,得到该尺寸的一个子样⑤将步骤③、④重复N次,即可得到封闭环尺寸的N个子样,构成一个样本⑥对求解的封闭环或组成环样本进行统计处理,从而确定封闭环尺寸的平均值、标准差和公差等第十五页，共二十页，2022年，8月28日

MonteCarlo模拟法的计算机流程第十六页，共二十页，2022年，8月28日

MonteCarlo方法虽然能够处理由装配关系或零件的弹性变形所引起的非线性装配函数，但该方法仍存在以下缺陷。蒙特卡罗方法的精度正比于样本量的平方根，因此为保证计算的正确性，需要大量的统计样本进行多次重复运算，计算次数一般在20万次以上，导致计算时间过长。如果装配函数中各分量的均值或方差发生改变，需要重新进行运算。第十七页，共二十页，2022年，8月28日公差综合公差综合的优化方法装配函数具有明确的表达式非线性装配函数线性规划非线性规划Langrage乘子法遗传算法模拟退火算法MonteCarlo仿真方法第十八页，共二十页，2022年，8月28日展望考虑到零件公差的多样性及产品装配过程的复杂性等因素的影响，今后需要在以下几个方面进行深入研究。（1）当前的公差模型较多，而且各有其应用层面上的优势和不足，应尽快建立一种适用于所有