直线的方程知识清单

第一节直线的倾斜角与斜率,直线的方程一,知识清单一,直线的倾斜角与斜率1．直线的倾斜角(1)定义：x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫做这条直线的倾斜角．当直线与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.(2)倾斜角的范围为[0，π)_．2．直线的斜率(1)定义：一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tan_α，倾斜角是90°的直线没有斜率．(2)过两点的直线的斜率公式：经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝eq\f(y2－y1,x2－x1)＝eq\f(y1－y2,x1－x2).二,直线方程的形式及适用条件名称几何条件方程局限性点斜式过点(x0，y0)，斜率为ky－y0＝k(x－x0)不含垂直于x轴的直线斜截式斜率为k，纵截距为by＝kx＋b不含垂直于x轴的直线两点式过两点(x1，y1)，(x2，y2)，(x1≠x2，y1≠y2)eq\f(y－y1,y2－y1)＝eq\f(x－x1,x2－x1)不包括垂直于坐标轴的直线截距式在x轴,y轴上的截距分别为a，b(a，b≠0)eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1不包括垂直于坐标轴和过原点的直线一般式Ax＋By＋C＝0(A，B不全为0)1.求直线方程时要留意推断直线斜率是否存在，每条直线都有倾斜角，但不肯定每条直线都存在斜率．2．由斜率求倾斜角，一是要留意倾斜角的范围；二是要考虑正切函数的单调性．3．用截距式写方程时，应先推断截距是否为0，若不确定，则须要分类探讨．1．求倾斜角的取值范围的一般步骤：(1)求出斜率k＝tanα的取值范围；(2)利用三角函数的单调性，借助图象或单位圆数形结合，确定倾斜角α的取值范围．求直线方程的方法主要有以下两种：(1)直接法：依据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直线方程；(2)待定系数法：先设出直线方程，再依据已知条件求出待定系数，最终代入求出直线方程．解决直线方程的综合问题时，除敏捷选择方程的形式外，还要留意题目中的隐含条件，若与最值或范围相关的问题可考虑构建目标函数进行转化求最值．4．(2012·东北三校联考)已知直线l过点M(2,1)，且分别与x轴，y轴的正半轴交于A，B两点，O为原点．(1)当△AOB面积最小时，求直线l的方程；(2)当|MA|·|MB|取得最小值时，求直线l的方程．解：(1)设直线l的方程为y－1＝k(x－2)(k<0)，Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(1,k)，0))，B(0，1－2k)，△AOB的面积S＝eq\f(1,2)(1－2k)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(1,k)))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(4＋－4k＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,k)))))≥eq\f(1,2)(4＋4)＝4.当且仅当－4k＝－eq\f(1,k)，即k＝－eq\f(1,2)时，等号成立．故直线l的方程为y－1＝－eq\f(1,2)(x－2)，即x＋2y－4＝0.(2)∵|MA|＝eq\r(\f(1,k2)＋1)，|MB|＝eq\r(4＋4k2)，∴|MA|·|MB|＝eq\r(\f(1,k2)＋1)·eq\r(4＋4k2)＝2eq\r(k2＋\f(1,k2)＋2)≥2×2＝4，当且仅当k2＝eq\f(1,k2)，即k＝－1时取等号，故直线方程为x＋y－3＝0.[典例](2012·西安模拟)设直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R)．(1)若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；(2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围．[尝试解题](1)当直线过原点时，该直线在x轴和y轴上的截距为零，此时截距相等．故a＝2，方程即为3x＋y＝0.当直线不过原点时，由截距存在且均不为0，得eq\f(a－2,a＋1)＝a－2，即a＋1＝1，故a＝0，方程即为x＋y＋2＝0.综上，l的方程为3x＋y＝0或x＋y＋2＝0.(2)将l的方程化为y＝－(a＋1)x＋a－2，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－a＋1＞0，,a－2≤0，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－a＋1＝0，,a－2≤0.))∴a≤－1.综上可知，a的取值范围是(－∞，－1]．——————[易错提示]———————————————————————————1.与截距有关的直线方程求解时易忽视截距为零的情形.如本例中的截距相等，当直线在x轴与y轴上的截距为零时也满意.2.常见的与截距问题有关的易误点有：“截距互为相反数”；“一截距是另一截距的几倍”等，解决此类问题时，要先考虑零截距情形.留意分类探讨思想的运用.—————————————————————————————————————第二节两直线的位置关系一,两条直线的位置关系斜截式一般式方程y＝k1x＋b1y＝k2x＋b2A1x＋B1y＋C1＝0(Aeq\o\al(2,1)＋Beq\o\al(2,1)≠0)A2x＋B2y＋C2＝0(Aeq\o\al(2,2)＋Beq\o\al(2,2)≠0)相交k1≠k2A1B2－A2B1≠0eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(当A2B2≠0时，记为\f(A1,A2)≠\f(B1,B2)))垂直k1＝－eq\f(1,k2)或k1k2＝－1A1A2＋B1B2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(当B1B2≠0时，记为\f(A1,B1)·\f(A2,B2)＝－1))平行k1＝k2且b1≠b2eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A1B2－A2B1＝0，B2C1－B1C2≠0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A1B2－A2B1＝0，A1C2－A2C1≠0))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(当A2B2C2≠0时，记为\f(A1,A2)＝\f(B1,B2)≠\f(C1,C2)))重合k1＝k2且b1＝b2A1＝λA2，B1＝λB2，C1＝λC2(λ≠0)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(当A2B2C2≠0时，记为\f(A1,A2)＝\f(B1,B2)＝\f(C1,C2)))二,两条直线的交点设两条直线的方程是l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，两条直线的交点坐标就是方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0))的解，若方程组有唯一解，则两条直线相交，此解就是交点坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；反之，亦成立．三,几种距离1．两点间的距离平面上的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)间的距离公式：d(A，B)＝|AB|＝eq