2021年中考数学挑战压轴题

2021挑战压轴题中考数学精讲解读篇因动点产生的相似三角形问题1．如图，在平面直角坐标系xOy中，将抛物线y=x2的对称轴绕着点P(0，2)顺时针旋转45°后与该抛物线交于A、B两点，点Q是该抛物线上一点.求直线AB的函数表达式；如图①，若点Q在直线AB的下方，求点Q到直线AB的距离的最大值；如图②，若点Q在y轴左侧，且点T(0，t)(tV2)是射线PO上一点,当以P、B、Q为顶点的三角形与APAT相似时，求所有满足条件的t的值.2.如图，已知BC是半圆0的直径，BC=8,过线段BO上一动点D，作AD丄BC交半圆0于点A,联结A0，过点B作BH丄A0,垂足为点H，BH的延长线交半圆0于点F．求证：AH=BD；设BD=x，BE・BF=y,求y关于x的函数关系式；如图2,若联结FA并延长交CB的延长线于点G,当AFAE与相似时,求BD的长度．馴图2

如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB过点A(3,0)、B(0,m)(m>0),tanZBAO=2.求直线AB的表达式；反比例函数y邑的图象与直线AB交于第一象限内的C、D两点(BDVBC),当AD=2DB时，求耐的值；设线段AB的中点为E,过点E作x轴的垂线，垂足为点M,交反比例函数丫=邑_的图象于点F，分别联结OE、OF，当厶OEFs^OBE时，请直接写出满足x条件的所有k2的值.如图，在Rt^ABC中，ZACB=90°，AC=1,BC=7，点D是边CA延长线的一点,AE丄BD，垂足为点E,AE的延长线交CA的平行线BF于点F,连结CE交AB于点G.当点E是BD的中点时，求tanZAFB的值；CE・AF的值是否随线段AD长度的改变而变化？如果不变，求出CE・AF的值;如果变化，请说明理由；当厶BGE和^BAF相似时，求线段AF的长.5•如图，平面直角坐标系xOy中，已知B(-1,0),一次函数y=-x+5的图象与x轴、y轴分别交于点A、C两点，二次函数y=-x2+bx+c的图象经过点A、点B．1)求这个二次函数的解析式；点P是该二次函数图象的顶点，求△APC的面积；如果点Q在线段AC上，且AOQ相似，求点Q的坐标.6.已知：半圆0的直径AB=6，点C在半圆0上，且tanZABC=2•一迈，点D为弧AC上一点，联结DC(如图)求BC的长；若射线DC交射线AB于点M，且MOC相似，求CD的长；联结0D，当OD〃BC时，作ZDOB的平分线交线段DC于点N，求ON的长．7.如图，已知二次函数y=x2+bx+c(b,c为常数)的图象经过点A(3,-1),点C(0,-4),顶点为点M,过点A作AB〃x轴，交y轴与点D,交该二次函数图象于点B,连结BC.求该二次函数的解析式及点M的坐标；若将该二次函数图象向上平移m(m>0)个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在△ABC的内部(不包含AABC的边界)，求m的取值范围；点P时直线AC上的动点，若点P,点C,点M所构成的三角形与△BCD相似，请直接写出所有点P的坐标(直接写出结果，不必写解答过程).因动点产生的等腰三角形问题8如图1,在厶ABC中，ZACB=90°,ZBAC=60°,点E是ZBAC角平分线上一点，过点E作AE的垂线，过点A作AB的垂线，两垂线交于点D,连接DB,点F是BD的中点，DH丄AC，垂足为H,连接EF,HF.如图1,若点H是AC的中点，AC=2■.运，求AB,BD的长；如图1,求证:HF=EF；如图2,连接CF,CE.猜想：ACEF是否是等边三角形？若是，请证明；CDHPEA若不是，说明理由CDHPEA若不是，说明理由9.已知，一条抛物线的顶点为E(-1,4),且过点A(-3,0),与y轴交于点C,点D是这条抛物线上一点，它的横坐标为m,且-3VmV-1,过点D作DK丄x轴，垂足为K,DK分别交线段AE、AC于点G、H.求这条抛物线的解析式；求证：GH=HK；当厶CGH是等腰三角形时，求m的值.10.如图，已知在Rt^ABC中，ZACB=90°,AB=5,sinA=^,点P是边BC上的5一点，PE丄AB,垂足为E,以点P为圆心，PC为半径的圆与射线PE相交于点Q,线段CQ与边AB交于点D.求AD的长；设CP=x,^PCQ的面积为y,求y关于x的函数解析式，并写出定义域；过点C作CF丄AB,垂足为F,联结PF、QF,如果APQF是以PF为腰的等腰三角形，求CP的长.如图(1),直线y=-—x+n交x轴于点A,交y轴于点C(0,4),抛物线y—x2+bx+c33经过点A,交y轴于点B(0,-2).点P为抛物线上一个动点，过点P作x轴的垂线PD,过点B作BD丄PD于点D,连接PB,设点P的横坐标为m.求抛物线的解析式；当ABOP为等腰直角三角形时，求线段PD的长；如图(2),将ABOP绕点B逆时针旋转，得到△BDP，当旋转角ZPBPJZOAC,且点P的对应点P'落在坐标轴上时，请直接写出点P的坐标.圜1图工备用图综合与探究如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线y=ax2+bx-8与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,直线丨经过坐标原点0,与抛物线的一个交点为D,与抛物线的对称轴交于点E,连接CE,已知点A,D的坐标分别为(-2,0),(6,-8).求抛物线的函数表达式，并分别求出点B和点E的坐标；试探究抛物线上是否存在点F,使AFOE竺AFCE?若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由；若点P是y轴负半轴上的一个动点，设其坐标为(0,m),直线PB与直线因动点产生的直角三角形问题13.已知，如图1,在梯形ABCD中，AD〃BC,ZBCD=90°,BC=11,CD=6,tanZABC=2,点E在AD边上，且AE=3ED,EF〃AB交BC于点F,点M、N分别在射线FE和线段CD上.（1）求线段CF的长；（2）如图2,当点M在线段FE上，且AM丄MN,设FM・cosZEFC=x,CN=y,求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（3）如果△AMN为等腰直角三角形，求线段FM的长.14.如图，在矩形ABCD中，点0为坐标原点，点B的坐标为（4,3）,点A、C在坐标轴上，点P在BC边上，直线-y=2x+3，直线l2：y=2x-3.（1）分别求直线l］与x轴，直线l2与AB的交点坐标；（2）已知点M在第一象限，且是直线l2上的点，若△APM是等腰直角三角形，求点M的坐标；（3）我们把直线l］和直线l2上的点所组成的图形为图形F.已知矩形ANPQ的顶点N在图形F上，Q是坐标平面内的点，且N点的横坐标为X,请直接写出x的取值范围（不用说明理由）.因动点产生的平行四边形问题因动点产生的平行四边形问题15.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2-2ax-3a(aV0)与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，经过点A的直线l：y=kx+b与y轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D,且CD=4AC.直接写出点A的坐标，并求直线丨的函数表达式(其中k,b用含a的式子表示)；点E是直线l上方的抛物线上的一点，若AACE的面积的最大值为旦，求a4的值；设P是抛物线对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A，D，P，Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由.16.如图，在矩形16.如图，在矩形OABC中,OA=5，AB=4，点D为边AB上一点，将△BCD沿直线CD折叠，使点B恰好落在OA边上的点E处，分别以OC,OA所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系.求点E坐标及经过0，D，C三点的抛物线的解析式；一动点P从点C出发，沿CB以每秒2个单位长的速度向点B运动，同时动点Q从E点出发，沿EC以每秒1个单位长的速度向点C运动，当点P到达点B时，两点同时停止运动•设运动时间为t秒，当t为何值时，DP=DQ；若点N在(2)中的抛物线的对称轴上，点M在抛物线上，是否存在这样的点M与点N,使得以M,N,C，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出M点的坐标；若不存在，请说明理由.17.如图，抛物线y=-x2+2x+3与x轴交于A、B两点(点A在点B的左边)，与y轴交于点C,点D和点C关于抛物线的对称轴对称，直线AD与y轴交于点E.求直线AD的解析式；如图1,直线AD上方的抛物线上有一点F,过点F作FG丄AD于点G,作FH平行于x轴交直线AD于点H,求AFGH周长的最大值；点M是抛物线的顶点，点P是y轴上一点，点Q是坐标平面内一点，以A,M,P,Q为顶点的四边形是以AM为边的矩形•若点T和点Q关于AM所在直线对称，求点T的坐标．18•如图，点A和动点P在直线丨上，点P关于点A的对称点为Q,以AQ为边作Rt^ABQ,使ZBAQ=90°,AQ：AB=3：4,作厶ABQ的外接圆0.点C在点P右侧，PC=4,过点C作直线m丄I,过点O作OD丄m于点D,交AB右侧的圆弧于点E.在射线CD上取点F,使DF=^CD,以DE,DF为邻边作矩形DEGF.设2AQ=3x.用关于x的代数式表示BQ,DF.当点P在点A右侧时，若矩形DEGF的面积等于90,求AP的长.在点P的整个运动过程中,当AP为何值时，矩形DEGF是正方形？作直线BG交©0于点N,若BN的弦心距为1,求AP的长(直接写出答案).19.在平面直角坐标系xOy(如图)中，经过点A(-1,0)的抛物线y=-x2+bx+3与y轴交于点C,点B与点A、点D与点C分别关于该抛物线的对称轴对称.求b的值以及直线AD与x轴正方向的夹角；如果点E是抛物线上一动点，过E作EF平行于x轴交直线AD于点F,且F在E的右边，过点E作EG丄AD与点G,设E的横坐标为m,^EFG的周长为I,试用m表示l；点M是该抛物线的顶点，点P是y轴上一点，Q是坐标平面内一点，如果以点A、M、P、Q为顶点的四边形是矩形，求该矩形的顶点Q的坐标.20.如图，直线y=mx+4与反比例函数y=^(k>0)的图象交于点A、B,与x轴、y轴分另U交于D、C,tanZCDO=2,AC：CD=1：2.求反比例函数解析式；联结BO,求ZDBO的正切值；点M在直线x=-1上，点N在反比例函数图象上，如果以点A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形，求点N的坐标.

21．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为（2，9），与y轴交于点A（0，5），与x轴交于点E、B．（1）求二次函数y=ax2+bx+c的表达式；（2）过点A作AC平行于x轴，交抛物线于点C,点P为抛物线上的一点（点P在AC上方），作PD平行于y轴交AB于点D,问当点P在何位置时，四边形APCD的面积最大？并求出最大面积；（3）若点M在抛物线上，点N在其对称轴上，使得以A、E、N、M为顶点的四因动点产生的梯形问题如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数电玄6bx+c的图象与y轴交于点A，与双曲线有一个公共点B，它的横坐标为4，过点B作直线l〃x轴，与该二次函数图象交于另一个点C,直线AC在y轴上的截距是-6.（1）求二次函数的解析式；（2）求直线AC的表达式；（3）平面内是否存在点D,使A、B、C、D为顶点的四边形是等腰梯形？如果存在，求出点D坐标；如果不存在，说明理由.如图，矩形OMPN的顶点0在原点，M、N分别在x轴和y轴的正半轴上，0M=6,0N=3，反比例函数y=@的图象与PN交于C，与PM交于D,过点C作CA丄x轴于点A，过点D作DB丄y轴于点B，AC与BD交于点G.（1）求证：AB〃CD；（2）在直角坐标平面内是否若存在点E,使以B、C、D、E为顶点，BC为腰的梯形是等腰梯形？若存在，求点E的坐标；若不存在请说明理由.因动点产生的面积问题如图，边长为8的正方形OABC的两边在坐标轴上，以点C为顶点的抛物线经过点A,点P是抛物线上点A,C间的一个动点（含端点），过点P作PF丄BC于点F,点D、E的坐标分别为（0,6）,（-4,0）,连接PD、PE、DE.（1）请直接写出抛物线的解析式；（2）小明探究点P的位置发现：当P与点A或点C重合时，PD与PF的差为定值，进而猜想：对于任意一点P，PD与PF的差为定值，请你判断该猜想是否正确，并说明理由；（3）小明进一步探究得出结论:若将"使APDE的面积为整数”的点P记作“好点”,则存在多个"好点”，且使APDE的周长最小的点P也是一个"好点”•请直接写出所有“好点”的个数，并求出厶PDE周长最小时“好点”的坐标.如图，四边形OABC是边长为4的正方形，点P为OA边上任意一点（与点0、A不重合），连接CP，过点P作PM丄CP交AB于点D，且PM=CP，过点M作MN〃0A，交B0于点N，连接ND、BM，设0P=t.（1）求点M的坐标（用含t的代数式表示）.（2）试判断线段MN的长度是否随点P的位置的变化而改变？并说明理由.（3）当t为何值时，四边形BNDM的面积最小.在数学兴趣小组活动中，小明进行数学探究活动，将边长为2的正方形ABCD与边长为2卫的正方形AEFG按图1位置放置，AD与AE在同一直线上，AB与AG在同一直线上．（1）小明发现DG丄BE，请你帮他说明理由.（2）如图2，小明将正方形ABCD绕点A逆时针旋转，当点B恰好落在线段DG上时，请你帮他求出此时BE的长.（3）如图3，小明将正方形ABCD绕点A继续逆时针旋转，线段DG与线段BE将相交，交点为H,写出△GHE与面积之和的最大值，并简要说明理由.在平面直角坐标系中，0为原点，直线y=-2x-1与y轴交于点A,与直线y=-x交于点B，点B关于原点的对称点为点C.求过A，B，C三点的抛物线的解析式；P为抛物线上一点，它关于原点的对称点为Q.当四边形PBQC为菱形时，求点P的坐标；若点P的横坐标为t(-1VtV1),当t为何值时，四边形PBQC面积最大？并说明理由.如图，在平面直角坐标系中，点A(10，0)，以0A为直径在第一象限内作半圆，B为半圆上一点，连接AB并延长至C,使BC=AB，过C作CD丄x轴于点D,交线段0B于点E，已知CD=8，抛物线经过0、E、A三点.Z0BA=°.求抛物线的函数表达式.若P为抛物线上位于第一象限内的一个动点，以P、0、A、E为顶点的四边形面积记作S,则S取何值时，相应的点P有且只有3个？

29.如图1,关于x的二次函数y=-X2+bx+c经过点A(-3,0),点C(0,3),点D为二次函数的顶点，DE为二次函数的对称轴，E在x轴上.1)求抛物线的解析式；(2)DE上是否存在点P到AD的距离与到x轴的距离相等？若存在求出点P,若不存在请说明理由；如图2,DE的左侧抛物线上是否存在点F,使25沪。=35申。？若存在求出点F的坐标,若不存在请说明理由.DZ24C32AEEAOO图1图DZ24C32AEEAOO图1图230.已知抛物线y=mx2+(1-2m)x+1-3m与x轴相交于不同的两点A、B1)求m的取值范围；(2)证明该抛物线一定经过非坐标轴上的一点P,并求出点P的坐标;⑶当尹*8时，由⑵求出的点p和点A,B构成的"P的面积是否有最值？若有，求出该最值及相对应的m值.问题提出如图①，已知△ABC,请画出△ABC关于直线AC对称的三角形.问题探究（2）如图②，在矩形ABCD中，AB=4,AD=6,AE=4,AF=2，是否在边BC、CD上分别存在点G、H,使得四边形EFGH的周长最小？若存在，求出它周长的最小值；若不存在，请说明理由．问题解决（3）如图③，有一矩形板材ABCD，AB=3米，AD=6米，现想从此板材中裁出一个面积尽可能大的四边形EFGH部件，使ZEFG=90°,EF=FG=拓米，ZEHG=45°,经研究，只有当点E、F、G分别在边AD、AB、BC上，且AFVBF，并满足点H在矩形ABCD内部或边上时，才有可能裁出符合要求的部件，试问能否裁得符合要求的面积尽可能大的四边形EFGH部件？若能，求出裁得的四边形EFGH部件的面积；若不能，请说明理由．如图，在平面直角坐标系中，矩形OCDE的顶点C和E分别在y轴的正半轴和x轴的正半轴上，0C=8,OE=17，抛物线y=X2-3x+m与y轴相交于点A,20抛物线的对称轴与x轴相交于点B,与CD交于点K.（1）将矩形OCDE沿AB折叠，点0恰好落在边CD上的点F处.点B的坐标为（、）,BK的长是,CK的长是；求点F的坐标；请直接写出抛物线的函数表达式；（2）将矩形OCDE沿着经过点E的直线折叠，点0恰好落在边CD上的点G处,连接0G,折痕与0G相交于点H,点M是线段EH上的一个动点（不与点H重合），连接MG,M0,过点G作GP丄0M于点P,交EH于点N,连接ON,点M从点E开始沿线段EH向点H运动，至与点N重合时停止，△MOG和厶NOG的面积分别表示为S]和S2,在点M的运动过程中，S]・S2（即爼与S2的积）的值是否发生变化？若变化，请直接写出变化范围；若不变，请直接写出这个值．温馨提示：考生可以根据题意，在备用图中补充图形，以便作答．

33.如图，已知"BCD的三个顶点A(n,0)、B(m,0)、D(0,2n)(m>n>0),作"BCD关于直线AD的对称图形AB1C1D(1)若m=3，试求四边形CC1B1B面积S的最大值;(2)若点B］恰好落在y轴上，试求卫的值.ID因动点产生的相切问题34.如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于点A(1,0)和点B，与y轴相交于点C(0，3)，抛物线的对称轴为直线I.求这条抛物线的关系式，并写出其对称轴和顶点M的坐标；如果直线y=kx+b经过C、M两点，且与x轴交于点D,点C关于直线I的对称点为N,试证明四边形CDAN是平行四边形；点P在直线I上，且以点P为圆心的圆经过A、B两点，并且与直线CD相切，求点P的坐标.

LJ”/C\.\s35.如图，在Rt^ABC中，ZC=90°,AC=14,tanA=3,点D是边AC上一点，AD=8,4点E是边AB上一点，以点E为圆心，EA为半径作圆，经过点D,点F是边AC上一动点(点F不与A、C重合)，作FG丄EF，交射线BC于点G.用直尺圆规作出圆心E,并求圆E的半径长(保留作图痕迹)；当点G的边BC上时，设AF=x,CG=y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；(3)联结EG,当厶EFG与AFCG相似时，推理判断以点G为圆心、CG为半径的圆G与圆E可能产生的各种位置关系.36.如图，线段PA=1，点D是线段PA延长线上的点，AD=a(a>1),点0是线段AP延长线上的点，0A2=0P・0D，以0为圆心，0A为半径作扇形OAB,ZB0A=90°.点C是弧AB上的点，联结PC、DC.联结BD交弧AB于E,当a=2时，求BE的长；当以PC为半径的©P和以CD为半径的©C相切时，求a的值；当直线DC经过点B,且满足PC・OA=BC・OP时，求扇形OAB的半径长.37.如图，在矩形ABCD中，AB=6cm,AD=8cm，点P从点B出发，沿对角线BD向点D匀速运动，速度为4cm/s，过点P作PQ丄BD交BC于点Q，以PQ为一边作正方形PQMN，使得点N落在射线PD上，点0从点D出发，沿DC向点C匀速运动，速度为3cm/s，以0为圆心，0.8cm为半径作©0，点P与点0同时出发，设它们的运动时间为t（单位：s）（0VtV「）.5（1）如图1，连接DQ平分ZBDC时，t的值为;（2）如图2,连接CM,若ACMQ是以CQ为底的等腰三角形，求t的值；（3）请你继续进行探究，并解答下列问题：证明：在运动过程中，点0始终在QM所在直线的左侧；如图3，在运动过程中，当QM与©0相切时，求t的值；并判断此时PM与©0是否也相切？说明理由．38.如图，抛物线y=-±x2+mx+n的图象经过点A（2，3），对称轴为直线x=1,4一次函数y=kx+b的图象经过点A，交x轴于点P，交抛物线于另一点B，点A、B位于点P的同侧．1）求抛物线的解析式；2）若PA：PB=3：1，求一次函数的解析式（3）在（2）的条件下，当k>0时，抛物线的对称轴上是否存在点C,使得©C同时与x轴和直线AP都相切，如果存在，请求出点C的坐标，如果不存在，请说明理由．ABRABR因动点产生的线段和差问题39.如图，抛物线y=X2-4x与x轴交于0,A两点，P为抛物线上一点，过点P的直线y=x+m与对称轴交于点Q．（1）这条抛物线的对称轴是，直线PQ与x轴所夹锐角的度数是；（2）若两个三角形面积满足S^poQ寻S^aq，求m的值；（3）当点P在x轴下方的抛物线上时，过点C（2，2）的直线AC与直线PQ交于点D，求：①PD+DQ的最大值；②PD・DQ的最大值.40.抛物线y=ax2+bx+4（aHO）过点A（1，-1），B（5，-1），与y轴交于点C.（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图1，连接CB，以CB为边作qCBPQ,若点P在直线BC上方的抛物线上,Q为坐标平面内的一点，且QCBPQ的面积为30,求点P的坐标；（3）如图2，O0x过点A、B、C三点，AE为直径，点M为处E上的一动点（不与点A，E重合），ZMBN为直角，边BN与ME的延长线交于N，求线段BN长

度的最大值．⑴(2)41.如图，在每一个四边形ABCD中，均有AD〃BC,CD丄BC,ZABC=60°,AD=8,BC=12．如图①，点M是四边形ABCD边AD上的一点，则厶BMC的面积为;如图②，点N是四边形ABCD边AD上的任意一点，请你求出△BNC周长的最小值；(3)如图③，在四边形ABCD的边AD上，是否存在一点P，使得cosZBPC的值最小？若存在，求出此时cosZBPC的值；若不存在，请说明理由.42.如图，把AEFP按图示方式放置在菱形ABCD中，使得顶点E、F、P分别在线段AB、AD、AC上，已知EP=FP=4，EF=4.'W，ZBAD=60°，且AB>4'.：W.求ZEPF的大小；若AP=6，求AE+AF的值；若厶EFP的三个顶点E、F、P分别在线段AB、AD、AC上运动，请直接写出AP长的最大值和最小值.AER43•如图，在平面直角坐标系中，抛物线尸寺耆+2与x轴交于B、C两点（点B在点C的左侧），与y轴交于点A,抛物线的顶点为D.（1）填空：点A的坐标为（,），点B的坐标为（,）,点C的坐标为（,），点D的坐标为（,）;（2）点P是线段BC上的动点（点P不与点B、C重合）过点P作x轴的垂线交抛物线于点E,若PE=PC，求点E的坐标；在①的条件下，点F是坐标轴上的点，且点F到EA和ED的距离相等，请直接写出线段EF的长;若点Q是线段AB上的动点（点Q不与点A、B重合），点R是线段AC上的动点（点R不与点A、C重合），请直接写出周长的最小值.44.如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=3，M是边CD上一点，将△ADM沿直线AM对折，得到△ANM.（1）当AN平分ZMAB时，求DM的长；（2）连接BN，当DM=1时，求△ABN的面积；3）当射线BN交线段CD于点F时，求DF的最大值DCDC45.如图，半圆0的直径AB=4，以长为2的弦PQ为直径，向点0方向作半圆M,其中P点在上且不与A点重合，但Q点可与B点重合.发现：AP的长与Q艮的长之和为定值I,求I：思考：点M与AB的最大距离为，此时点P，A间的距离为；点M与AB的最小距离为，此时半圆M的弧与AB所围成的封闭图形面积为；探究：当半圆M与AB相切时，求AP的长.(注：结果保留n，(注：结果保留n，如5°詈,如5誇)46.(1)发现：如图1,点A为线段BC外一动点，且BC=a,AB=b.填空：当点A位于时，线段AC的长取得最大值，且最大值为(用含a，b的式子表示)(2)应用：点A为线段BC外一动点，且BC=3,AB=1,如图2所示，分别以AB，AC为边，作等边三角形ABD和等边三角形ACE，连接CD,BE.请找出图中与BE相等的线段，并说明理由；直接写出线段BE长的最大值.拓展：如图3,在平面直角坐标系中，点A的坐标为(2,0),点B的坐标写出线段AM长的最大值及此时点P的坐标.为(5,0),点P为线段AB外一动点，且PA=2,PM=PB写出线段AM长的最大值及此时点P的坐标.阖1〕阖哥(旳(餐用图)47.如图，直线I：y=-3x+3与x轴、y轴分别相交于A、B两点，抛物线y=ax2-2ax+a+4(aVO)经过点B.求该抛物线的函数表达式；已知点M是抛物线上的一个动点，并且点M在第一象限内，连接AM、BM,设点M的横坐标为m,^ABM的面积为S,求S与m的函数表达式，并求出S的最大值；在(2)的条件下，当S取得最大值时，动点M相应的位置记为点M—①写出点M'的坐标；②将直线丨绕点a按顺时针方向旋转得到直线r,当直线r与直线am，重合时停

止旋转，在旋转过程中，直线I'与线段BM，交于点C,设点B、M'到直线I'的距离分别为d］、d2，当d1+d2最大时，求直线I'旋转的角度（即ZBAC的度数）.骨用图如图，在平面直角坐标系xOy中，将二次函数y=x2-1的图象M沿x轴翻折,把所得到的图象向右平移2个单位长度后再向上平移8个单位长度，得到二次函数图象N.（1）求N的函数表达式；（2）设点P（m，n）是以点C（1，4）为圆心、1为半径的圆上一动点，二次函数的图象M与x轴相交于两点A、B，求PA2+PB2的最大值；（3）若一个点的横坐标与纵坐标均为整数，则该点称为整点.求M与N所围成封闭图形内（包括边界）整点的个数.如图，顶点为A（•込，1）的抛物线经过坐标原点O,与x轴交于点B.（1）求抛物线对应的二次函数的表达式；（2）过B作0A的平行线交y轴于点C，交抛物线于点D，求证：△OCD^^OAB；（3）在x轴上找一点P,使得APCD的周长最小，求出P点的坐标.

2017挑战压轴题中考数学精讲解读篇参考答案与试题解析一．解答题（共36小题）1．如图，在平面直角坐标系xOy中，将抛物线y=x2的对称轴绕着点P（0，2）顺时针旋转45°后与该抛物线交于A、B两点，点Q是该抛物线上一点.（1）求直线AB的函数表达式；（2）如图①，若点Q在直线AB的下方，求点Q到直线AB的距离的最大值；（3）如图②，若点Q在y轴左侧，且点T（0，t）（tV2）是射线PO上一点,当以P、B、Q为顶点的三角形与APAT相似时，求所有满足条件的t的值.图①图②皆用图【分析】（1）根据题意易得点M、P的坐标，利用待定系数法来求直线AB的解析式；（2）如图①，过点Q作x轴的垂线QC,交AB于点C,再过点Q作直线AB的垂线，垂足为D，构建等腰直角△QDC，利用二次函数图象上点的坐标特征和二次函数最值的求法进行解答；（3）根据相似三角形的对应角相等推知：APBQ中必有一个内角为45°；需要分类讨论：ZPBQ=45。和ZPQB=45°；然后对这两种情况下的APAT是否是直角三角形分别进行解答.另外，以P、B、Q为顶点的三角形与APAT相似也有两种情况:△Q〃PBsApaT、AQ〃BPsApaT.【解答】解：（1）如图①，设直线AB与x轴的交点为M.

VZOPA=45°,・・・0M=0P=2,即M(-2,0).设直线AB的解析式为y=kx+b(kH0),将M(-2,0),P(0,2)两点坐标代入，得(2=kx0+b,10=kX(-2)+b?解得-.故直线AB的解析式为y=x+2；(2)如图①，过点Q作x轴的垂线QC,交AB于点C,再过点Q作直线AB的垂线，垂足为D,根据条件可知AQDC为等腰直角三角形，则QD=QC.2・QC=m+2-m2=-(m-丄)2+,24(m-丄)・QC=m+2-m2=-(m-丄)2+,24(m-丄)2QD=QC=^I2故当m=丄时，点Q到直线AB的距离最大，最大值为■；S(3)TZAPT=45°,•••△PBQ中必有一个内角为45°,由图知，ZBPQ=45。不合题意.如图②，若ZPBQ=45°,过点B作x轴的平行线，与抛物线和y轴分别交于点Q'、F.此时满足ZPBQZ=45°.•.•Q'(-2,4),F(0,4),・•・此时△BPQ'是等腰直角三角形，由题意知APAT也是等腰直角三角形.当ZPTA=90°时，得到：PT=AT=1，此时t=1；当ZPAT=90°时，得到：PT=2，此时t=0.如图③，若ZPQB=45°,①中是情况之一，答案同上；先以点F为圆心，FB为半径作圆，则P、B、Q'都在圆F上，设圆F与y轴左侧的抛物线交于另一点Q〃.则ZPQ〃B=ZPQ'B=45°(同弧所对的圆周角相等)，即这里的交点Q〃也是符合要求．设Q〃(n,n2)(-2VnV0),由FQ〃=2，得n2+(4-n2)2=22,即n4-7n2+12=0.解得n2=3或n2=4，而-2VnV0,故n=-即Q"(-'.：3，3).可证APFa"为等边三角形，所以ZPFQ"=60°，又PQ"=PQ"，所以ZPBQ"=ZPFQ"=30°.则在△PQ〃B中，ZPQ〃B=45°，ZPBQ〃=30°.若△Q〃PBs^pat,则过点A作y轴的垂线，垂足为E.则ET=3e=.：E，OE=1，所以ot=±-1，解得t=1-匚3；若△Q〃BPs^paT,则过点T作直线AB垂线，垂足为G.设TG=a，则PG=TG=a,AG=±TG=；3a,AP<2,••I3a+a=，.：2，解得pt=迈a='/!i-1,・・.OT=OP-PT=3-7s,t=3-i3.综上所述，所求的t的值为t=1或t=0或t=1-主或t=3-Ts.图③

2.如图，已知BC是半圆0的直径，BC=8,过线段BO上一动点D,作AD丄BC交半圆0于点A,联结A0,过点B作BH丄A0,垂足为点H,BH的延长线交半圆0于点F．（1）求证：AH=BD；（2）设BD=x,BE・BF=y,求y关于x的函数关系式；（3）如图2,若联结FA并延长交CB的延长线于点G,当AFAE与相似时,求BD的长度．5F£ECED5F£ECED【分析】（1）由AD丄BC,BH丄A0,利用垂直的定义得到一对直角相等，再由一对公共角，且半径相等，利用AAS得到三角形AD0与三角形BH0全等，利用全等三角形对应边相等得到0H=0D，利用等式的性质化简即可得证；（2）连接AB,AF,如图1所示，利用HL得到直角三角形ADB与直角三角形BHA

全等，利用全等三角形对应角相等得到一对角相等，再由公共角相等得到三角形ABE与三角形AFB相似，由相似得比例即可确定出y与x的函数解析式；（3）连接OF,如图2所示，利用两对角相等的三角形相似得到三角形AFO与三角形FOG相似，由相似得比例求出BD的长即可.【解答】（1）证明：TAD丄BC,BH丄AO,・・.ZADO=ZBHO=90°,在厶ADO与ABHO中，VAD0=ZBH0〈ZA0D=ZB0H,gOE.•.△ADO竺ABHO（AAS）,・OH=OD，又TOA=OB,・AH=BD；解：连接AB、AF,如图1所示,TAO是半径，AO丄弦BF,・・AB=AF，.\ZABF=ZAFB,在Rt^ADB与Rt^BHA中，fAH=BDAB二BA.•.Rt^ADB竺Rt^BHA(HL),.\ZABF=ZBAD,・•・ZBAD=ZAFB,又TZABF=ZEBA,理D。匡］ic.•.理D。匡］ic••理二险

BA2=BE・BF,TBE・BF=y,・°・y=BA2,VZADO=ZADB=90°,・・AD2=AO2-DO2,AD2=AB2-BD2,AO2-DO2=AB2-BD2,•・•直径BC=8,BD=x,AB2=8x,则y=8x(0VxV4)；方法二：・.・BE・BF=y,BF=2BH,.•・BE・BH=*y,•.•△beds&oh,==OBBH.•.OB・BD=BE・BH,4x=*y,y=8x(0VxV4)；(3)解：连接OF,如图2所示，VZGFB是公共角，ZFAE>ZG,・・・当4FAEs^FBG时，ZAEF=ZG,VZBHA=ZADO=90°,・・.ZAEF+ZDAO=90°,ZAOD+ZDAO=90°,.\zaef=zaod,.\zg=zaod,・AG=AO=4,•・•・・・ZAOD=ZAOF,・•・ZG=ZAOF,又VZGFO是公共角，•••△faos^fog,・=「••,OFFGTAB2=8x,AB=AF,・・・AF=2%・=_**44+2^21?解得：x=3土■活,•・・3+i'E>4,舍去，・・.BD=3-<5.3.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB过点A(3,0)、B(0,m)(m>0),tanZBAO=2.求直线AB的表达式；反比例函数y电的图象与直线AB交于第一象限内的C、D两点(BDVBC),当AD=2DB时，求耐的值；设线段AB的中点为E,过点E作x轴的垂线，垂足为点M,交反比例函数丫=邑_的图象于点F,分别联结OE、OF,当厶OEFs^OBE时，请直接写出满足x条件的所有k2的值.【分析】(1)先通过解直角三角形求得A的坐标，然后根据待定系数法即可求得直线AB的解析式；(2)作DE〃OA，根据题意得出匹=亜=丄，求得DE，即D的横坐标，代入AB0AAB3的解析式求得纵坐标，然后根据反比例函数图象上点的坐标特征即可求得k1；（3）根据勾股定理求得AB、OE，进一步求得BE，然后根据相似三角形的性质求得EF的长，从而求得FM的长，得出F的坐标，然后根据反比例函数图象上点的坐标特征即可求得k2.【解答】解：（1）TA（3，0）、B（0，m）（m>0），OA=3，OB=m，VtanZBAO^=2，0A••m=6，设直线AB的解析式为y=kx+b，代入A（3，0）、B（0，6）得：6=b解得：b=6，k=-2・•・直线AB的解析式为y=-2x+6；（2）如图1，TAD=2DB，•==>AB3作DE〃OA，•==••,0AAB3.・.de=£oa=i，D的横坐标为1，代入y=-2x+6得，y=4，D（1，4），k]=1X4=4；（3）如图2，VA（3，0），B（0，6），TOE是Rt^OAB斜边上的中线,・・・OE=*AB=^i'E，BE=#.g

TEM丄x轴，・•・F的横坐标为•.•△OEFs^OBE,・=•・—,BE0B.・.EF=J^,・・.FM=3-4.如图，在Rt^ABC中，ZACB=90°,AC=1,BC=7,点D是边CA延长线的一点,AE丄BD，垂足为点E,AE的延长线交CA的平行线BF于点F,连结CE交AB于点G.当点E是BD的中点时，求tanZAFB的值；CE・AF的值是否随线段AD长度的改变而变化？如果不变，求出CE・AF的值;如果变化,请说明理由；(3)当厶BGE和厶BAF相似时，求线段AF的长.BDA【分析(1)过点E作EH丄CD于H,如图1,易证EH是ADBC的中位线及△AHE-△EHD，设AH=x，运用相似三角形的性质可求出x,就可求出tanZAFB的值;取AB的中点0,连接0C、OE，如图2,易证四点A、C、B、E共圆，根据圆周角定理可得ZBCE=ZBAF，根据圆内接四边形内角互补可得ZCBE+ZCAE=180°，由此可推出ZCBE=ZBFA,从而可得△BCEFAB，即可得到CE・FA=BC・AB,只需求出AB就可解决问题；过点E作EH丄CD于H,作EM丄BC于M,如图3,易证四边形EMCH是矩形，由△BCEs^fAB,ABGE与AFAB相似可得△BGE与ABCE相似，即可得到ZEBG=ZECB.由点A、C、B、E共圆可得ZECA=ZEBG,即可得到ZECB=ZECA,根据角平分线的性质可得EM=EH,即可得到矩形EMCH是正方形，则有CM=CH,易证EB=EA,根据HL可得Rt^BMEsRt^AHE,则有BM=AH.设AH=x,根据CM=CH可求出x,由此可求出CE的长，再利用(2)中的结果就可求出AF的值.【解答】解：(1)过点E作EH丄CD于H,如图1,图1则有ZEHA=ZEHD=90°.VZBCD=90°,BE=DE,・・・CE=DE.・・.CH=DH,.•.eh^bc』2设AH=x，贝UDH=CH=x+1.TAE丄BD,・・・ZAEH+ZDEH=ZAED=90°.VZAEH+ZEAH=90°,.\ZEAH=ZDEH,.•.△ahes^ehd,•AH_EH,**EHDH‘.•・EH2=AH・DH,.・.（£）2=x（x+1）,解得x=^2（舍负），•.•BF〃CD,.\ZAFB=ZEAH,•tanZAFB=5、；+l(2)CE・AF的值不变.取AB的中点0,连接0C、OE，如图2,图2VZBCA=ZBEA=90°,・OC=OA=OB=OE，・点A、C、B、E共圆，.\ZBCE=ZBAF,ZCBE+ZCAE=180°.・・.ZBFA+ZCAE=180°,・・.ZCBE=ZBFA,.•.△bces^fab,・=••,FAAB••・CE・FA=BC・AB.VZBCA=90°,BC=7,AC=1,・・・AB=5■迈,・・.CE・FA=7X5厅=35一迈；(3)过点E作EH丄CD于H,作EM丄BC于M,如图3,・・.ZEMC=ZMCH=ZCHE=90°,・四边形EMCH是矩形.•••△BCEs^fAB,ABGE与Afab相似,•••△BGE与ABCE相似，.\zebg=zecb.•・•点A、C、B、E共圆，.\zeca=zebg,.\ZECB=ZECA,EM=EH,・矩形EMCH是正方形,CM=CH.VZECB=ZECA丄ZBCA=45°,2・・.ZEBA=ZEAB=45°,・・.EB=EA,.•.Rt^BME竺Rt^AHE(HL),・BM=AH．设AH=x，贝UBM=x,CM=7-x,CH=1+x,・・7-x=1+x,・x=3，・CH=4．在Rt^CHE中，cosZECH==二亘,CECE2・•・CE=4.迈.由(2)可得CE・FA=35.迈,・.Af_厉里_35.**4^24•5•如图，平面直角坐标系xOy中，已知B(-1,0),一次函数y=-x+5的图象与x轴、y轴分别交于点A、C两点，二次函数y=-x2+bx+c的图象经过点A、点B.求这个二次函数的解析式；点P是该二次函数图象的顶点，求△APC的面积；【分析】(1)由一次函数的解析式求出A、C两点坐标，再根据A、B两点坐标求出b、c即可确定二次函数解析式；(2)根据二次函数的解析式求出P点坐标，然后计算三角形APC的面积；

(3)分两种情况讨论：①△ABCs^AOQ，②△ABCs^AQO.【解答】解：(1)・・•一次函数y=-x+5的图象与x轴、y轴分别交于点A、C两点，・・・A(5,0),C(0,5),：•二次函数y=-x2+bx+c的图象经过点A、点B,b=4,c=5,・二次函数的解析式为：y=-x2+4x+5．(2)Vy=-X2+4x+5=-(x-2)2+9,P(2,9),过点P作PD〃y轴交AC于点D,如图，则D(2,3),…込粧C今&止一七)(7P_Vd)=15(3)①若△ABCs^AOQ,如图，此时，OQ〃BC,由B、C两点坐标可求得BC的解析式为：y=5x+5,・OQ的解析式为：y=5x,

②若△ABCs^AQO，如图,此时，‘坐，ABACVAB=6,AO=5,AC=5.一2,・・・AQ=3辽,・・・Q(2,3).综上所述，满足要求的Q点坐标为：Q(§,竺)或Q(2,3).666.已知：半圆0的直径AB=6,点C在半圆0上，且tanZABC=2，_迈，点D为弧AC上一点，联结DC(如图)求BC的长；若射线DC交射线AB于点M,且MOC相似，求CD的长；联结OD,当OD〃BC时，作ZDOB的平分线交线段DC于点N,求ON的长．【分析】(1)如图1中，根据AB是直径，得AABC是直角三角形，利用勾股定理即可解决问题．如图2中，只要证明△OBC竺AOCD得BC=CD，即可解决问题.如图3中，延长ON交BC的延长线于G,作GH丄0B于H,先求出BG,根据tanZHBG=2立，利用勾股定理求出线段HB、HG,再利用CG〃DO得ODON由此即可解决.【解答】解；(1)如图1中，连接AC，TAB是直径，・・.ZACB=90°，*.*tanZABC=2T2，・•可以假设AC=2i'2k，BC=k,TAB=6，AB2=AC2+BC2，36=8k2+k2，k2=4，•・・k>0,k=2，BC=2.如图2中，•.•△MBC与厶MOC相似，.\ZMBC=ZMCO,VZMBC+ZOBC=180°,ZMCO+ZOCD=180°,.\ZOBC=ZOCD,TOB=OC=OD,・•・ZOBC=ZOCB=ZOCD=ZODC,在厶OBC和厶OCD中，rZ0BC=ZQCD“Z0CB=Z0DC,l0B=0C.•.△OBC竺AOCD,・BC=CD=2．(3)如图3中，延长ON交BC的延长线于G,作GH丄OB于H.•BC〃OD,・ZDOG=ZOGB=ZGOB,BO=BG=3,•tanZHBG=晋二2近，设GH=2近a,HB=a,BG2=GH2+HB2,8a2+a2=9,a2=1,•a>0,・a=1,HB=1,GH=2近,OH=2,OG毗怡+H八=2讥j.•GC〃DO,囲二丽预亏,7.如图，已知二次函数y=x2+bx+c(b,c为常数)的图象经过点A(3,-1),点C(0,-4),顶点为点M,过点A作AB〃x轴，交y轴与点D,交该二次函数图象于点B,连结BC.（1）求该二次函数的解析式及点M的坐标；（2）若将该二次函数图象向上平移m（m>0）个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在△ABC的内部（不包含AABC的边界），求m的取值范围；（3）点P时直线AC上的动点，若点P，点C，点M所构成的三角形与△BCD相似，请直接写出所有点P的坐标（直接写出结果，不必写解答过程）．【分析（1）把A、C两点的坐标代入抛物线的解析式可求b、c的值，然后利用配方法可求得点M的坐标；（2）先求得直线AC的解析式，然后再求得抛物线的对称轴，设直线x=1与厶ABC的两边分别交于点E与点F,然后求得点E和点F的坐标，然后依据平移后抛物线的顶点在Abac的内部列不等式组求解即可；（3）先证明ZPCM为直角，然后分为△MPCs^CBD、BDC^^MCP，两种情况求得PC的长，然后再求得点P的坐标即可.【解答】解：（1）把A、C两点的坐标代入得：宀+3c=-4解得：]c=-4・•・二次函数的解析式为y=x2-2x-4.配方得：y=（x-1）2-5.・点M的坐标为（1，-5）.（2）设直线AC的解析式为y=kx+b，把点A、C的坐标代入得：[一，解得:，[b二-4・・直线AC的解析式为y=x-4.

抛物线的对称轴方程为x=-，=1.如图1所示，直线x=1与厶ABC的两边分别交于点E与点F,则点F的坐标为（1,-1）．将x=1代入直线y=x-4得：y=-3.・・・E（1,-3）.•・•抛物线向上平移m个单位长度时，抛物线的顶点在Abac的内部，.*.-3V-5+mV-1.・・2VmV4.3）如图2所示：把y=-1代入抛物线的解析式得：x2-2x-4=-1,解得x=-1或x=3,・B（-1，-1）．・BD=1．TAB〃x轴，A(4,-1),・・・D(0,-1)・・・AD=DC=3.・・・ZDCA=45°.过点M作ME丄y轴，垂足为E.VC(0,-4),M(1,-5).・CE=ME=1..\ZECM=45°,MC=.p.・・・ZACM=90°.・・・ZPCM=ZCDB=90°.①当△MPCs^CBD时，‘，即旦二立，解得PC=±L.TOC\o"1-5"\h\zBDCM133.・.CF=PF=sin45°・PC=人二丄.23・・・P(-丄，-H).3如图3所示：点P在点C的右侧时，过点P作PF丄y轴，垂足为F.VCP二，ZFCP=45°，ZCFP=90°，3.・.CF=FP二X二丄.TOC\o"1-5"\h\z23・・・P(-丄，亠.33②当BDCs^MCP时，旦〉匹，即匹=色，解得PC=3•迈.CMBDV21'如图4所示：当点P在AC的延长线上时，过点作PE丄y轴，垂足为E.

TPC=3.迈，ZPCE=45°,ZPEC=90°,・・・CE=PE=3■.迈X#=3.・・・P（-3,-7）.如图5所示：当点P在AC上时，过点P作PE丄y轴，垂足为E.TPC=3■.迈,ZPCE=45°,ZPEC=90°,・・・CE=PE=3迁X#=3.・P（3,-1）.综上所述，点P的坐标为（-3,-7）或（3,-1）或（-丄-H）或（-丄,33338如图1,在厶ABC中，ZACB=90°,ZBAC=60°,点E是ZBAC角平分线上一点，过点E作AE的垂线，过点A作AB的垂线，两垂线交于点D,连接DB,点F是BD的中点，DH丄AC，垂足为H,连接EF,HF.如图1,若点H是AC的中点，AC=2■.远，求AB,BD的长；如图1,求证：HF=EF；如图2,连接CF,CE.猜想：ACEF是否是等边三角形？若是，请证明；若不是，说明理由．【分析(1)根据直角三角形的性质和三角函数即可得到结果；如图1,连接AF,证出△DAE竺△ADH,ADHF竺AAEF,即可得到结果；如图2,取AB的中点M,连接CM,FM,在R^ADE中，AD=2AE,根据三角形的中位线的性质得到AD=2FM,于是得到FM=AE,由ZCAE=丄ZCAB=30°2ZCMF=ZAMF-AMC=30°,证得△ACE^^MCF,问题即可得证.【解答】解：(1)VZACB=90°,ZBAC=60°,・・.ZABC=30°,.•・AB=2AC=2X2ilj=471j,VAD±AB,ZCAB=60°,・・.ZDAC=30°,•.•AH吉AC='.：W,・・.AD==2,cos30・•・BD7^^=2i応;(2)如图1，连接AF，•AE是ZBAC角平分线,・・.ZHAE=30°,.\ZADE=ZDAH=30°,在ADAE与厶ADH中，VAHD=ZDEA=90°<ZADE=ZDAH,tAD=AD.•.△DAE竺AADH,・・.DH=AE,•・•点F是BD的中点,・DF=AF,VZEAF=ZEAB-ZFAB=30°-ZFABZFDH=ZFDA-ZHDA=ZFDA-60°=(90°-ZFBA)-60°=30°-ZFBA,.\ZEAF=ZFDH,在AOHF与厶AEF中，'DH=AE〈ZHDF=ZEAH,’DF=AF.•.△DHF竺AAEF,・HF=EF；(3)如图2,取AB的中点M,连接CM,FM,TF、M分别是BD、AB的中点，・・.FM〃AD,即FM丄AB.在RQADE中,AD=2AE,TDF=BF,AM=BM,AD=2FM,FM=AE,VZABC=30°,・・.AC=CM=*AB=AM,VZCAE^ZCAB=30°ZCMF=ZAMF-ZAMC=30°,2在厶ACE与AMCF中，rAC=CM〈ZCAE=ZOT,.•.△ace竺Amcf,CE=CF,ZACE=ZMCF,TZACM=60°,・ZECF=60°,

•••△CEF是等边三角形.9.已知，一条抛物线的顶点为E(-1,4),且过点A(-3,0),与y轴交于点C,点D是这条抛物线上一点，它的横坐标为m,且-3VmV-1,过点D作DK丄x轴，垂足为K,DK分别交线段AE、AC于点G、H.求这条抛物线的解析式；求证：GH=HK；当厶CGH是等腰三角形时，求m的值.【分析】(1)设抛物线的解析式为y=a(x+1)2+4(aHO),将点A的坐标代入求得a的值即可求得抛物线的解析式；先求得直线AE、AC的解析式，由点D的横坐标为m,可求得KG、KH的长(用含m的式子)，从而可证明GH=HK；可分为CG=CH,GH=GC,HG=HC三种情况，接下来依据两点间的距离公式列方程求解即可.【解答】(1)解：•・•抛物线的顶点为E(-1,4),.:设抛物线的解析式为y=a(x+1)2+4(aHO).又•・•抛物线过点A(-3,0),4a+4=0，解得:a=-1.・••这条抛物线的解析式为y=-(x+1)2+4.设直线AE的解析式为y=kx+b.•・•将A(-3,0),E(-1,4),代入得：「业比二0,解得：k=2,b=6,-k+b二4・•・直线AE的解析式为y=2x+6.设直线AC的解析式为y=kxx+bx.•・•将A(-3,0),C(0,3)代入得：劭+20,解得：k=i,b=3,}b=3・・直线AC的解析式为y=x+3.VD的横坐标为m,DK丄x轴G(m，2m+6)，H(m，m+3).VK(m,0)GH=m+3，HK=m+3.GH=HK.由(2)可知：C(0，3)，G(m，2m+6)，H(m，m+3)若CG=CH,贝U5?+垃血引整mJ整理得：(2m+3)2=m2,解得开平方得:2m+3=±m解得m1=-1，m2=-3，V-3VmV-1,mH-1且mH-3.・这种情况不存在.若GC=GH，贝V一:律+仪讨引^=m+3，整理得：2m2+3m=0解得mx=0(舍去)，3③若HC=HG，则-齐◎=m+3,整理得：m2-6m-9=0,解得；m】=3-3典,m2=3+3.迈(舍去).综上所述：当△CGH是等腰三角形时，m的值为今或3-3】迈.10.如图，已知在Rt^ABC中，ZACB=90°,AB=5,sinA仝U点P是边BC上的5一点，PE丄AB,垂足为E,以点P为圆心，PC为半径的圆与射线PE相交于点Q,线段CQ与边AB交于点D.（1）求AD的长；（2）设CP=x,^PCQ的面积为y,求y关于x的函数解析式，并写出定义域；（3）过点C作CF丄AB,垂足为F,联结PF、QF,如果APQF是以PF为腰的等腰三角形,求CP的长．【分析】（1）易证AD=AC，只需运用三角函数和勾股定理求出AC即可；（2）过点Q作QH丄BC于H,如图1,只需用x的代数式表示QH就可解决问题;（3）由于APQF是以PF为腰的等腰三角形，故需分PF=PQ和PF=FQ两种情况讨论,只需将等腰三角形的性质和三角函数相结合,就可解决问题．【解答】解：（1）在Rt^ABC中，VZACB=90°,AB=5,sinA=?,5・•・BC=AB・sinA=5X^=4,5・AC=/-42=3-VPC=PQ,AZPCQ=ZPQC.TPE丄AB即ZQED=90°,•\ZEQD+ZEDQ=90°.VZACD+ZPCQ=90°,・•・ZEDQ=ZACD.VZCDA=ZEDQ,•・ZACD=ZCDA,

・・.AD=AC=3；(2)过点Q作QH丄BC于H,如图1,•.•ZPBE+ZBPE=90°,ZPBE+ZA=90°,・・.ZBPE=ZA,・SinZHPQ=SinZA=f・・・sinZHPQ=^=,PQ5•.•pQ=PC=x,.・・QH=2x,5・・.s△PCQ・・.s△PCQ寺C・QH=*x・（当E、Q、D共线时’可得x最小值’根据芝泮’解得x弓“(3)①当PF=PQ时，则有PF=PQ=x=PC.过点P作PG丄CF于G,如图2,则CG冷CF.VCF1AB,・・・Sa”=LaC・BC丄AB・CF,△ABC22・・・CF==,.•・cg£.VZPCG=90°-ZFCA=ZA,・・cosZPCG=cosZA~,5・・・cosZPCG==,PC5.・.x=PC=^CG巨X邑2；335②当PF=FQ时，TFE丄PQ,.•・PE=1pQ=J-x,2

综上所述：当APQF是以PF为腰的等腰三角形，CP的长为2或11.如图(1),直线y=-—x+n交x轴于点A,交y轴于点C(0,4),抛物线y—x2+bx+c33经过点A,交y轴于点B(0,-2).点P为抛物线上一个动点，过点P作x轴的垂线PD,过点B作BD丄PD于点D,连接PB,设点P的横坐标为m.求抛物线的解析式；当ABOP为等腰直角三角形时，求线段PD的长；如图(2),将ABOP绕点B逆时针旋转，得到△BDP，当旋转角ZPBPJZOAC,且点P的对应点P'落在坐标轴上时，请直接写出点P的坐标.

备用图【分析(1)先确定出点A的坐标，再用待定系数法求出抛物线解析式；由ABOP为等腰直角三角形，判断出BD=PD,建立m的方程计算出m,从而求出PD；分点P'落在x轴和y轴两种情况计算即可【解答】解：(I)：'点C(0,4)在直线y=-^x+n上,3n=4,・*.y=-J-x+4,令y=0,x=3,A(3,0),：抛物线y—x2+bx+c经过点A,交y轴于点B(0,-2).c=-2,6+3b-2=0,・••抛物线解析式为y=?x2-x-2,(2)：点P的横坐标为m,且点P在抛物线上,P(m,Zm2-?m-2),D(m,-2).TOC\o"1-5"\h\z3若ABOP为等腰直角三角形，则PD=BD.①当点P在直线BD上方时，PD—m2-■m.33(i)若点P在y轴左侧，则mV0,BD=-m.・一m2—m=-m,33・・・口=0（舍去），叫=寺（舍去）•（ii）若点P在y轴右侧，则m>0,BD=m.m2-...m=m,TOC\o"1-5"\h\z33m3=0(舍去),m4==.3②当点P在直线BD下方时，m>0,BD=m,PD=-—m2+m.33-—m2+m=m,33・・・m5=0（舍去），m6=丄.2综上所述，m==或m丄.2即当△BDP为等腰直角三角形时，PD的长为工或丄.22(3)VZPBP'=ZOAC,OA=3,OC=4,・AC=5,.•.sinZPBP'二,cosZPBP'=,TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"55①当点P'落在x轴上时，过点D'作D'N丄x轴，垂足为N,交BD于点M,ZDBD'=ZND'P'=ZPBP',如图1,由旋转知，P'D'=PD=Zm2-・，m,3在Rt^P'D'N中，cosZND'P'二=cosZPBP'=,P?L5ND'=-(2m2—m),533在Rt^BD'M中，BD'=-m,sinZDBD'二二sinZPBP'=,BE?5D'M=-含m,.•.ND'-MD'=2,（Mm2-，，m）-（-土m）=2,5335・°・m=J^（舍），或m=-（^,如图2，同①的方法得，ND'毛（訥2诗m），MD寺TND'+MD'=2,（Zm2-，m）+—m=2,TOC\o"1-5"\h\z5335・・m=_：5,或m=-（舍）,・・・p（-立，）或pa）,33②当点P'落在y轴上时，如图3,过点D作D，M丄x轴，交BD于M,过点P作P，N丄y轴，交MD'的延长线于点N,\p‘y\\丿1B@3・•・ZDBD'=ZND'P'=ZPBP',同①的方法得，P'N—（£m2-m）,BM—m,5335•/P'N=BM,（Zm2-.m）—m,5335

・・.p亠.・・.p亠.S32・・.p（卡，）或P（爲，）或PC・・.p'3333212．综合与探究如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx-8与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C，直线丨经过坐标原点0,与抛物线的一个交点为D,与抛物线的对称轴交于点E,连接CE,已知点A,D的坐标分别为(-2,0),(6,-8).求抛物线的函数表达式，并分别求出点B和点E的坐标；试探究抛物线上是否存在点F,使AF0E竺AFCE?若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在,请说明理由；若点P是y轴负半轴上的一个动点，设其坐标为(0,m),直线PB与直线l交于点Q,试探究：当m为何值时，△OPQ是等腰三角形.【分析(1)根据待定系数法求出抛物线解析式即可求出点B坐标,求出直线0D解析式即可解决点E坐标．抛物线上存在点F使得AFOE竺AFCE，此时点F纵坐标为-4,令y=-4即可解决问题．)①如图1中，当OP=OQ时，△OPQ是等腰三角形，过点E作直线ME〃PB,交y轴于点M,交x轴于点H,求出点M、H的坐标即可解决问题.②如图2中，当QO=QP时，APOQ是等腰三角形，先证明CE〃PQ,根据平行线的性质列出方程即可解决问题．【解答】解：(1)T抛物线y=ax2+bx-8经过点A(-2,0),D(6,-8),4a-2b-8=0，解得’36a4-6b-S=_8a4,h二七・••抛物线解析式为y诗也-3x-8,■■y4x2-3x-84（x-34a-2b-8=0，解得’36a4-6b-S=_8又•・•抛物线与x轴交于点A、B两点，点A坐标（-2,0）,・••点B坐标（8,0）.设直线l的解析式为y=kx•・•经过点D（6,-8）,・6k=-8,k=-y,・・直线I的解析式为y=-寻x,•・•点E为直线I与抛物线的交点，・••点E的横坐标为3,纵坐标为-寻X3=-4,・点E坐标（3，-4）．（2）抛物线上存在点F使得AFOE竺AFCE,此时点F纵坐标为-4，・.•丄X2-3x-8=-4,2x2-6x-8=0，x=3±Tf,・••点F坐标（3+】TF,-4）或（3-帀，-4）.（3）①如图1

°・°点E坐标(3,-4),・•・OE=j/+42=5,过点E作直线ME〃PB,交y轴于点M,交x轴于点H.则器=罟,・・.0M=0E=5,・••点M坐标(0,-5).设直线ME的解析式为y=k1x-5・3k1-5=-4,・・・k占,・•・•・直线ME解析式为-5,令y=0,得界-5=0,解得x=15,・点H坐标(15,0),TMH〃PB,OP_0E即-w_g而=~

中，当QO=QP时，APOQ是等腰三角形.°・.当x=0时，y=±x2-3x-8=-8,2・••点C坐标(0,-8),.•・CE=呂一4)2=5，・OE=CE，.\Z1=Z2，•/QO=QP，.\Z1=Z3,.\Z2=Z3,・・.CE〃PB，设直线CE交x轴于N，解析式为y=k2x-8,・3k2-8=-4，叫詈，・•・・•・直线CE解析式为-8,令y=0,^^x-8=0,・x=6，・点N坐标（6，0），•.•CN〃PB,・=••,•-ID0C0N•-IDm=-乎③OP=PQ时，显然不可能，理由,VD(6,-8),.•.Z1VZBOD,VZOQP=ZBOQ+ZABP,AZPQO>Z1,•••OPHPQ,综上所述’当m=峙或-乎时，^PQ是等腰三角形.13.已知，如图1,在梯形ABCD中，AD〃BC,ZBCD=90°,BC=11,CD=6,tanZABC=2,点E在AD边上，且AE=3ED,EF〃AB交BC于点F,点M、N分别在射线FE和线段CD上.（1）求线段CF的长；（2）如图2,当点M在线段FE上，且AM丄MN,设FM・cosZEFC=x,CN=y,求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（3）如果△AMN为等腰直角三角形，求线段FM的长.【分析（1）过A作AH丄BC,于是得到AH=CD=6,解直角三角形即可得到结论；（2）过M作MP丄CD于P,MK丄BC于K,反向延长KM交AD于Q,则KQ丄AD,解直角三角形求得MK=2x=PC,NP=y-2x,MP=CK=5-x=QD,于是得到AQ=8-（5-x）=3+x,QM=6-2x,推出△AMQ^^PMN,根据相似三角形的性质列方程即可得到结论；（3）①当M在线段EF上时，根据全等三角形的性质和等量代换得到QM=MP,列方程得到6-2x=5-x，解方程即可得到结论；②当M在FE的延长线上时，根据已知条件得到厶AQM^^MNH，由全等三角形的性质得到AQ=MH,由（2）知FK=x,CK=5-x=MH,MK=2x=CH,列方程即可得到结论.【解答】解：（1）过A作AH丄BC,・・.AH=CD=6,tanZABC=2,・BH=3,・CH=AD=8,・・.AE二吕x也二目二Bf，・・・CF=5；过M作MK丄BC于K,反向延长KM交AD于Q,则KQ丄AD,在Rt^FMK中，FM・cosZEFC=FK=x,VZEFC=ZB,・・.tanZEFC=2,・・.MK=2x=PC,NP=y-2x,MP=CK=5-x=QD,AAQ=8-(5-x)=3+x,QM=6-2x,VZAMN=90°,VZAMQ=ZPMN,ZAQM=ZMPN=90°,•••△amqs^pmn,.盘Q2解得：y=■(OWxWl)；2x-6①当M在线段EF上时,VAM=MN,^AMQ^^NMP,.•△amq^^nmp,QM=MP，6-2x=5-x，x=1，•:FM言"Vs②当M在FE的延长线上时VZAMN=90°,・•・ZAMQ+ZNMH=ZNMH+ZMNH=90°,.\ZAMQ=ZMNH,VQ=ZH=90°在厶AMQ与AMMH中，，酬Q二ZMM,lAM=MN.^△aqm^^mnh,・・.AQ=皿日，由（2）知FK=x,CK=5-x=MH,MK=2x,=CH,.•・AQ=DH=2x-6,・・・2x-6=5-x,・・L,VsBFZC圉2AQED圍114.如图，在矩形ABCD中，点0为坐标原点，点B的坐标为（4,3）,点A、C在坐标轴上，点P在BC边上，直线-y=2x+3，直线l2：y=2x-3.（1）分别求直线-与x轴，直线l2与AB的交点坐标；（2）已知点M在第一象限，且是直线l2上的点，若△APM是等腰直角三角形，求点M的坐标；（3）我们把直线I】和直线l2上的点所组成的图形为图形F.已知矩形ANPQ的顶点N在图形F上，Q是坐标平面内的点，且N点的横坐标为X,请直接写出x的取值范围（不用说明理由）.卜/f2A/°/c【分析】（1）根据坐标轴上点的坐标特征可求直线I］与x轴，直线12与AB的交点坐标；（2）分三种情况：①若点A为直角顶点时，点M在第一象限；若点P为直角顶点时，点M在第一象限；③若点M为直角顶点时，点M在第一象限；进行讨论可求点M的坐标；（3）根据矩形的性质可求N点的横坐标x的取值范围.【解答】解：（1）直线I,当y=0时，2x+3=0，x=-—12则直线l1与x轴坐标为（-寻,0）直线12：当y=3时，2x-3=3，x=3则直线l2与AB的交点坐标为（3,3）；（2）①若点A为直角顶点时，点M在第一象限，连结AC,如图1,ZAPB>ZACB>45°,•••△APM不可能是等腰直角三角形，・••点M不存在；②若点P为直角顶点时，点M在第一象限，如图2，过点M作MN丄CB，交CB的延长线于点N,则Rt^ABP竺Rt^PNM,・AB=PN=4，MN=BP，设M(x，2x-3)，则MN=x-4，・2x-3=4+3-(x-4)，•M（寻，罟）

③若点M为直角顶点时，点M在第一象限，如图3设M](x,2x-3),过点M1作Mf]丄0A,交BC于点H1，则Rt^AM1G1^Rt^PM1H1，AAG1=M1H1=3-(2x-3),x+3-(2x-3)=4,x=2•••M](2,1)；设M2(x，2x-3)，同理可得x+2x-3-3=4,・・・M2(爭少・・・M2(爭少综上所述’点M的坐标为詈詈),(2,⑶x的取值范围为-尹⑶x的取值范围为-尹XV。或OVx環或咛G]/*7°/1cIS11A2．15.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2-2ax-3a(aV0)与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，经过点A的直线l：y=kx+b与y轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D,且CD=4AC.直接写出点A的坐标，并求直线丨的函数表达式(其中k,b用含a的式子表示)；点E是直线l上方的抛物线上的一点，若AACE的面积的最大值为求a4的值；设P是抛物线对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A,D,P,Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由.备用图【分析】(1)由抛物线y=ax2-2ax-3a(aV0)与x轴交于两点A、B,求得A点的坐标，作DF丄x轴于F,根据平行线分线段成比例定理求得D的坐标，然后利用待定系数法法即可求得直线丨的函数表达式.(2)设点E(m,a(m+1)(m-3)),yAE=kxx+bx，利用待定系数法确定yAE=a(m-3)x+a(m-3),从而确定SAACE—(m+1)[a(m-3)-a]—(m-色)2-公CE戈22a,根据最值确定a的值即可；（3）分以AD为对角线、以AC为边，AP为对角线、以AC为边，AQ为对角线三种情况利用矩形的性质确定点P的坐标即可.【解答】解：（1）令y=0，则ax2-2ax-3a=0,解得X]=-1,x2=3•・•点A在点B的左侧，・・・A（-1，0），如图1，作DF丄x轴于F，・・・DF〃OC，・==OAAC・.・CD=4AC，OF-CD_4,**0AAC，VOA=1，OF=4，D点的横坐标为4，代入y=ax2-2ax-3a得，y=5a，D（4，5a），把A、D坐标代入y=kx+b得*+1业+b二砧解得\1b=a・・直线丨的函数表达式为y=ax+a.(2)如图1,过点E作EN丄y轴于点N设点E(m，a(m+1)(m-3))，yAE=k1x+b1'a(icH-l)(n)-3)=mk]_+b〔0二-]+b]解得："*k]二耳(in-3)解得："二亘(m-3)'・yAE=a(m-3)x+a(m-3)，M(0，a(m-3))VMC=a(m-3)-a，NE=m・®ace=S»cm+Smem冷[a(m-3)-a]+尹(m-3)-a]m冷(m+1)[a(m-3)-a]=^(m-3)2-，a,223・•・有最大值-—a=,S4令ax2-2ax-3a=ax+a,即ax2-3ax-4a=0,解得x1=-1，x2=4，D(4，5a)，°・°y=ax2-2ax-3a,・抛物线的对称轴为x=1，设P1(1,m),若AD是矩形的一条边，由AQ〃DP知xD-xp=xA-xQ,可知Q点横坐标为