高中数学人教A版3第一章计数原理二项式定理 二项式定理教学设计（吴作印）

《二项式定理（一）》教学设计贵州省高中数学李时建名师工作室吴作印一、教学设计1.教学内容解析二项式定理是初中乘法公式的推广，是排列组合知识的具体运用，是学习后一章“随机变量及其分布”的基础。中学教材中的二项式定理主要包括：二项式定理的推导，通项公式，杨辉三角，二项式系数的性质等。通过二项式定理的学习，要求学生掌握“猜想-归纳-论证”的数学思想，同时在求展开式、其通项、证恒等式、近似计算等方面形成技能；进一步体会过程分析与特殊化方法等的运用；二项式定理的证明是一个教学难点．这是因为，证明中符号比较抽象、需要恰当地运用组合数的性质。本节课起到了承上启下的作用，是对之前所学计数原理的巩固，也是对之后随机变量及其分布（特别是超几何分布）作铺垫。而在高等数学中它是许多重要公式的共同基础，根据二项式定理的展开，可以得到优美的=e≈……2.学生学情分析二项式定理是初中学习的多项式乘法的继续，它所研究的是一类特殊的多项式，表现为二项式的乘方的展开式，也是解决某些整除、近似计算等问题的重要方法之一。学生在初中是以多项式的乘法展开为载体，从具体式子感知多项式的展开。学生进入高中一年多的数学学习后，在数学符号化、公理化、抽象化等方面得到了有效的锻炼，逻辑推理能力、转化与化归等数学思想方法得到了训练，特别是，前一节学习了计数原理后，对该节课推导二项式定理奠定了基础。从学生现阶段的思维特点分析，大部分学生解决展开式采用的是的不完全归纳法(猜想)，与初中学习的多项式的展开结合起来，从、、、……的展开式的形式特点等方面进行类比，教师可以因势利导，让学生体会从一般到特殊的数学思想方法。然而，无穷大时，能保证展开式恒成立吗？3．教学策略分析考虑到本节课要让学生在以下几个方面得到收获：一是掌握二项式定理的推导过程（生长性）；二是基础知识，准确理解数学概念（项、项的系数、二项式系数、通项公式等），并能灵活运用数学思想方法；三是“猜想—证明——归纳”的一般规律及方法。基于学生的认知基础和现阶段的数学思维水平，故本节课从学生已有的认知作为出发点，先让学生计算……在繁琐的计算过程中激发学生去思考更有效的方法解决该问题。采用了数学探究式教学模式组织教学，在解决简单具体问题的基础上，抽象出解决一般问题的方法，让学生亲身经历“提出问题—解决问题—总结规律”，培养学生独立思考、自主探索、合作交流的学习意识和习惯。更是设置“问题串”，促进学生深层次思考。在教学过程中，设置“创设问题情境，因疑惑而激趣——亲身体验，探索新知——合作探究，总结规律——典型例题分析——强化训练，巩固提升”让学生体会研究问题的方式方法，培养学生观察、分析概括的能力，以及化归意识。教学中教师充分发挥主导作用，营造民主、平等、和谐、积极的课堂氛围，充分调动学生学习的积极性，以数学问题情境为立足点，为学生自主探索、合作交流提供足够的时间和空间，放手让学生独立思考，大胆实践，在已有知识和经验的基础上主动建构。并由此获得成功的体验，激发学生学习数学的兴趣和学好数学的信心，践行贵州师范大学吕传汉教授“教思考，教体验，教表达”的理念。4．教学目标设置知识与技能：(1)理解并掌握二项式定理，能利组合思想证明二项式定理；(2)能利用通项公式求某一项的系数。过程与方法：通过学生参与和探究二项式定理的形成过程，培养学生观察、分析、概括的能力，以及化归的意识与方法迁移的能力，体会从特殊到一般的思维方式。情感、态度与价值观：培养学生的自主探究意识，合作精神，体验二项式定理的发现和创造历程，体会数学语言的简洁和严谨。教学重点：用计数原理分析、的展开式，推导二项式定理；教学难点：利用计数原理分析二项式的展开过程，发现二项式形成单项式之和时各项系数的规律。二、教学过程1.创设问题情境，因疑惑而激趣教师：请同学们计算下面两个题：【教师巡视2分钟，学生用初中多项式的乘法展开，……】教师：有的同学计算得很快哦，要不再来计算一个：【观察学生反应：只有少部分学生用初中方法埋头苦干，大部分学生停下演算静静的思考……】【说明：学生表示预设学生可能回答或提出的问题】学生1：就是4个相乘，计算有点麻烦，要算到什么时候去哦！学生2：我们应该寻求一个能代表这些式子的一个通式。学生3：就像数列的通项公式吗？……教师：你能猜想的展开式是什么吗？【设计意图：鼓励学生大胆猜想是教学生数学思考问题的开始，也许学生的猜想没有道理，甚至是错误的，但问题意识的种子却已在他们的头脑生根，慢慢发芽……】教师：同学们，你们现在的困惑，就是牛顿当年的困惑……那是1664年冬，22岁的牛顿在研读沃利斯博士的《无穷算术》时，引发了许多思考…都可以用初中多项式的乘法展开，如果你是牛顿，接下来会思考一个什么问题呢？学生4：研究这三个式子展开式的规律，得到一般的规律。学生5：一般情形下，当时，等于多少？……教师：同学们很聪明啊，和伟大的牛顿当年想的一样啊。那么，研究规律的最终目的是想得到什么结论？今天，就让我们沿着大数学家牛顿的足迹，重温他探究、发现二项式定理的过程。教师板书：二项式定理：【设计意图】从学生的认知水平出发设置问题情境，在困惑中激发学生思考解决问题方法，让多数学生能动手动脑，不仅能激发学生学习数学的兴趣，更是调动学生学习新知识的积极性。数学不是冰冷的美丽，她是来自现实的火热思考。问题情境中渗透数学史，且紧扣本节课的主题与重点。（点评：与数学史情境有机结合，把学生带入本课时学习主题。）2.亲身体验，探索新知教师：接下来我们来研究这个问题，应该从哪里入手呢？学生6：从上面的特殊情况入手，研究、发现它们展开后的规律，再推广到这种一般情况。学生7：好像每一项都有，只是系数不同。学生8：不对！有一项只有，有一项只有。教师：“从特殊到一般”是研究问题的常用方法。同学们观察得很仔细啊！（预设：学生应该能观察出展开式中项的规律，若观察不出来，教师适当点拨。）教师：记得刚才有同学说，就是四个相乘，刚才求得的展开式是这样的：。请思考问题：①展开式中各种类型的项是如何得到的？②展开式中各项的系数是如何确定的？（点评：具有导向性的问题能指引学生明确研究方向，教师做到了适时点拨）学生9：分步计数原理：第一步，第一次取有两种不同的方法；第二步，第二次取有两种不同的方法，共四步，共有项。学生10：但是展开式只有5项……哦，合并同类项了！【设计意图】考虑到所任教的学生是贵州省一类示范高中的实验班，基础较扎实，所以直接用课本30页的探究作为该节课探究载体。教师确定研究方向后让学生自主探究，留给学生足够的时间和空间。因为教师提出的两个问题具有明显的指向性，预设能够让学生回忆计数原理。若学生遇到困难，教师可以回到展开式进行点拨。【预设学生遇到困难，教师提示】是2个相乘，根据多项式乘法法则，每个再相乘时有两种选择，选或选，而且每个中的或都选定后，才能得到展开式的一项。于是，由分步乘法原理，再合并同类项之前，的展开式有4项，而且每一项都是的形式。每个都不取的情况有1种，即,即前的系数为；恰有1个取的情况有2种，即，即前的系数为；恰有2个取的情况有1种，即，即前的系数为；因此，【设计意图】预设当学生思维遇阻时，降低难度，让学困生体会展开式的项及其各项系数的由来；引导学生用计数原理进行再思考，分析各项以及项的个数，这也为推导的展开式提供了方法，使学生在后续的探究“法”。学生：……教师：同学们分析得不错。其实，根据多项式乘法法则，展开式的每一项都是从这四个括号中各任取一个字母相乘得到的。我们分析的结论是有五种不同类型的项，第一类：四个括号都取相乘得到；第二类：三个括号都取，一个括号取得到；第三类……，第四类……教师：A同学，你具体分析有哪几种情形可以得到？它的系数4又是如何确定的？学生A：是这四个括号中一个括号取，另三个括号取相乘得到的，共有四种取法，所以系数为4。教师：A同学回答得很好，观察得很仔细，很好地回答了问题①②，请坐！教师：接下来我们一起看其他情形。（教师多媒体动画演示）【设计意图】由比课本例题稍微难一点的具体问题启发学生再思考，目的是让学生找到二项式展开式的各项及其各项的系数，对于学生的发现及时给予充分的表扬和鼓励。这个过程让学生亲身经历了从“繁杂计算之苦”到领悟“分步乘法原理与组合数的简洁美”，这也是一个内化的过程。（点评：教师动画演示，加深学生对展开式来龙去脉的理解，为合作探究作铺垫。）预设：若学生还是观察不出其规律，采取如下方式。可以为归纳二项式定理的通项公式作铺垫。说明：教师分析展开式每一项特征，并师生共同归纳出其表达式；，由学生独立思考并展示。3.合作探究，总结规律教师：接下来我们要牛顿一样的思考！问题：一般情形下，当时，等于多少？【说明】将学生分成9组，每组7人，2人负责展开式书写并证明；2人负责归纳展开式的特征；3人负责展开式的记录、展示。目的是这样分层提高了学生学习的积极性。学生小组讨论，归纳并总结。时间是8分钟。【多媒体展示】共有项；二项式系数：、、、．．．、、．．．、；通项：注意区分项，项的系数，二项式系数这三个概念。【设计意图】通过小组合作学习，加强师生、生生之间的交流。充分体现教师主导学生主体地位，学生深层次的参考与到课堂学习，成为课堂的主人，加深对所得结论的理解，培养学生自主、合作、交流的能力；让学生在探索过程中，充分感受到成功的情感体验，做到吕传汉教授提出的“教思考、教体验、教表达”。【问题】各二项式系数之和是多少？即【教师点拨】（1）将二项式定理左边、都赋值为1，得；（2）二项式定理给出了一个恒等式，即对两项、的一切取值都成立，因此对其特殊值也成立，赋值法是解决与二项展开式系数有关问题的重要手段。在二项式定理中令，那么二项式定理变成一个关于的函数。所有各项系数和就是。【设计意图】适当拔高，给学生提供思考的空间，好的数学问题能点燃学生的激情，好奇心总能激发学生有效参与课堂学习。4.典型例题分析例1：.【要求】学生4分钟自主完成，然后教师投影展示部分学生成果；预设：学生可能出现的两种解法：方法一：直接展开；方法二：先化简后展开。重点强调方法二，先通分化简，再运用二项式定理展开，降低计算难度。【追问】例题中的第二项，第二项系数，第二项的二项式系数分别是多少？……（点评：方法的优化有助于解决问题的“精、准、简”，不断的追问强化了学生对容易混淆知识点理解）5.强化训练，巩固提升A组基础题（1）求的展开式；（2）求的展开式的第4项的系数；（3）求的展开式中的系数；（4）求的展开式的第四项的二项式系数；【设计意图】设置题目由浅入深，面向全体学生，巩固新知，把课本例题2安排在训练题组中。B组提升题（1）若的展开式中的系数是，则．（2）求的展开式中含x4项的系数为.【设计意图】设置问题在学生最近发展区，跳一跳，够得着。知识的灵活运用，对所学新知识点有效提升。三、归纳总结（1）通过本节课的学习，你学到了哪些知识？（2）你掌握了哪些学习数学方法？【设计意图】师生共同就上述问题进行讨论、交流、总结，让学生充分发表自己的意见。学生自己总结，对知识点进行梳理，加深理解。四、作业布置习题组第2题（2）；第4题（2）（3）；第5题。五、教学反思1、教学设计中，设置了“创设问题情境，因疑惑而激趣—亲身体验，探索新知—合作探究，总结规律—典型例题分析—强化训练，巩固提升”五个环节层层深入，环环相扣，充分体现师学、生生的交流互动，在教师主导下，学生通过动手、动眼、动脑，经历了知识的形成和发展过程。2、以“问题”为红线，促进学生深层次参与课堂学习。本节课在精心设置问题驱动下，学生对知识和方法的探究由表及里，逐步深入。以“问题”为主线组织教学活动，引导学生提出问题并解决问题是教学成败的关键。教学实验表明，学生能否提出问题不仅受其数学基础、生活经历等的影响。本节课由简单的两个问题，开始，接着在，，乃至的困惑下，激发学生去思考新的方法解决这个新问题。问题①展开式中各种类型的项是如何得到的？②展开式中各项的系数是如何确定的？引领学生直至解决问题的核心。在教学各个环节中以问题为主