高等数学第八章D8-4曲面方程

四、二次曲面第四节一、曲面方程的概念二、旋转曲面

三、柱面机动目录上页下页返回结束曲面及其方程

第八章一、曲面方程的概念机动目录上页下页返回结束

在平面几何中，平面曲线看作平面上动点的几何轨迹.在空间解析几何中，空间曲面可以看成是空间中动点的几何轨迹.水桶的表面、台灯的罩子面等．曲面的实例：定义1.如果曲面

S

与方程

F(x,y,z)=0有下述关系:(1)曲面

S上的任意点的坐标都满足此方程;则F(x,y,z)=0

叫做曲面

S

的方程,曲面S叫做方程F(x,y,z)=0的图形.两个基本问题:(1)已知一曲面作为点的几何轨迹时,(2)不在曲面S上的点的坐标不满足此方程,求曲面方程.(2)已知方程时,研究它所表示的几何形状(必要时需作图).机动目录上页下页返回结束故所求方程为例1.

求动点到定点方程.特别,当M0在原点时,球面方程为解:

设轨迹上动点为即依题意距离为

R

的轨迹表示上(下)球面.机动目录上页下页返回结束例2.

研究方程解:

配方得此方程表示:说明:如下形式的三元二次方程

(A≠0)都可通过配方研究它的图形.其图形可能是的曲面.表示怎样半径为的球面.球心为一个球面机动目录上页下页返回结束定义2.一条平面曲线二、旋转曲面

绕其平面上一条定直线旋转一周所形成的曲面叫做旋转曲面.该定直线称为旋转轴.这条平面曲线称为旋转曲面的母线。例如:机动目录上页下页返回结束如何建立yoz面上曲线C

绕

z

轴旋转所成曲面的方程？故旋转曲面方程为当绕

z轴旋转时,若点给定yoz

面上曲线

C:则有则有该点转到机动目录上页下页返回结束旋转曲面的方程构成？思考：当曲线C绕y轴旋转时，方程如何？机动目录上页下页返回结束

类似,xoy面上的曲线f(x,y)=0绕x轴旋转所得到的旋转曲面方程为：例3.试建立顶点在原点,旋转轴为z轴,半顶角为的圆锥面方程.解:在yoz面上直线L的方程为绕z

轴旋转时,圆锥面的方程为两边平方机动目录上页下页返回结束上式表示的曲面称为圆锥面，点o称为圆锥的顶点.例4.

求坐标面xoz

上的双曲线分别绕

x轴和

z

轴旋转一周所生成的旋转曲面方程.解:绕

x

轴旋转绕

z

轴旋转旋转单叶双曲面.所成曲面方程为所成曲面方程为机动目录上页下页返回结束旋转双叶双曲面旋转椭球面旋转抛物面P24第7题三、柱面引例.

分析方程在空间表示怎样的曲面？的坐标也满足方程解:在xoy面上，表示圆C,沿曲线C平行于

z轴的一切直线所形成的曲面称为圆故在空间过此点作柱面.对任意

z,平行

z

轴的直线

l,表示圆柱面在圆C上任取一点其上所有点的坐标都满足此方程,机动目录上页下页返回结束定义3.平行定直线并沿定曲线C

移动的直线l形成的轨迹叫做柱面.表示抛物柱面,母线平行于

z

轴;准线为xoy

面上的抛物线.

z

轴的椭圆柱面.z

轴的平面.表示母线平行于(且z

轴在平面上)表示母线平行于C

叫做准线,l

叫做母线.机动目录上页下页返回结束双曲柱面一般地,在三维空间柱面,柱面,平行于x

轴;平行于

y

轴;平行于

z

轴;准线

xoz

面上的曲线l3.母线柱面,准线

xoy

面上的曲线l1.母线准线

yoz面上的曲线l2.母线机动目录上页下页返回结束作业习题8-42，4，8(1,4)

四、二次曲面

空间直角坐标系中的空间曲面用方程F(x,y,z)=0表示.若方程F(x,y,z)=0中的x、y、z是一次(或某些项为零)的，则表示的曲面为平面，也称平面为一次曲面.若方程F(x,y,z)=0中的x、y、z是二次(或某些项为一次、零次)的，即方程F(x,y,z)=0为三元二次方程，则表示的曲面称为二次曲面.即：三元一次方程A

x+By+Cz+D=0

所表示的平面被称为一次曲面．其基本类型有:椭球面、抛物面、双曲面、锥面了解空间曲面形状的两种常用方法：（1）截痕法

用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后加以综合，从而了解曲面的全貌．（2）伸缩变形法：1.椭球面(1)范围：(2)与坐标面的交线：椭圆机动目录上页下页返回结束与的交线为椭圆：(4)当a＝b

时为旋转椭球面;同样的截痕及也为椭圆.当a＝b＝c

时为球面.(3)截痕:为正数)机动目录上页下页返回结束可视为：由xoz面上的抛物线：绕z轴旋转一周而得的旋转抛物面。问：用平面：z=h(h>0),y=h,x=h去截曲面，得到的截痕是什么？2.抛物面(1)椭圆抛物面(p,q

同号)特别，当p=q时,方程变为(2)双曲抛物面（鞍形曲面）(p,q同号)当z=h>0时，截线是双曲线当z=h=0时，截线是xoy平面上的两条相交于原点的直线;当z=h<0时，截线是双曲线，但实轴平行于x轴，虚轴平行于y轴.当x=h=0时，截线是yOz平面上的顶点为原点的抛物线当y=h=0时，截线是xOz平面上的顶点为原点的抛物线，且开口向下.

3.双曲面(1)单叶双曲面

(2)双叶双曲面4.椭圆锥面椭圆在平面x＝0或y＝0上的截痕为过原点的两直线.可以证明,椭圆①上任一点与原点的连线均在曲面上.①(椭圆锥面也可由圆锥面经x

或y方向的伸缩变换得到)机动目录上页下页返回结束内容小结1.

空间曲面三元方程

球面

旋转曲面如,曲线绕z

轴的旋转曲面:

柱面如,曲面表示母线平行z

轴的柱面.又如,椭圆柱面,双曲柱面,抛物柱面等.机动目录上页下页返回结束2.二次曲面三元二次方程

椭球面

抛物面:椭圆抛物面双曲抛物面

双曲面:单叶双曲面双叶双曲面

椭圆锥面:机动目录上页下页返回结束斜率为1的直线平