第一节图的基本概念

第八章图论与网络分析

（GraphTheoryandNetworkAnalysis）图与网络的基本知识中国邮路问题最短路问题最大流问题本章主要内容：§8.1图与网络分析

一、

问题提出

1.哥尼斯堡七桥问题问题：一个散步者能否从任一块陆地出发，走过七座桥，且每座桥只走过一次，最后回到出发点？BDACABCD••••结论：不能。每个结点关联的边数要均为偶数。一笔画问题2.环球旅行问题：3.中国邮路问题（解）二.图与网络的基本概念

如：

铁路交通图，球队比赛图等等。

图论中图是由点和边构成，反映对象之间的关系。

点:表示研究对象.

连线（边）：表示两个对象之间的某种特定关系。

一般情况下图中点的相对位置如何、点与点之间联线的长短曲直，对于反映对象之间的关系并不是重要的。(v1)赵(v2)钱孙(v3)李(v4)周(v5)吴(v6)陈(v7)e2e1e3e4e5(v1)赵(v2)钱(v3)孙(v4)李(v5)周(v6)吴(v7)陈e2e1e3e4e5可见图论中的图与几何图、工程图是不一样的。例如：在一个人群中，对相互认识这个关系我们可以用图来表示。※图G区别于几何学中的图。这里只关心图中有多少个点以及哪些点之间有连线。 若用点表示研究的对象，用边表示这些对象之间的联系，则图G可以定义为点(顶点)和边的集合，记作：其中:V——点集E——边集图中的点用v表示，边用e表示。对每条边可用它所连接的点表示，

记作：e=[v1,v2]··v1v2ev3e7e4e8e5e6e1e2e3v1v2v4v5

端点,关联边,相邻若有边e可表示为e=[vi,vj]，称vi和vj是边e的端点，反之称边e为点vi或vj的关联边。若点vi、vj与同一条边关联，称点vi和vj相邻；若边ei和ej具有公共的端点，称边ei和ej相邻。如图：V={v1,v2,v3,v4,v5}，E={e1,e2,e3,e4,e5,e6,e7,e8}，边数：m(G)=|E|=m顶点数：n(G)=|V|=ne1=[v1,v1];e2=[v1,v2];无向边与无向图：若图中任一条边的端点无序，即(vi,vj)与(vj,vi)是同一条边，则称它为无向边，此时图称为无向图。有向图：若图中边(vi,vj)的端点是有序的，则称它是有向边（或弧），vi与vj分别称为这条有向边的始点和终点，相应的图称为有向图。有向图无向图无向图,有向图边：不带箭头的联线，表示对称关系。弧：带箭头的联线，表示不对称关系。

有向图：由点和弧组成。一般表示为：

D=（V，A）

V--点集合A--弧集合

点数:p(G)或p(D)；

边数:q(G)；弧数:q(D)

环,多重边,简单图如果边e的两个端点相重，称该边为环。如右图中边e1为环。如果两个点之间多于一条，称为多重边，如右图中的e4和e5，对无环、无多重边的图称作简单图。无环但含多重边的图称为多重图。v3e7e4e8e5e6e1e2e3v1v2v4v5简单图多重图环多重边

完全图每一对顶点间都有边相连的无向简单图称为无向完全图；有向完全图是指每一对顶点间有且仅有一条有向边的简单图。完全图顶点数n与边数m间成立如下关系:m=n(n-1)/2

二部图（偶图）图G=(V,E)的点集V可以分为两各非空子集X，Y，集X∪Y=V,X∩Y=Ø,使得同一集合中任意两个顶点均不相邻，称这样的图为二部图（偶图）。v1v3v5v2v4v6v1v2v3v4v1v4v2v3(a)(b)(c)(a)明显为二部图，(b)也是二部图，但不明显，改画为(c)时可以清楚看出。

次，奇点，偶点，孤立点与某一个点vi相关联的边的数目称为点vi的次（也叫做度），记作d(vi)。右图中d(v1)＝４,d(v3)=5,d(v5)=1。次为奇数的点称作奇点，次为偶数的点称作偶点，次为1的点称为悬挂点，次为0的点称作孤立点。v3e7e4e8e5e6e1e2e3v1v2v4v5图的次:

一个图的次等于各点的次之和。v2v1v5v3v4e2e1e3e4e5e6d(v1)=4d(v2)=3悬挂点孤立点悬挂边偶点奇点

在有向图中，以顶点v为始点的边数称为顶点v的出次，记为d+(v)；以v为终点的边数称为v的入次，记为d-(v)。顶点v的出次与入次的和称为点v的次。

图G=(V,E),若E'是E的子集，若V'是V的子集，且E'中的边仅与V'中的顶点相关联，则称G'=(V',E')为图G的一个子图，特别地，若V'=V,则称G'为G的一个生成子图（支撑子图）。

子图，生成子图(支撑子图)图G1={V1、E1}和图G2={V2，E2}如果有称G1是G2的一个子图。若有，则称G1是G2的一个生成子图(支撑子图)。v3e7e4e8e5e6e1e2e3v1v2v4v5v3e4e8e5e6v2v4v5v3e7e4e8e6e2e3v1v2v4v5(a)(b)（G图）

网络（赋权图）设图G＝（V，E），对G的每一条边(vi,vj)相应赋予数量指标wij，wij称为边(vi,vj)的权,赋予权的图G称为网络(或赋权图）。权可以代表距离、费用、通过能力(容量)等等。端点无序的赋权图称为无向网络，端点有序的赋权图称为有向网络。①②③④⑤⑥910201571419256

链，圈，连通图

无向图中一个点、边交错的序列，序列中的第一个和最后一个元素都是点，若其中每条边以序列中位于它之前和之后的点为端点，则称这个点边序列为图中连接其第一个点与最后一个点的称为链。链中所含的边数称为链长。链，但只是简单链而非初等链简单链：没有重复边；初等链：既无重复边也无重复点。对有向图可类似定义链，如果各边方向一致，则称为道路。

链，圈，连通图

若在无向图中，一条链的第一个点与最后一个点重合，则称这条链为圈。只有重复点而无重复边的圈为简单圈，既无重复点又无重复边的圈为初等圈。初等圈非简单的圈有向图无向图道路链（或道路）回路圈（或回路）道路(边的方向一致)

连通图

一个图中任意两点间至少有一条链相连，则称此图为连通图。任何一个不连通图总可以分为若干个连通子图，每一个称为原图的一个分图（连通分支）。连通图非连通图三、图的基本性质及矩阵表示：定理8.1任何图中，顶点次数之和等于所有边数的2倍。定理8.2任何图中，次为奇数的顶点必为偶数个。证明：由于每条边必与两个顶点关联，在计算点的次时，每条边均被计算了两次，所以顶点次数的总和等于边数的2倍。证明：设V1和V2分别为图G中奇点与偶点的集合。由定理1可得：2q为偶数，且偶点的次之和也为偶数，所以必为偶数，即奇数点的个数必为偶数。图的矩阵表示：如何在计算机中存储一个图呢？现在已有很多存储的方法，但最基本的方法就是采用矩阵来表示一个图，图的矩阵表示也根据所关心的问题不同而有：邻接矩阵、关联矩阵、权矩阵等。1.邻接矩阵 对于图G=（V，E），|V|=n，|E|=m，有nn阶方矩阵A=(aij)nn，其中v5v1v2v3v4v64332256437例8.1下图所表示的图可以构造邻接矩阵A如下对于赋权图G=(V,E),其中边有权,构造矩阵B=(bij)nn(权矩阵）其中：2.关联矩阵对于图G=(V,E),|V|=n,|E|=m,有mn阶矩阵M=(mij)mn，其中:3.权矩阵101000000000110010000000010001110000000000001001001111000000000000001100000000000111000100110000v1v2v3v4v5v6v7v8e1e2e3e4e5e6e7e8e9e10e11e12v1v2v3v5v8v7e1e2e3e4e6e5e7e9e12e10e11e8v6v4例8.2下图所表示的图可以构造关联矩阵M如下:M=（mij）=v5v1v2v3v4v64332256437例8.3下图所表示的图可以构造权矩阵B如下:四、欧拉回路、欧拉图

连通图G中，若存在一条道路，经过每边一次且仅一次，则称这条道路为欧拉道路。若存在一条回路经过每边一次也仅一次，则称这条回路为欧拉回路。具有欧拉回路的图称为欧拉图（E图）。定理8.3无向连通图G是欧拉图，当且仅当G中无奇点现在我们可以来回答本节一开始提出的哥尼斯堡七桥问题了！推论1无向连通图G为欧拉图，当且仅当G的边集可以划分为若干个初等回路。推论2无向连通图G中有欧拉道路，当且仅当G中恰好有两个奇点。这样，解决了一笔画问题：（1）经每边一次且仅一次到另一点停止；

（即图中有无欧拉道路问题）（2）经每边一次且仅一次又回到原出发点。

（即图中有无欧拉回路问题）五、中国邮路问题一个邮递员，负责某一地区的信件投递，他每天要走邮局出发，走遍该地区所有街道，再返回邮局，问应如何安排送信的路线可以使所走的总路程最短？用图论的语言描述就是：给定一个连通图G，每边有非负权l(e)，要求一条回路过每边至少一次，且满足总权最小。中国邮路问题解法(1)若G是欧拉图，则按欧拉回路走，就是满足要求的经过每边至少一次且总权最小的走法。abcdef(2)若G中有奇点，则G不是欧拉图，因此要连续地走过每边至少一次，则必然有某些边不止一次走过。这相当于在G中添加一些重复的边，使得到的新图G*没有奇点且满足总路程最短。abcdefabcdef对增加了重复边后得到的新图G*，很明显其总权的大小取决于增加的重复边权的大小。因此中国邮路问题转化为如下问题：在连通图G=(V,E)中，求一个边的集合E1E，将E1中所有边都变成重复边得到新图G*，使得G*中无奇点，且最小上述问题的解决依赖于以下结果：定理8.4已知图G*=G+E1无奇点，则最小的充分必要条件为：（1）每条边最多重复一次；（2）对图G中的每个初等圈来说，重复边的长度不超过圈长的一半。下面直观地说明，若定理5的条件不成立，则可以得到总权比E1的更小的重复边集。122254122254重复两次或以上的去掉其中两条将原来