第1章-信号与系统

第1章信号与系统

1.1信号1.2系统1.3信号与系统分析概述

1.1信号

1.1.1信号的分类信号的分类方法很多，可以从不同的角度对信号进行分类。在信号与系统分析中，我们常以信号所具有的时间函数特性来加以分类。这样，信号可以分为确定信号与随机信号(如图1.1所示)、连续时间信号与离散时间信号、周期信号与非周期信号、能量信号与功率信号、实信号与复信号等。1.确定信号与随机信号确定信号是指能够以确定的时间函数表示的信号，在其定义域内任意时刻都有确定的函数值。例如电路中的正弦信号和各种形状的周期信号等。图1.1确定信号与随机信号波形2.连续时间信号与离散时间信号连续时间信号是指在信号的定义域内，任意时刻都有确定的函数值的信号，通常用f(t)表示。连续时间信号最明显的特点是自变量t在其定义域上除有限个间断点外，其余是连续可变的。例如，正弦信号为连续时间信号。图1.2连续时间信号波形与离散时间信号波形3.周期信号与非周期信号周期信号是每隔一个固定的时间间隔重复变化的信号。连续周期信号与离散周期信号的数学表示分别为f(t)=f(t+nT),n=±1,±2,±3,…,-∞<t<∞(1―1)f=f(k+nN),n=±1,±2,±3,…,-∞<k<∞,(k取整数)(1―2)4.能量信号与功率信号如果把信号f(t)看作是随时间变化的电压和电流，则当信号f(t)通过1Ω电阻时，信号在时间间隔-Ｔ≤t≤T内所消耗的能量称为归一化能量，即为而在上述时间间隔-Ｔ≤t≤T内的平均功率称为归一化功率，即为(1―3)(1―4)如图１.３(a)所示的脉冲信号；持续时间无限而幅度有限的非周期信号为功率信号，如图１.３(b)所示；持续时间无限，幅度也无限的非周期信号为非功率、非能量信号，如图１.３(c)所示的单位斜坡信号t·u(t)。图1.3三种非周期信号当然，上述定义式(1―3)、(1―4)是连续时间信号f(t)的归一化能量Ｗ和归一化功率Ｐ的定义，对于离散时间信号f［k］，其归一化能量Ｗ与归一化功率Ｐ的定义分别为(1―5)(1―6)5.实信号与复信号实信号——f(t)=f*(t)，它是一个实函数。f*(t)为f(t)的共轭函数。复信号——f(t)≠f*(t)，它是一个复函数，即f(t)=f1(t)+jf2(t)(1―7)式中f1(t)与f2(t)均为实函数。实际信号一般都是实信号，但是为了简化运算，常常引用复信号并以其实部或虚部表示实际信号。例如，常用复指数信号ejωt=cosωt+jsinωt表示余弦、正弦信号；常用e(-σt+jωt)=e-σtcosωt+je-σtsinωt表示幅度衰减的余弦、正弦振荡信号等等。1.1.2信号的基本运算与波形变换1.加法运算任一瞬间的和信号值y(t)或y［k］等于同一瞬间相加信号瞬时值的和。即y(t)=f1(t)+f2(t)(1―8)或y［k］=f1［k］+f2［k］(1―9)2.乘法运算任一瞬时的乘积信号值y(t)或y［k］等于同一瞬时相乘信号瞬时值的积。即y(t)=f1(t)·f2(t)(1―10)y［k］=f1［k］·f2［k］(1―11)3.数乘(标乘)信号f1(t)或f1［k］和一个常数a相乘的积。即y(t)=a·f1(t)(1―12)y［k］=a·f1［k］(1―13)4.微分信号的微分是指信号对时间的导数。可表示为(1―14)5.积分信号的积分是指信号在区间(-∞，t)上的积分。可表示为(1―15)图１.５是信号积分的一个例子。图1.4信号的微分图1.5信号的积分6.反转以变量－t代替f(t)中的独立自变量t，可得反转信号f(-t)。它是f(t)以纵轴(t=0)为转轴作180°反转而得到的信号波形，如图１.６所示。图1.7离散时间信号及反转波形图1.6连续时间信号及反转波形7.平移以变量t-t0代替信号f(t)中的独立变量t，得信号f(t-t0)，它是信号f(t)沿时间轴平移t0的波形。这里f(t)与f(t-t0)的波形形状完全一样,只是在位置上移动了t0(t0为一实常数)。t0>0，f(t)右移；t0<0，f(t)左移；平移距离为|t0|。图１.８表示连续时间信号的平移。这类信号在雷达、声纳和地震信号处理中经常遇到。利用位移信号f(t-t0)和原信号f(t)在时间上的迟延，可以探测目标和震源的距离。

图1.8连续时间信号的平移8.展缩(尺度变换)以变量at代替f(t)中的独立变量t可得f(at)，它是f(t)沿时间轴展缩(尺度变换)而成的一个新的信号函数或波形。信号f(at)中，a为常数,|a|>1时表示f(t)沿时间轴压缩成原来的1/|a|倍；|a|<1时表示f(t)沿时间轴扩展为原来的1/|a|倍。例如，图１.９之(a)、(b)、(c)分别表示f(t)、f(2t)、f(t/2)的波形。图1.9f(t)、f(2t)、f(t/2)的波形9.综合变换以变量at+b代替f(t)中的独立变量t，可得一新的信号函数f(at+b)。当a>０时，它是f(t)沿时间轴展缩、平移后的信号波形；当a<０时，它是f(t)沿时间轴展缩平移和反转后的信号波形，下面举例说明其变换过程。例１―１已知信号f(t)的波形如图１.１０(a)所示，试画出信号f(-2-t)的波形。解f(t)→f(-2-t)=f(-(t+2))可分解为

f(t)——f(-(t))——f(-(t+2))t→-tt→t+2反转平移图1.10信号的反转、平移图1.11信号的反转、展缩与平移例１―３已知信号f(2t+2)的波形如图１.１２(a)所示，试画出信号f(4-2t)的波形。解f(2t+2)→f(4-2t)，则对应有t1=0,t2=4,m=2,n=2,a=-2,b=4利用上述关系式计算出t11与t22：t11=-1/2(2×0+2-4)=1t22=-1/2(2×4+2-4)=-3

图1.12信号综合变换通过以上分析，可以归纳出普通信号基本变换的一般步骤：(1)若信号f(t)→f(at+b)，则先反转，后展缩，再平移；(２)若信号f(mt+n)→f(t)，则先平移，后展缩，再反转；(３)若信号f(mt+n)→f(at+b)，则先实现f(mt+n)→f(t)，再进行f(t)→f(at+b)。例１―４试粗略地画出下列信号的波形图：(1)f1(t)=(2-3e-t)·u(t)；(2)f2(t)=(5e-t-5e-3t)·u(t)；(3)f3(t)=e-|t|(-∞<t<∞)；(4)f4(t)=cosπ(t-1)·u(t+1)；(5)f5(t)=sinπ/2(1-t)·u(t-1)；(6)f6(t)=e-tcos10πt(u(t-1)-u(t-2))；(7)f7(t)=1-|t|/2(u(t+2)-u(t-2))；(8)f8(t)=u(t2-1)。解描绘信号波形是本课程的一项基本训练。在绘图时应注意信号的基本特征、变化趋势、起始和终点位置，并应标出信号的初值、终值以及一些关键的点及线，如极大值、极小值、渐近线等。图1.13例1―4图

1.2系统

为了说明系统的基本概念，我们分析如图１.１4(a)所示的ＲＣ一阶动态电路。图中电容Ｃ具有初始电压ＵO，开关Ｋ在ｔ＝０时刻闭合，且有ＵS>UO，使电容充电。图1.14RC电路与电容电压由一阶动态电路知识可知，若以电容电压ＵC(t)为变量，该电路的动态方程式为其全解为图１.１5单输入单输出系统方框图整个系统可用图1.１5所示的方框图表示。其中ψ表示系统的功能作用，它取决于系统的内部结构与元件参数。系统的输出响应y(t)是系统的初始状态y(0)与输入激励f(t)的函数，即y(t)=ψ［y(0),f(t)］,t≥0(1―16)当系统的输入激励有多个，系统的初始状态也有多个时，系统响应y(t)是这多个输入激励与多个初始状态的函数，即y(t)=ψ［x1(0),x2(0)，…,f1(t),f2(t),…］(1―17)1.2.1系统的分类

系统可按多种方法进行分类。不同类型的系统其系统分析的过程是一样的，但系统的数学模型不同，因而其分析方法也就不同。1.连续时间系统与离散时间系统系统的输入和输出是连续时间变量t的函数，叫作连续时间系统。输入用f(t)表示,输出用y(t)表示。2.线性系统与非线性系统线性系统是指具有线性特性的系统，线性特性包括均匀性与叠加性。线性系统的数学模型是线性微分方程和线性差分方程。系统具有叠加性是指当若干个输入激励同时作用于系统时，系统的输出响应是每个输入激励单独作用时(此时其余输入激励为零)相应输出响应的叠加，系统的均匀性和叠加性可表示如下：(1―18)叠加性：若f1(t)→y1(t),f2(t)→y2(t)则f1(t)+f2(t)→y1(t)+y2(t)(1―19)线性特性要求系统同时具有均匀性和叠加性。线性特性可表示为若f1(t)→y1(t),f2(t)→y2(t)则a·f1(t)+b·f2(t)→a·y1(t)+b·y2(t)(1―20)式中a、b为任意常数，上式如图1.１6所示。图1.１6系统的线性特性示意图系统的零输入响应yx(t)绝对不应与f(t)有关，而系统的零状态响应yf(t)也不应与初始状态有关。于是，当线性系统既存在外部输入激励同时又具有初始状态时，系统的输出响应必定是零输入响应与零状态响应的叠加，称之为完全响应，以y(t)表示，即有y(t)=yx(t)+yf(t)(1―21)同理，对于具有线性特性的离散时间系统，应有以下表达式若f1［k］→y1［k］,f2［k］→y2［k］

则a·f1［k］+b·f2［k］→a·y1［k］+b·y2［k］(1―22)式中a、b为任意常数。同样，系统的完全响应可表示为y［k］=yx［k］+yf［k］(1―23)例１―５判断下列输出响应所对应的系统是否为线性系统(其中y(0)为系统的初始状态，f(t)为系统的输入激励，y(t)为系统的输出响应)。(1)y(t)=5y(0)+4f(t)；(2)y(t)=2y(0)+6f2(t)；(3)y(t)=4y(0)f(t)+3f(t)；(4)y(t)=2t2y(0)+7(5)y(t)=4y(0)+4t(6)y(t)=6y2(0)+4f(t)(7)y(t)=4y(0)+3f(t)+2(8)y(t)=4y(0)+3y2(0)+6f(t)+t2例１―６某线性离散系统的初始状态为

若初始状态不变，激励为-f［k］时，响应为例１―７已知某线性系统，当其初始状态y(0)=2时，系统的零输入响应yx(t)=6e-4t，t>0。而在初始状态y(0)=8以及输入激励f(t)共同作用下产生的系统完全响应y(t)=3e-4t+5e-t，t>0。试求：(１)系统的零状态响应yf(t)；(２)系统在初始状态y(0)=1以及输入激励为3f(t)共同作用下系统的完全响应。解(1)由于y(0)=2时yx(t)=6e-4t(t>0)，故有y(0)=8时yx(t)=24e-4t(t>0)。因此yf(t)=y(t)-yx(t)=3e-4t+5e-t-24e-4t=5e-t-21e-4t(t>0)(2)同理，当y(0)=1,3f(t)作用下，有y(t)=1/2(6e-4t)+3(5e-t-21e-4t)=15e-t-60e-4t(t>0)3.非时变系统与时变系统一个系统，如果在零状态条件下，其输出的响应与输入激励的关系不随输入激励作用于系统的时间起点而改变时，就称为非时变系统。否则，就称为时变系统。非时变系统的特性沿时间轴是均匀的，当输入激励延时一段时间作用于系统时，其零状态响应也延时同样的一段时间，且保持输出的波形不变。这就是非时变特性，可表示为若f(t)→yf(t)则f(t-t0)→yf(t-t0)同理，对于非时变离散时间系统，可表示为若f［k］→yf［k］则f［k-n］→yf［k-n］式中，n为任意整数。图1.１7非时变系统示意图例１―８试判断下列系统是否为非时变系统：(1)y(t)=sin(f(t))；(2)y(t)=cost·f(t)；(3)y(t)=4f2(t)+3f(t)；(4)y(t)=2t·f(t)。解判断一个系统是否为非时变系统，只需判断当输入激励f(t)变为f(t-t0)时，相应的输出响应是否也由y(t)变为y(t-t0)。因为只涉及系统的零状态响应，所以无需考虑系统的初始状态。4.记忆系统与即时系统如果系统在任意时刻的响应仅决定于该时刻的激励，而与它过去的历史无关，则称之为即时系统(或无记忆系统)。全部由无记忆元件(如电阻)组成的系统是即时系统。即时系统可用代数方程来描述。如果系统在任意时刻的响应不仅与该时刻的激励有关，而且与它过去的历史有关，则称之为记忆系统(或动态系统)。含有动态元件(如电容、电感)的系统是记忆系统，记忆系统可用微分方程来描述。5.集总参数系统与分布参数系统集总参数系统仅由集总参数元件(如Ｒ、Ｌ、Ｃ等)所组成。对于集总参数系统，人们认为系统的电能仅储存在电容中，磁能仅储存在电感中，而电阻是消耗能量的元件，同时还认为，在这样的系统中电磁能量的传输不需要时间，作用于系统任何处的激励，能立即传输到系统各处。6.因果系统与非因果系统因果系统是指当且仅当输入信号激励系统时才产生输出响应的系统。这就是说，因果系统的输出响应不会出现在输入信号激励之前。反之，不具有因果特性的系统称为非因果系统。一般地说，一个常系数线性微分方程式或差分方程式描述的系统，如果当t>0时输入信号为零，而此时的零状态响应也为零。1.2.2系统模拟与相似系统连续系统的模拟通常由三种功能部件组成：积分器、相加器和数乘器，它们的时域表示符号如图1.18所示。图1.18连续时间系统的模拟器件例１―９试用积分器、相加器和数乘器模拟二阶线性微分方程y″(t)+a1y′(t)+a0y(t)=f(t)所描述的系统。解因为y″(t)=-a1y′(t)-a0y(t)+f(t)，所以，需一个相加器、两个积分器和两个数乘器组成该系统的模拟装置，如图1.１9所示。图1.19例１―９的模拟图例１―１０试模拟y″(t)+a1y′(t)+a0y(t)=b1f′(t)+b0f(t)所描述的系统。解因为本例激励部分中比上例多了一项b1f′(t)。我们在上例的基础上作出该系统的模拟图。设新变量q(t)，它满足方程q″(t)+