小学奥数 数论 余数问题 同余问题.题库版

5-5-3.问教学目学习同余的性质利用整除性质判别余数知识点同余定理定：两个整数b被然数m除相同的数么对于模m同用式子表为ab(modm)，边的式子叫做同余式。同余式读作a同于，模。重性及论（1）若两个数，b除同一个m得的余数相同，则，差一定能被整例如与1除以的余数都是2，所被整．（2）用式子表示为：如果有≡b(mod)，那么一定有－b,k是数，即m|(a)、数别当一个数不能被另一个数整除时，虽然可以用长除法去求得余数，但当被除位数较多时，计算很麻烦的．建立余数判别法的基本思想是：为了求被除余数，们希望找到一个较简单的数R，使得N与对于除数同余．由于R是个较简单的，所以可以通过计算被m除的余数来求得被m除余数．整数N被2或5除的余数等于N个位数被2或除的余数；整数N被4或除的余数等于N的两位数被或25除余数；整数N被8或除余数等于的末三位数被8或除余数；5-5-3.同余问题题库

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pageof整数N被3或9除的余数等于其各位数字之和被或除余数；整数N被除余数等于N奇数位数之和与偶数位数之和的差被11除的余数够减的话先适当加11的数再减整数被7或除余数等于先将整数N从位起从右往左每三位分一节，奇数节的数之与偶数节的数之和的差被7除余数就是原数被，除余数．例题精模块一、两个数的同余问题【1】有个数除所得余都，这数【考点】两个数的同余问题【度【型】解答【解析(1)，51-3=48，147，(36,144)12的数1，为余数为要小于除数，这个数；(法由于所得的余数相同，得到这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差，也就是说它是任两数差的公约数，(12,108)所以这个数【答案】【2】某两数上3后除加上4后被4除余1加上后被除1这个位是【考点】两个数的同余问题【度【型】填空【关键词】2003年，人大附中，分班考试【解析加上被3除余1其实原数还是余1，同理这个两位数除以4、5都1这样，这个数就[、45]+1=60+1=61。【答案】61【3】有个然，345和543得余相，商差33．求个是多？【考点】两个数的同余问题【度【型】解答【解析由于这个数除和的余数相同，那么它可能整除543-345，并且得到的商33．所以所求的数为．【答案】65-5-3.同余问题题库

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pageof【4】一大的然去除164后所的个数和于个然数除220后所的数则个然是少【考点】两个数的同余问题【度【型】解答【解析这个自然数去除、164后得的两个余数的和等于这个自然数去90254后得的余数，所以和220除这个自然数后所得的余数相同，因此这个自然数是2220的数，又大于10这个自然数只能是者是34．如果这个数是34那么它去除90、220后所得的余数分别是222816不符合题目条件；如果这个数是，那么它去除、后所得的余数分别是、11，合题目条件，所以这个自然数是．【答案17【5】两自数与除以都1并a，求ab．【考点】两个数的同余问题【度【型】解答【解析】能整除即(10)7整以只能a么ab可能为92和81验算可得当时29满题目要求，【答案】2668【6】现糖粒,饼块和子个某儿大人数过40.每分一多糖果一多饼,也得样的子下糖饼和子数的是3这个班有_名朋，人得果____，干块，子个【考点】两个数的同余问题【度【型】解答【关键词】南京市，第三届，兴趣杯【解析设大班共有小朋友。由于余下的糖果、饼干和桔子的数量之比1，以余下的糖果、桔子数目的和正好等于余下的饼干数，从而254+186-210一定是的倍数，即254+186-210=230=1×230=10×23=2×5×23是的数。同样，也一定是的数所以，a只是23×2的数。但﹥所=46此时254=46×5+24，210=46×3+72，186=46×3+48故大班有小朋友46名，每人分得糖果，饼干，桔子3个【答案】小朋友名，每人分得糖果5，饼干3块桔子个模块二、三个数的同余问题【7】有个于1的数除45,59,101所得余数同求个.5-5-3.同余问题题库

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pageof【考点】三个数的同余问题【度【型】解答【解析这个题没有告诉我们，这三个数除以这个数的余数分别是多少，但是由于所得的余数相同，根据同余定理，我们可以得到：这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差，也就是说它是任意两数的公约数1015945(56,14)14的约数以这个数可能为2,7,14【答案】2,7,14【固有个数除300、262205得到相的数问个数几【考点】三个数的同余问题【度【型】填空【关键词】第一届，华杯赛，初赛，第9题【解析这个数除，得到相同的余数，所以个数整3－＝38同理，这个数整－205＝57因此，它是、57的公约数19【答案【固在13511，及时能下同数最整是．【考点】三个数的同余问题【度【型】填空【关键词】2000年，小学数学奥林匹克【解析因1390339214589686，于，，要同一个数除时，余数相同，那么，它们两两之差必能被同一个数整除(392,686)，所以所求的最大整数是98.【答案【固，225，被某于1的然除所得数相。除以个然的数

【考点】三个数的同余问题【度【型】填空【关键词】2006年，三帆中学，入学测试【解析这样我们用总结的知识点可知：任意两数的差肯定0那么这个自然数293-225=68的数又的数，因此就是、的公约,以这个自然数是17。所以2002除17余。【答案【固三数，51，72各以于1的同个然，到一余，这除是。【考点】三个数的同余问题【度

星【型】填空【关键词】2009年，希望杯，第七届，五年级，初，第4题，6分【解析】23，72，），所以这个除数是7【答案】7【8】学新来118个乓，个乒球和33个乒乓网如将三物平给个班，那这种品下数相．问校有少班5-5-3.同余问题题库

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pageof【考点】三个数的同余问题【度【型】解答【解析所求班级数是除以118,67,33余数相同的数．那么可知该数应该为1和6734的公约数，所求答案为．【答案【9】若2836，5164，6522四自数都同个然相，得数同为位，数和数和_______．【考点】三个数的同余问题【度【型】填空【关键词】2001年，小学数学奥林匹克【解析设除数为因为45825164除的余数相同以们两两之差必能被A整又因为余数是两位数以至少是两位数516445825826522，因为194，以是的大于的数194的大于的约数只有97．如果，120，数不是两位数，与题意不符．如果97，检验，余数都是23除数数120．【答案】120【】一个于1的去，235，200时得数别为，a，a，这自数是少【考点】三个数的同余问题【度【型】解答【解析根据题意可知，这个自然数去除，，195时得到相同的余数（都既然余数相同，我们可以利用余数定理，可知其中任意两数的差除以这个数肯定余0那么这个自然数是290233的数，又2的数，因此就是57和38的约因为57和的公约数只有19和，而这个数大于1，所以这个自然数是．【答案【固有个利，518，666，它分别以一自数所的数次a+7,a+10,则这个然是_【考点】三个数的同余问题【度【型】填空【关键词】2006年，清华附中，入学测试【析处理成余数相同的，则、、666-10的数相同，这样我们可以转化成同余问题。这样我们用总结的知识点可知：任意两数的差肯定余

。么这个自然数是888-656=232的约数，也是5-5-3.同余问题题库

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pageof22656-511=145的约数，因此就是232、的公约所以这个自然数是。【答案】【】一个然除、791500所的数别a、a、a，求个然和a值【考点】三个数的同余问题【度【型】解答【解析将这些数转化成被该自然数除后余数a的数：

848，1000，样这些数被这个自然数除所得的余数都2，同将这三个数相减，得4879157、1000，求的自然数一定是5752的约数，而以个自然数是9约数，显然不符合条件的，那么只能是19.经过验证，当这个自然数19时除4、791500所的余数分别为16a时立所以这个自然数1，a.【答案】6【】甲、、三分为603，，．某A甲所余是除乙所余的倍A乙所余是除数所余的倍求等于少【考点】三个数的同余问题【度【型】解答【解析根据题意，这三个数除以A都有余数，则可以带除法的形式将它表示出来：603AK

r，939K

r，

r由于rr，r2r，消去余r,23r,r我们只能先把余数处理成相同的，再两数相减．这样我们先把第二个式子乘以，使得被除3数和余数都扩大同第个式子乘以于我们可以得到下面的式子603AKrrKr这余数就处理成相同的最后两两相减消去223余数，意味着能被A除．，393603969，

51的约数有、3、，其中、显然不满足，检验和51可满足，所以A等于．【答案【】已知，154，被某然除得余分是a，a，，求该自数值【考点】三个数的同余问题【度【型】解答【解析根据题意可知，自然数，154，201被数所得余数分别是a，，．由于以自然数611同余于以619394与同余，所以除数是和9193的公约数，运用辗转相除法可得到(3567,9193)29该除数为．经检成立．【答案】【】有一自数它以1、17、所得的(＞与数＞)之都等这的最可能是少【考点】三个数的同余问题【度【型】解答【解析】5-5-3.同余问题题库

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AXAaaAbXbAXXccXc14baa至为72，AaX72

14abc63|b少为，A1763Xb

14abc56至为5619cX1956X1064c最小为．

【答案【】三个同自数和为，它分除所的相，得余也同这个是_，_______，_______。【考点】三个数的同余问题【度【型】填空【关键词】2000年，祖冲之杯【解析设所得的商为a，数为b．(19a(31a)2001，，由b，求得27，b．以，这三个数分别是1a，23a631，。【答案】，631，847模块三、运用同余进行论证【】在3×3的方表已右填了9个数将中一行同列个数上同自数称一操。：能过干操使表9个数都为同数？什？【考点】运用同余进行论证【度【型】解答【解析略【答案】因为表中9个数之和恰为100，被除余，经过每一次操作，总和加3的数所以表中9个数之和除以总余。如果表中个变为相等，那么个的总和应能被3整，这就得出矛盾！所以，无论经过多少次操作，表中的数都不会变为个相同的数。【】一个位除17和都余并除后得商与数和于除19后得的商余的．么样三数最数多，小是少？【考点】运用同余进行论证【度【型】解答【关键词】2008年，仁华学校【解析设这个三位数为s它除以17和19的分别为a和b余数分别为m和n则sa

．根据题意可知所s8b所以是的倍1数b8的倍数．此时，naa．于为三位，最小为5-5-3.同余问题题库

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pageof222，最为999，所100a999，而6以17a得558而是的倍数以最小为9大为当a54，am此时s最大1930a时，9由于，以此时s最．所以这样的三位数中最大的是，最小的是154【答案】最大的是，最小的是【】从，，，，中任个数使这个必两个的为则n的最值多？【考点】运用同余进行论证【度【型】解答【关键词】2008年，西城实验【解析被除同余序列当中，如余的余序列、1427、40、、……，中只要取到