自动控制原理第五章

第五章线性系统的频域分析法5.1引言5.2频率特性5.3典型环节和开环频率特性曲线的绘制5.4频率域稳定判据5.5稳定裕度5.6闭环系统的频域性能指标5.1引言时域法是分析和设计控制系统的直接方法，它的主要优点是：1）直观、容易理解。借助于MATLAB仿真，可以直接得到系统的时域响应曲线，以及各种时域指标。2）典型二阶系统的参数与系统性能指标的关系明确。当系统的闭环零、极点满足二阶近似条件时，可用主导极点对应的典型二阶系统的指标来近似估计高阶系统的技术指标。1.时域分析法的优缺点

但是时域法存在着一些不足之处。

1）时域分析是在典型信号的激励下进行的，而实际信号不可能是理想的典型信号，往往包含着一些不希望的成分，比如高频干扰信号。时域分析没有描述系统对高频干扰信号的抑制能力。

2）系统的时域设计是通过增加开环零、极点来重新配置系统的闭环主导极点，这对于串联校正是方便的，但对于其他校正方法就不那么方便，比如反馈校正（第六章将会看到）。

3）时域分析和设计需要精确的根轨迹图，在没有MATLAB之前，精确的根轨迹绘制并不是一件容易的事，而概略图只能用于定性分析，而不能用于定量分析。因此，精确根轨迹的绘制困难大大影响了系统的设计效率。4）时域法中稳定裕量用距虚轴最近的闭环极点离虚轴的距离来表示，这种表示只能说明稳定性，不包含系统动态特性的任何信息。5）延迟系统的开环传递函数包含延迟环节，其闭环特征方程是超越方程，不能用劳斯判据判断稳定性，也不能用MATLAB绘制根轨迹，系统分析很困难。6）对于高阶系统，如果不能用二阶近似分析，则没有任何参数可以反映系统的动态性能，在这种情况下，设计高阶系统没有依据，只能反复试探、调整。

频域法是一种工程上广为采用的分析和综合系统的间接方法。频域分析法是一种图解分析法。它依据系统的又一种数学模型——频率特性，对系统的性能，如稳定性、快速性和准确性进行分析。

频域法很好地弥补了时域法的不足，并且因其使用方便、适用范围广且数学模型容易获得而得到了广泛的应用。

频域分析法是二十世纪三十年代发展起来的研究自动控制系统的一种经典工程实用方法。是一种利用频率特性进行控制系统分析的图解方法，可方便地用于控制工程中的系统分析与设计。2.频域分析法研究的意义

频域性能指标与时域性能指标之间有着内在的联系，通过这种内在联系，可以由系统的频域性能指标求出时域性能指标或反之。因此，频域分析法与时域分析法和根轨迹法是统一的。频域分析法的优点(1)不必求解系统的特征根，采用较为简单的图解法就可研究系统的稳定性。由于频率响应法主要通过开环频率特性的图形对系统进行分析，因而形象直观且计算量少。(2)系统的频率特性可用实验方法测出。频率特性有明确的物理意义，它可以用实验方法来测定，这对于难以列写微分方程式的元件或系统来说，具有重要的实际意义。(3)频域分析法不仅适用于线性定常系统的分析研究，还可以推广应用于某些非线性控制系统。(4)便于系统分析和校正。根据系统的频率性能间接地揭示系统的动态特性和稳态特性，可以简单迅速地判断某些环节或参数对系统性能的影响，便于分析和校正。5.2频率特性一、频率特性的基本概念RCui(t)uo(t)+-+-i

(t)其中：T=RC设1.频率特性的定义经拉氏反变换，可得瞬态分量稳态分量稳态输出：Uo--稳态输出幅值j--稳态输出相位正弦输入与稳态输出之间：频率相同；幅值不同；相位不同。---幅频特性幅频特性曲线幅频特性：稳态输出与输入的振幅之比。1.00A(w)w线性系统G(s)输出仍为正弦信号，频率与输入信号相同，幅值较输入信号有一定衰减，相位存在一定延迟。---相频特性相频特性曲线相频特性：稳态输出与输入正弦信号的相位差。j(w)w系统传函：频率特性(幅相特性)：将G(jw)写成复数形式：---实频特性---虚频特性幅频特性、相频特性和实频特性、虚频特性之间的关系：2.频率特性与传递函数的关系一般线性定常系统：若：则：则：若系统稳定，则极点都在s左半平面。当t→∞，即稳态时：其中kc、k-c分别为：频率特性与传递函数的关系为：频率特性的求取一般用这两种方法1.已知系统的系统方程，输入正弦函数求其稳态解，取输出稳态分量和输入正弦的复数比；2.根椐传递函数来求取；3.通过实验测得。频率特性与其它数学模型的关系微分方程频率特性传递函数脉冲函数频率响应法与时域法的不同点：1）输入是正弦函数；2）只研究系统稳态分量(而非过渡过程)中，幅值、相角随

w变化的规律。例1:设单位反馈控制系统的开环函数为，若输入信号为：，试求(1)稳态输出css(t)(2)稳态误差ess(t)?解:(1)稳态输出：(2)稳态误差：1.极坐标图当w：0→∞时，向量G(jw)的幅值|G(jw)|和相角j(w)随之作相应的变化，其端点在复平面上移动的轨迹称为极坐标图或Nyqusit图。

G(jw2

)G(jw1

)w0ReIm--幅相频率特性曲线、Nyqusit曲线P(w)、A(w)是w的偶函数，Q(w)、j(w)是w的奇函数，因此，w：0→-∞时，G(-jw)与G(jw)关于实轴对称。二、频率特性的几何表示法共轭对称共轭对称一般作图方法(1)手工绘制取w=0和w=∞两点，必要时还应在0<w<∞之间选取一些特殊点，算出这些点处的幅值和相角，然后在幅相平面上作出这些点，并用光滑的曲线将它们连接起来。(2)用计算机绘制2.伯德图--对数频率特性曲线、Bode曲线

伯德图由对数幅频特性和对数相频特性两条曲线组成，都以频率为横轴变量。(1)伯德图的坐标横坐标分度：横坐标采用不均匀的对数刻度纵坐标采用线性刻度半对数坐标

以频率w的对数值lgw进行线性分度，但为了便于观察仍标以w的值，因此对w而言是非线性刻度。Dec(十倍频程)：w

每变化十倍，横坐标变化一个单位长度。lgw0132w１2345678910100lgw00.3010.4770.6020.6990.7780.8450.9030.954121101000100w

纵坐标分度：

对数幅频特性曲线L(w)--对数幅值L(w)=20lgA(w)相频特性曲线单位：分贝(dB)单位：度(o)或弧度(2)使用对数坐标图的优点①由于横坐标采用对数刻度，展宽了低频段，压缩了高频段（可以在较大的频段范围内表示系统频率特性）；②可以将乘法运算转化为加法运算；③所有的典型环节的频率特性都可以用分段直线(渐近线)近似表示；④对实验所得的频率特性用对数坐标表示，并用分段直线近似的方法，可以很容易的写出它的频率特性表达式。(3)关于Bode图的几点说明①由于横坐标采用w的对数刻度，所以w

=0不可能在横坐标上表示出来；②横坐标上表示的最低频率由所感兴趣的频率范围确定。3.对数幅相曲线--尼科尔斯图、尼科尔斯曲线

以角频率为参变量，横坐标是相位，单位采用角度；纵坐标为幅值，单位采用分贝。5.3典型环节和开环频率特性曲线的绘制一、典型环节的频率特性1.比例环节ReImK极坐标图cleark=10;num=[k];den=[1];sys=tf(num,den)nyquist(sys)Matlab绘制Nyquist图注意：是一个点，不是一条线L(w)=20lgK=常数伯德图K不同时：幅频曲线上下平移，相频曲线不变。freq_k_bode.mcleark=10;num=[k];den=[1];sys=tf(num,den)bode(sys)gridMatlab绘制Bode图2.惯性环节(1)极坐标图整理得：证明的幅相特性是半圆。(2)伯德图①对数幅频特性--转折频率(交接频率)

②相频特性wT0.010.020.050.10.20.30.50.71.0j(w)-0.6-1.1-2.9-5.7-11.3-16.7-26.6-35-45wT2.03.04.05.07.0102050100j(w)-63.4-71.5-76-78.7-81.9-84.3-87.1-88.9-89.4高频渐近线斜率为-20dB/Dec低频渐近线为0dB的水平线伯德图高频渐近线斜率：幅频特性渐近线误差(3)一阶微分①极坐标图ReIm1--转折频率②伯德图高频渐近线斜率为20dB/Dec对数幅频特性：相频特性：低频渐近线为0dB的水平线伯德图注意：一阶微分环节的对数频率特性是惯性环节对数频率特性的负值，即一阶微分环节的对数幅频特性和对数相频特性分别与惯性环节的对数幅频特性及对数相频特性对称于横轴。传递函数互为倒数的典型环节最小相位典型环节中，积分环节和微分环节、惯性环节和一阶微分环节、振荡环节和二阶微分环节的传递函数互为倒数，即

设，则可知，传递函数互为倒数的典型环节，对数幅频曲线关于0dB线对称，对数相频曲线关于线对称。对于传递函数互为倒数非最小相位典型环节，其对数频率特性曲线的对称性同样成立。3.积分环节(1)极坐标图ReIm(2)伯德图一条斜率为-20dB/Dec的直线4.微分环节(1)纯微分环节ReIm①极坐标图②伯德图一条斜率为20dB/Dec的直线5.振荡环节(0<z<1,wn>0)显然，相频特性曲线从单调至。当时，，此时，表明振荡环节与虚轴的交点为。

取，得谐振频率与谐振峰值

因为时，。不同阻尼比情况下，振荡环节的幅相曲线和对数频率特性曲线分别如图所示，其中。

无论是欠阻尼还是过阻尼系统，其图形的基本形状是相同的，当过阻尼时，阻尼系数越大其图形越接近圆。(1)极坐标图(2)伯德图w=1/T--转折频率低频渐近线为0dB的水平线高频渐近线斜率为-40dB/Dec对数幅频特性：相频特性：伯德图渐近线误差可见：在0.4<<0.7时，工程上可直接使用渐近对数幅频特性；在此范围之外，应使用准确的对数幅频特性。(2)二阶微分①极坐标图--转折频率②伯德图高频渐近线斜率为40dB/Dec对数幅频特性：相频特性：低频渐近线为0dB的水平线伯德图惯性环节一阶微分环节传递函数互为倒数的典型环节对数幅频特性曲线关于0dB线对称；相频特性曲线关于0o线对称。纯微分环节积分环节振荡环节二阶微分6.非最小相位环节(1)比例环节：(2)惯性环节：(3)一阶微分环节：(4)振荡环节：(5)二阶微分环节：

除了比例环节外，非最小相位环节和与之相对应的最小相位环节的区别在于开环零极点的位置。非最小相位的惯性环节幅频特性相同；相频特性符号相反；

幅相频率特性曲线关于实轴对称。最小相位的惯性环节非最小相位的惯性环节对数幅频特性曲线相同；相频特性曲线关于0o线对称。

1.开环系统极坐标图的绘制(绘制奈氏图)手工画法将开环系统的频率特性写成A(w)ejj(w)或P(w)+jQ(w)的形式，根据不同的w算出A(w)、j(w)或P(w)、Q(w)，可在复平面上得到不同的点并连之，则可绘出系统的开环幅相频率特性曲线。需注意一些特殊点，如起点、终点，与实、虚轴的交点等。使用MATLAB工具绘制二、开环系统频率特性的绘制开环幅相曲线的绘制方法开环幅相曲线可以通过取点、计算和作图绘制系统开环幅相曲线。这里着重介绍结合工程需要，绘制概略开环幅相曲线的方法。反映开环频率特性的三个重要因素：（1）确定开环幅相曲线的起点和终点；（2）确定开环幅相曲线与实轴的交点或为穿越频率，开环幅相曲线曲线与实轴交点为

（3）开环幅相曲线的变化范围（象限和单调性）。例5-1:设0型系统的开环传递函数为：，试绘制系统的开环幅相频率特性(奈氏图)。解：用上述信息可以大致勾勒出奈氏图：ReIm系统频率特性数据0-5.77Q(w)0P(w)wj(w)10.0000。-56.3。0.200.40.343.85-4.14-85.2。0.8-0.79-1.72-114.6。-180。∞例5-1（176页）某0型单位负反馈系统开环传递函数为

试概略绘制系统开环幅相曲线。解：由于惯性环节的角度变化为～-900，故该系统开环幅相曲线中起点为：终点为：系统开环频率特性令，得，即系统开环幅相曲线除在处外与实轴无交点。由于、可正可负，故系统幅相曲线在第Ⅳ和第Ⅲ象限内变化，系统概略开环幅相曲线如左图所示。例5-2:设某Ⅰ型系统的开环传函为：(K,T1,T2>0)，试绘制其开环极坐标图。解：分析：1.w=0时

当w→0时，G(jw)渐近线是一条通过实轴-K(T1+T2)，且平行于虚轴的直线。2.当w→∞时3.与实轴的交点令：Q(w)

=0解得：交点为：ImRe极坐标图：具有积分环节的系统的频率特性的特点频率特性：式中：显然，低频段的幅值和相角均与系统型数有关。(Ⅰ型)(Ⅱ型)0型(n

=0)：Ⅰ型(n

=1)：Ⅱ型(n

=2)：n型(n

=4r+i)：(0型)低频段频率特性ImRe则k>0时为i×(-90°)的无穷远处，k<0时为i×(-90°)-180°

的无穷远处.高频段的幅相特性曲线与n-m有关n-m=3n-m=1n-m=2高频段频率特性极坐标特性曲线的终点都回到原点至于中频段，可计算一些特殊点的来确定，如与坐标的交点等。ReIm3）若开环系统存在等幅振荡环节，重数为正整数，即开环传递函具有下述形式不含的极点，则当趋于时，趋于无穷，而即在附近，相角突变。例5-3（P178,例5-5）设系统开环传递函数为试绘制系统开环概略幅相曲线。解:

开环幅相曲线的起点：终点：由开环频率特性表达式知的虚部不为零，故与实轴无交点。注意到开环系统含有等幅振荡环节，当趋于时，趋于无穷大，而相频特性取在的附近，相角突变，幅相曲线在处呈现不连续现象。作系统开环概略幅相曲线如图所示。例5-4已知系统开环传递函数为试概略绘制系统开环幅相曲线。解系统开环频率特性为起点：终点：与实轴的交点：因为从单调减至，故幅相曲线在第IV象限、第Ⅲ象限与第Ⅱ象限间变化。开环概略幅相曲线如图所示。2.系统开环对数频率特性的绘制(绘制伯德图)将开环传递函数表示成若干典型环节的串联形式：结论：对数幅频特性=组成系统的各典型环节的对数幅频特性之代数和。相频特性=组成系统的各典型环节的相频特性之代数和。绘制开环系统Bode图的步骤(1)将开环传递函数表示为典型环节的串联（把开环系统传递函数写成含有零、极点因子相乘积的形式）；(2)确定各环节的转折频率并由小到大标在对数频率轴上；(3)计算20lgK，过点(1,20lgK)作斜率等于-20ndB/dec的直线，得到最低频段的渐近线或其延长线(最低频段的斜率由积分环节个数决定)；重点补充：低频段的渐近特性曲线（可由斜率和一点0决定）开环系统幅频特性的斜率取决于K/（即斜率为-20dB/dec）低频段渐近特性曲线上的某点0

，用如下三方法求取，a)

在<min

范围内任选一点0，c)

取L(0)为特殊值0，b)

取频率为0=1，0>min，则(0,L(0))点在低频渐近曲线的延长线上(4)从低频渐近线开始，沿w增大的方向，每遇到一个转折频率改变一次渐近线斜率，直到绘出转折频率最高的环节为止；惯性环节：-20dB/dec振荡环节：-40dB/dec一阶微分环节：+20dB/dec二阶微分环节：+40dB/dec(5)若有必要，可对渐近线进行修正以获得准确的幅频特性；(6)相频特性曲线由各环节的相频特性相加获得。注意：对数幅频特性曲线上要标明斜率！[例5]开环系统传函为：，试画出该系统的伯德图。解：1.该系统是1型系统2.低频渐近线过点(1,20lgK)斜率为：-20n=-20dB/dec3.伯德图如下：L(w)w[例6]系统开环传函为：，试绘制系统的开环对数频率特性。解：1.该系统是0型系统2.低频渐近线过点(1,20)斜率为：-20n=0dB/dec3.开环对数幅频特性如下：-40-60124100wL(w)20红线为渐近线，兰线为实际曲线。[例5-7]系统开环传函为：，试绘制系统的开环对数幅率渐进特性曲线。解：1.该系统是2型系统2.低频渐近线过点(1,20)斜率为：-20n=-40dB/dec3.开环对数幅频特性：w

110220100一阶微分振荡惯性转折频率环节三、传递函数的频域实验确定1.频率响应实验信号源对象记录仪

Asinwt2.传递函数确定(1)确定幅频特性的渐近线；用斜率为20dB/dec整数倍的直线段来逼近实验曲线。(2)确定系统积分或微分环节的个数；低频段斜率为-20dB/dec，则系统开环传递有个积分环节，系统为型系统。(3)确定系统传递函数表达式；当某w处系统对数幅频特性渐近线的斜率发生变化时，此w即为某个环节的转折频率。(4)根据低频段渐近线或其延长线在w=1的分贝值，确定开环增益K。k为直线斜率(单位：dB/dec)L(w)(dB)w1w2wL(w1)0L(w2)kdB/decw

0.1120例1.已知某最小相位系统由频率响应实验获得的对数幅频曲线如图所示，试确定其传递函数。(1)确定系统积分环节的个数n=1解：(2)确定系统传递函数低频段的渐近线为-20dB/dec(0.1,20)和(1,20lgK)都位于-20dB/dec的直线上K=1w

0.1120(3)确定开环增益K例2[例5-7]已知某最小相位系统由频率响应实验获得的对数幅频曲线和对数幅频渐进特性曲线如图所示，试确定其传递函数。(1)确定积分环节(或微分环节)的个数n=-1解：(2)确定系统传递函数低频段的渐近线为+20dB/dec一个微分环节(1,0)和(w1,12)位于+20dB/dec的直线上w1

=3.98(w2,12)和(100,0)都位于-40dB/dec的直线上w2

=50.1求w1,w2

,

zK=1(3)确定开环增益K20lgK=0求w1,w2

,

z5.4频率域稳定判据

奈奎斯特稳定判据是奈奎斯特于1932年提出的，是用开环频率特性判别闭环系统的稳定性，它是频率分析法的重要内容。奈氏判据能够：判断系统是否稳定(绝对稳定性)；确定系统的稳定程度(相对稳定性)；分析系统的瞬态性能，指出改善系统性能的途径。1.辅助方程开环传递函数：闭环传递函数：辅助方程：一、奈氏判据的数学基础（辅助方程实际是特征方程）(1)F(s)的极点为开环传递函数的极点，F(s)的零点为闭环传递函数的极点；(2)分子、分母的阶次相等，零、极点个数相同；(3)F(s)与GK(s)相差为1。F(s)=1+GK(s)的几何意义：F(s)三个特点：F平面的坐标原点为GH平面的(-1,j0)点。

F(s)是复变量s的单值有理函数。可以证明：

①如果函数F(s)在s平面上指定的区域内是解析的，则对于此区域内的任何一点d都可以在F(s)平面上找到一个相应的点d／，d／称为d在F(s)平面上的映射。2.幅角定理(映射定理)(1)预备知识②对于s平面上任意给定的一条不通过F(s)任何奇异点（即F(s)的零点和极点）的连续封闭曲线G

，也可以在F(s)平面上找到一条与之对应的封闭曲线G／。s平面与F平面的映射关系N<0G／顺时针运动，包围原点；N>0G／逆时针运动，包围原点；N=0G／逆时针运动，不包围原点。(2)幅角定理s平面上不通过F(s)任何奇点的封闭曲线G，它包围F(s)在s平面上的Z个零点和P个极点，当s以顺时针方向沿封闭曲线G移动一周时，在F平面上相对应于封闭曲线G／将以逆时针方向绕原点旋转N圈。N、Z、P的关系为：N=P-Z二、奈奎斯特稳定判据1.零型系统(不含s=0极点)(1)奈奎斯特路径ⅰ--正虚轴s=jw：ⅱ--半径为无穷大的右半圆s=Rejq

：ⅲ--负虚轴s=jw：F(s)在虚轴上没有极点，按顺时针方向设计一条曲线G包围整个s右半平面，这条封闭曲线称为奈奎斯特路径(奈氏路径)。G(jw)特性曲线F平面上的封闭曲线G

在F平面上的映射G／ⅰ和正虚轴对应的是辅助函数的频率特性F(jw)，相当于把G(jw)向右移1；ⅱ和半径为无穷大的右半圆相对应的辅助函数F(s)→1；ⅲ和负虚轴相对应的是辅助函数频率特性F(jw)对称于实轴的镜像。①F(jw)可由GK(jw)求得，而GK(jw)是开环频率特性，对应于映射曲线第i部分；

②F(s)对原点的包围，相当于GK(s)对(-1,j0)的包围；因此映射曲线F(s)对原点的包围次数N与GK(s)对(-1,j0)点的包围的次数一样；③F(s)的极点就是GK(s)的极点，因此F(s)在右半平面的极点数就是GK(s)在右半平面的极点数。辅助方程与开环频率特性的关系(2)奈奎斯特稳定判据

若系统的开环传递函数在右半平面上有P个极点，且开环频率特性曲线对(-1,j0)点包围的次数为N(N<0顺时针，N>0逆时针)，则闭环系统在右半平面的极点数为：Z=P-N

。若Z=0，则闭环系统稳定，否则不稳定。Z:在右半平面的闭环极点个数；

P:在右半平面的开环极点个数；

N:开环频率特性曲线包围(-1,j0)点的圈数。

开环幅相频率特性图在（-1，j0）点左侧穿越负实轴的情况反映了它对（-1，j0）点的环绕情况。设开环幅相频率特性图由上而下穿越（-1，j0）点左侧负实轴的次数为N+，称为正穿越；由下而上穿越（-1，j0）点左侧负实轴的次数为N-，称为负穿越；则开环幅相频率特性图逆时针环绕（-1，j0）点的次数为：

[例1]开环传递函数为：(T1、T2、K>0)，试用奈氏判据判断闭环系统的稳定性。在s右半平面的极点数P=0绕(-1,j0)点的圈数N=0闭环系统在右半平面的极点数

Z=P-N=0闭环系统稳定[例2]设开环系统传递函数为：，试用奈氏判据判断闭环系统的稳定性。开环极点为-1，-1±j2P=0绕(-1,j0)点的圈数N=-2闭环系统不稳定[例3]已知单位反馈系统的开环传递函数如下，试用奈氏判据确定使该闭环系统稳定的K值范围。开环极点为1/TP=1若K>1

则绕(-1,j0)点的圈数N=1Z=P-N=0表示闭环系统稳定因此，系统稳定时T>0且K>1。奈氏图如下图所示：2.Ⅰ型以上系统(含s=0极点)s=0GK(s)→∞F(s)不解析重构奈氏路径：iiiiiiⅳs平面ⅰ--正虚轴s=jw：ⅱ--半径为无穷大的右半圆s=Rejq

：ⅲ--负虚轴s=jw：ⅳ--半径为无穷小的右半圆s=R／ejq／：无穷小的右半圆在GH平面上的镜像Ⅰ型系统:半径：∞角度：Ⅱ型系统:半径：∞角度：[例4]设Ⅰ型系统的开环频率特性如下图所示。开环系统在s右半平面没有极点，试用奈氏判据判断闭环系统稳定性。解：先根据奈氏路径画出完整的映射曲线(Ⅰ型系统)映射曲线顺时针包围(-1,j0)一圈，逆时针包围(-1,j0)一圈，所以：N=1-1=0。P=0Z=P-N=0闭环系统稳定[例5]某Ⅱ型系统的开环频率特性如下图所示，且s右半平面无极点，试用奈氏判据判断闭环系统稳定性。解：先根据奈氏路径画出完整的映射曲线(Ⅱ型系统)映射曲线顺时针包围(-1,j0)两圈，所以：N=-2。P=0Z=P-N=2闭环系统不稳定通常，只画出w=0→+∞的开环奈氏图，这时闭环系统在s右半平面上的极点数为：Z=P-2N／。式中，N／为w=0→+∞变化时，开环奈氏图逆时针包围(-1,j0)点的圈数。不包围(-1,j0)点，N／=00型系统包围(-1,j0)点，N／=-1Ⅰ型系统和Ⅱ型系统三、对数频率稳定判据(-1,j0)点奈氏图和伯德图的对应关系：(1)奈氏图上单位圆对应于对数坐标图上的零分贝线；(2)奈氏图上的负实轴对应于对数坐标图上的(2k+1)p相位线。正穿越负穿越GK(jw)对(-1,j0)点的包围情况可用正、负穿越情况来表示。正穿越--逆时针包围(-1,j0)负穿越--顺时针包围(-1,j0)正穿越负穿越正穿越负穿越伯德图上的正、负穿越正穿越--在L(w)>0范围内从下向上穿越-180。线(相角增加)负穿越--在L(w)>0范围内从上向下穿越-180。线(相角减小)

对于复平面的负实轴和开环对数相频特性，当取频率为穿越频率wx

时设半对数坐标下GGH的对数幅频曲线和对数相频曲线分别为GL和Gf，由于GL等于曲线G(w)，则GGH在A(w)>1

时，穿越负实轴的点等于GGH在半对数坐标下，对数幅频特性L(w)>0时对数相频特性曲线Gf与，平行线的交点。（2）确定

1）开环系统无虚轴上极点时，等于曲线。

设w=wc

时称wc为截止频率。2）开环系统存在积分环节时，复数平面的曲线，需从的开环幅相曲线的对应点起，逆时针补作半径为无穷大的虚圆弧。对应地，需从对数相频特性曲线较小且的点处向上补作的虚直线，曲线和补作的虚直线构成。3）开环系统存在等幅振荡环节时，复数平面的曲线，需从的开环幅相曲线的对应点起，逆时针补作半径为无穷大的虚圆弧至的对应点处。对数频率稳定判据：

设开环频率特性GK(s)在s右半平面的极点数为P，则闭环系统稳定的充要条件是：w=0→+∞时，开环对数幅频特性L(w)>0的所有频段内，相频特性对(2k+1)p线的正负穿越次数差N／=N+-N-=P/2。闭环系统右半s极点数为：Z=-2N／+P

，式中N／为正负穿越次数差。若Z=0，闭环系统稳定；若Z>0，闭环系统不稳定。例5-11已知开环系统型次，开环对数相频特性曲线如图所示，图中时，，试确定闭环不稳定极点的个数。解因为，需在低频处由曲线向上补作的虚直线于，如图所示。知，按对数稳定判据故闭环不稳定极点的个数为3。例题：例利用对数频率特性判别系统的稳定性，系统的开环传递函数为解：作出其开环对数频率特性，如下一页图所示。由于开环系统稳定，即P＝0，因而该闭环系统稳定的充要条件是：在dB的频域内，相频特性不穿越线，或正、负穿越数之差为零。由图可见在的频域内总大于，故闭环系统是稳定的。例利用对数频率特性判别系统的稳定性，系统开环传递函数为解：作出其开环对数频率特性，如下一页图所示。该系统开环传递函数含有2个积分环节,且时,，用虚线绘出相频特性的增补部分。由图知dB的频段上,＝0，＝1，

R＝－2，而P＝0，则Z＝2，闭环系统不稳定。系统伯德图

四、条件稳定系统

若开环传递函数在开右半s平面的极点数P＝0，当开环传递函数的某些系数(如开环增益)改变时，闭环系统的稳定性将发生变化。这种闭环稳定有条件的系统，称为条件稳定系统。若无论开环传递函数的系数怎样变化，系统总是不稳定的，这样的系统称为结构不稳定系统。5.5稳定裕度一、相角裕度(相角裕量)截止频率(剪切频率)c

：GK(j)与单位圆交点处的频率。

A(c)=1相角裕度：A(c)=1时与负实轴的夹角。=180°+(c)-1ReImGH平面物理意义：若系统剪切频率c处的相角再滞后，系统将处于临界稳定。即：系统在相角方面的稳定储备量。二、幅值裕度-1ReImGH平面穿越频率x

：

GK(j)与负实轴相交点的频率。A(x)幅值裕度h

：(-1,j0)点幅值1与A(x)之