第1章计算方法的一般概念

计算方法数值计算方法能做什么？研究使用计算机求解各种科学与工程计算问题的数值方法（近似方法），对求得的解的精度进行评估，以及如何在计算机上实现求解等。数值计算课程中所讲述的各种数值方法在科学与工程计算、信息科学、管理科学、生命科学等交叉学科中有着广泛的应用…………应用问题举例1、一个两千年前的例子今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗。问上、中、下禾实一秉各几何？答曰：上禾一秉九斗四分斗之一。中禾一秉四斗四分斗之一。下禾一秉二斗四分斗之三。《九章算术》本课程第二章的内容：线性方程组的数值方法！2、已经测得在某处海洋不同深度处的水温如下：深度（M）46674195014221634水温（oC）7.044.283.402.542.13根据这些数据，希望合理地估计出其它深度（如500米，600米，1000米…）处的水温本课程第三章的内容：插值法用比较简单的函数代替复杂的函数误差为最小，即距离为最小（在不同的度量意义下）本课程第四章的内容：函数最优逼近法3、人口预测

下面给出的是中国1900年到2000年的人口数，我们的目标是预测未来的人口数（数据量较大时）195055196196066207197082992198098705199011433320001267434、铝制波纹瓦的长度问题建筑上用的一种铝制波纹瓦是用一种机器将一块平整的铝板压制而成的.假若要求波纹瓦长4英尺,每个波纹的高度(从中心线)为1英寸,且每个波纹以近似2π英寸为一个周期.求制做一块波纹瓦所需铝板的长度L.这个问题就是要求由函数f(x)=sinx给定的曲线从x=0到x=48英寸间的弧长L.由微积分学我们知道,所求的弧长可表示为:上述积分称为第二类椭圆积分,它不能用普通方法来计算.本课程第五章的内容：数值微积分5、天体力学中的Kepler方程x是行星运动的轨道，它是时间t的函数本课程第六章的内容：非线性方程的数值解法全球定位系统：在地球的任何一个位置，至少可以同时收到4颗以上卫星发射的信号

6、全球定位系统（GlobalPositioningSystem,GPS)表示地球上一个接收点R的当前位置，卫星Si的位置为，则得到下列非线性方程组本课程第六章的内容：

非线性方程组的数值方法记为其中G:GoogleMatrix,“theworld’slargestmatrixcomputation”.4,300,000,000x:PageRankvector“The$25,000,000,000Eigenvector”7、Google搜索引擎London,England:Millennium('Wobbly')Bridge(1998-2002,NormanFosterandPartnersandArupAssociates)…thenaturalmodesandfrequenciesofastructurearethesolutionofaneigenvalueproblemthatisquadraticwhendampingeffectsareincludedinthemodel.(F.Tisseur,K.Meerbergen,ThequadraticEigenvalueProblem,SiREV43,2000,pp.235-286)本课程第七章的内容：矩阵特征值问题的数值方法8、生物化学反应的例子A，B，C是三种蛋白质，其反应如下：我们通过建模可以得到如下方程组

A：B：C：

本课程第八章的内容：常微分方程的数值解法用计算机解决实际问题的步骤建立数学模型选择数值方法编写程序上机计算结果数值计算方法的主要任务：数值求解各类数值问题，并提出最有效的算法。（包括误差分析，算法的稳定性及收敛性）第1章计算方法的一般概念算法误差1.1算法由基本运算（算术运算及一些逻辑运算）及运算顺序的规定构成的完整的解题步骤。例如：运算量：8次乘除，2次加减.运算量：4次乘法，2次减法缩减幂级数法（第四章）：其中，运算量：4次乘法，2次减法.误差|R|<=0.0000030.何为最有效算法？运算量少，应用广泛，存储单元少；逻辑结构简单，便于计算机编程；计算结果可靠.(误差估计、收敛性和稳定性)注意：没有一种算法处处最有效！1.2误差误差的来源与分类误差与有效数字误差估计机器数与舍入误差算法的稳定性1.2.1误差的分类模型误差观测误差（数据误差、参量误差）截断误差（方法误差）舍入误差（计算误差）1.2.2误差与有效数字绝对误差：

绝对误差界：注意：绝对误差或绝对误差界常常称为误差！绝对误差可取正也可取负，越小越有参考价值.相对误差：

相对误差界：注意：相对误差界有时简称为相对误差，并常用百分数表示！哪个更精确呢?准确数字与有效数字例如：准确到4位小数，具有5位有效数字；准确到2位小数，具有3位有效数字；准确到6位小数，具有7位有效数字；再说有效数字用科学计数法，记（其中）。若（即的截取按四舍五入规则），则称为有n位有效数字，精确到。注:0.2300有4位有效数字,而0.0023只有2位有效字.12300如果写成0.123105，则表示只有3位有效数字。

数字末尾的0不可随意省去！相对误差与有效数字

有效数字

相对误差限设近似值已知有n位有效数字，则其相对误差限为相对误差限有效数字已知的相对误差限可写为则可见

至少有n位有效数字。总之：近似值的绝对误差界为0.5*10-n时，其准确到n位小数；近似值的相对误差界为0.5*10-t时，至少具有t位有效数字。1.2.3数据误差影响的估计一元函数的情形；多元函数的情形；几个常见的误差估计式.1、一元函数情形

问题：对于y=f(x)，若用x*

取代x，将对y

产生什么影响？分析：Δy=f(x)f(x*)Δx=xx*=f'()(xx*)x*与x非常接近时，可认为f'()

f'(x*)，则有：|Δ

y||f'(x*)|·|Δ

x|即：x*产生的误差经过f作用后被放大/缩小了|f'(x*)|倍。故称|f'(x*)|为放大因子

/*amplificationfactor*/

或绝对条件数

/*absoluteconditionnumber*/.相对误差条件数

/*relativeconditionnumber*/

f的条件数在某一点是小\大，则称f在该点是好条件的

/*well-conditioned*/\坏条件的

/*ill-conditioned*/。2.多元函数的情形绝对值为相对误差条件数绝对值为绝对误差条件数当时，相对误差条件数一般很大，问题往往是病态的！避免相近的数相减：两个相近的数相减,会使有效数字的位数严重损失例如：设x>>1例：解方程解:而如果在字长为8,基底为10的计算机上利用求根公式机器吃了因此在计算机上上式是解二次方程的数值公式几个简单的估计公式设1.2.4机器数与舍入误差在计算机中，一般实数x均按舍入原则表示成:(b进制浮点数)其中b称为基数，m为阶码，为尾数或数码时fl(x)称为规格化的浮点数，t为计算机的位数.一定型号的计算机，t是固定的，L<=m<=U.避免大数吃掉小数例如：在4位的10进制的计算机上31.97+2.456+0.1352（=34.5612）(2)(31.97+2.456)+0.1352=34.43+0.1352=34.57(3)31.97+(2.456+0.1352)=31.97+2.591=34.56(4)一般来说，若干数相加最好先加绝对值较小的数！简化计算步骤，尽量减少运算次数15次乘法运算而不是255次！例如：又如：例如，计算多项式

通常运算的乘法次数为

采用秦九韶算法：n次乘法，n加法！解由分部积分可得因此有递推公式1.2.5算法的稳定性例如：计算积分表1-1 0.367879 0.264242 0.207274 0.170904 0.145480 0.127120 0.110160 0.118720-0.068480用上面的递推公式，在字长为6，基底为10的计算机上，从E1出发计算前几个积分值，其结果如上表1-1。被积函数在积分限（0,1）区间内都是正值，积分值E9取三位有效数字的精确结果为0.0916，但上表中E9=-0.068480却是负值，与0.0916相差很大。怎么会出现这种现象？可分析如下。由于在计算时有舍入误差约为且考虑以后的计算都不再另有舍入误差。此对后面各项计算的影响为53

这样，算到E9时产生的误差为这就是一个不小的数值了。可以改进算法来提高此例的数值稳定性，即将递推公式改写为从后向前递推计算时，En的误差下降为原来的1/n，因此只要n取得足够大，误差逐次下降，其影响就会越来越小。由

可知：当时。因此可取E20作为初始值进行递推计算。由于，故E20=0的误差约为1/21。在计算时误差下降到到计算E15时误差已下降到，结果如表1-2。200.0000000190.0500000180.0500000170.0527778160.0557190150.0669477140.0627322130.0669477120.0717733110.0773523100.083877190.0916123表1-4nInnIn00.1823215590.01705662410.088392216100.01471687620.058039818110.01732471030.04313874212-0.00329021940.03430628713-0.09337417250.02846856014-0.39544229060.024323864152