第11章工程测试信号处理

学习要求1.掌握相关分析及其应用方法2.掌握功率谱分析及其应用3.掌握小波变换的特点、基本理论及步骤11.1工程测试信号处理的目的

通过测试，可得到一系列原始数据或图形。这些数据是认识事物内在规律，研究事物相互关系和预测事物发展趋势的重要依据。但这仅仅是第一步工作，只有在此基础上对已获得的数据进行科学的处理，才能去粗取精、去伪存真、由表及里，从中提取能反映事物本质和运动规律的有用信息，这才是测试工作的最终目的。

工程测试信号处理就是对信号进行有目的的加工，将被测信号的原始数据变换成所期望信号的过程，如增强、压缩、滤波、估计、识别、变换等。11.2

相关分析及其应用

相关是代表客观事物或过程中某两种特征量之间联系的紧密性。在静态测量中由于所测的是数值，所以相关就代表了某两种特征量之间的关联程度。（a）（b）（c）（a）严格的对应关系，称之为精确的线性

相关；（b）大致的对应关系，称之为中等的线性

相关；（c）数值上没有对应关系，称之为二者不相关。

信号的相关性是反映信号波形相互联系紧密程度的一种函数。均值、方差、概率密度函数反映的是随机信号幅值的统计规律，而相关可更深入地揭示信号的波形结构。随机信号的相关函数

自相关函数

假定一个样本记录x(t)是来自各态历经的平稳随机过程，其自相关函数Rxx(τ)是原样本记录信号x(t)与此样本记录在作τ时移后的信号乘积后再作积分平均运算，即以有限长样本作估计自相关函数具有以下几个性质：1.当τ=0时自相关函数取最大值，即。≥2.自相关函数是偶函数，即。=3.均值为零而又不含确定性周期信号成分的“纯”随机信号其。

互相关函数

两随机信号样本x(t)和y(t)的互相关函数的估计值为。互相关函数具有以下性质：1.不是偶函数，通常它不在τ=0处取峰值。其峰值偏离原点的位置反映了两信号相互有多大时移。2.与是两个不同的函数，根据定义可以证明。3.均值为零的两统计独立的随机信号x(t)与y(t)，对所有的τ值。

相关系数函数

由于信号x(t)与y(t)本身的取值大小影响相关函数的计算结果，因而在比较不同的成对随机信号相关程度时，仅视其相关函数值大小是不确切的。如一对小信号虽然相关程度很高，但相关函数值很小，相反一对大信号虽然相关程度很低，但相关函数值很大。为了避免信号本身幅值对其相关性程度度量的影响，将相关函数作归一化处理，引入一个无量纲的函数——相关系数函数，互相关系数函数的定义式为这样是在0和1之间变化的一个函数。若=1，说明x(t)与y(t)完全相关；若=0，说明x(t)与y(t)完全不相关。若1<<1，则说明x(t)与y(t)部分相关。同理，自相关系数函数反映了信号x(t)和x(t+τ)之间的相关程度。

相关函数的推广公式

相关函数虽是由随机信号引出的，推广至确定性信号在含义上仍能反映信号的相关性，但运算公式有所变化。对于周期信号，其计算可用一个周期代替其整体，所以对于确定性信号中的瞬态信号，由于其长度有限，反映了其“能量有限”，故不能用

作平均，否则相关函数就为零了。所以它的相关函数计算公式为信号相关函数的实现

实现相关处理的仪器称为相关仪，相关仪有模拟式和数字式两种。1.模拟式相关仪模拟式相关仪采用模拟电路来实现相关公式中的各项运算，模拟信号x(t)和经时移的模拟信号y(t)先相乘、再作积分、平均运算后可得到对应于某一时移τ的互相关函数值。改变τ大小可得对应于不同τ的互相关函数值，从而绘出互相关函数的曲线。2.数字式互相关仪

两模拟信号x(t)与y(t)的互相关函数若要作数字相关处理，需先对这两个模拟信号作离散化（采样）及量化处理，然后再作相关运算。离散信号的相关函数表达式为（r=0，1，2，…，m）

N为沿时间轴的总采样数；i为沿时间轴的采样序数；r为间断时移值。作为有限长采样的相关函数估计为信号相关的物理解释和工程应用1.信号相关是波形相似的度量

图（a）列出四个样本波形，从波形相似的观点出发观测这四个波形，可看到波形（a′），（b′）较为相似，波形（c′）如向左移动τ值则与前二者也较相似，而（a′）、（b′）、（c′）和（d′）显然很不相似。这种观测是定性的、粗略的估计。如要精确地、定量地估计波形相似程度，需作进一步的分析。

图（b）是二样本波形x(t)、y(t)，如要度量两波形之间的相似程度，需对其在波形相对应的时间轴上取幅值相比较，求各时间点上两信号幅值之差，差值愈小则波形就愈相似。因此可以总结出波形相似程度的一个指标：

式中，xi、yi为对应于时间轴上相对应点的两函数取值。取差值平方是为了消除差值的正负相差造成差值和很小的假象。显然a值愈小，则波形相似程度愈好。将上式展开得

对于一个平稳随机过程，式中前两项代表的均方值是常值，a的大小主要由最后一项来决定。令因此愈大，a就愈小，波形相似程度就愈好。1.相关是周期信号中同频成分的反映作为相关中的特例，若x(t)、y(t)均为简谐信号

则可推算出x(t)的自相关函数和x(t)、y(t)的互相关函数1.x(t)、y(t)是同频的正弦（或余弦）信号时，其相关函数保存它们的频率信息。假若x(t)、y(t)是不同频的简谐信号则可由正（余）弦信号的正交性得出不同的结论：为简化分析使τ=0，θ=0，

，n=1、2、…，m=1、2、…，A=B=1，则当n=m时Rxy(0)=1

当n≠m时Rxy(0)=0假若x(t)与y(t)是则

Rxy(0)=0

几个相关概念

同频无相位差的两正弦（或余弦）信号具有最好的相关性；

同频无相位差的正弦与余弦信号，具有零相关函数值；

两不同频的正弦（或余弦）谐波信号，具有零相关函数值。2.正弦（余弦）信号在作自相关处理时，其本身所具有的初相位信息（θ）在相关函数中不出现，即说明在作自相关处理时，失去了原简谐信号的相位信息，而在作两同频正弦信号的互相关时，互相关函数中出现两正弦信号之间的相位差，所以互相关处理中保留了两正弦信号间的相位差信息。而在τ=0时

根据这一原理，可设计能反映被分析信号幅值和相位的相关滤波频谱分析仪。互相关函数从原理上，主要有如下几个应用方面：1.滞后时间的测量假定欲测定信号通过一给定线性系统需要的时间，即输出滞后输入的时间，显然用输入和输出两信号的互相关函数就可得该滞后时间，即直接用互相关函数峰值偏离原点的时间位移来确定。但当频率对系统传递环节和传递速度影响很大时，互相关函数可能不出现明显的峰值。在此情况下要用后面讨论的互谱密度函数来解决。2.传递环节的确定如果一个线性系统，其输入经过几个环节传递而产生一个输出，由于每条环节一般都具有不同的滞后时间，因此对输出有明显影响的每个环节都将在互相关函数中出现各自的峰值。如可计算出各环节的滞后时间，则通过与互相关函数上峰值位移的比较，可确定对输出有明显影响的主要环节。3.速度测量如下图所示，当运动物体通过固定距离为l的两光电检测器，检测器可获得对应的两个信号x(t)和y(t)，经互相关处理得到相关函数Rxy(τ)。根据峰值的滞后时间τ0，即可求得运动物体的速度

。由于该方法可实现非接触测量，宜用于测量、风洞气流、炮弹、汽车等的运动速度。11.3

功率谱分析及其应用定义

随机信号的自功率谱函数（自谱）是该随机信号自相关函数的傅里叶变换，为Sx(f)所以

二随机信号的互功率谱密度函数（互谱）是互相关函数的傅里叶变换，记为Sxy(f)。所以物理意义令τ=0，则根据自相关函数的定义，当τ=0时即可得图解含义见下图。图中（a）为原始的随机信号x(t)；(b)是函数的波形；(c)是x(t)的自相关函数；(d)是的傅里叶变换，即自谱函数。功率谱分析的实现

各态历经的平稳随机过程的功率谱的求取有以下三种方法：1.由定义先求取随机信号样本的相关函数，再求其傅里叶变换功率谱密度函数。显然，在处理时是以有限长的样本来作处理，所得的功率函数都是估计2.用时域信号x(t)作一系列运算后得到自功率谱的估计。计算时使有限频段内用有限采样点进行计算，因此当要求取在某一频率值f0上一根谱线时

根据上述公式可构成下图的自谱分析仪的原理方框结构。3.利用有限长度随机信号样本的傅里叶变换求取自谱密度函数的估计。随机信号x(t)在有限区间T内截断得一样本功率谱的应用1.

作为工业设备状况的分析和故障诊断的依据。

下图是从汽车变速箱上测取的振动加速度信号经处理后所得的功率谱图。图中（a）是变速箱正常工作时的谱图，（b）为不正常工作时的谱图。一般来说对于正常运行的机器其功率谱是稳定的，且各谱线对应于不同零部件不同运转状态的振源。在机器运行不正常时，如轴系的动不平衡，轴承的局部失效，齿轮的不正常等等，都会引起相应谱线的变动。图（b）较图（a）中在9.2Hz和18.4Hz两处出现额外谱线，反映了发动机的某些不正常，且指明了异常功率消耗所在的频率，为寻找与此功率相对应的故障部位提供了依据。

这样可得到如下图所示的信号及功率谱密度，从图中可以很容易地推测，信号集中在120Hz和50Hz。信号t/ms功率谱密度f/Hz信号及其功率谱密度2.利用功率谱的数学特点求取信号传递系统的频响函数由上图（a）可见，在理想情况下，该系统频响函数应为

为了解决这一问题，采用功率谱求取频响函数可得到较好效果。上式引起误差的主要原因是由于在输入和输出端的噪声所致。采用功率谱计算的方法是先在时域作相关，在频域作运算。在理论上，信号中的随机噪声在时域作相关时，如τ取得足够长皆可使其相关函数值等于零。而随机信号与有用信号因互不相关，故二者之间的相关函数也是零。所以含有随机噪声的信号，经过相关处理所得的相关函数可屏除噪声成分，得到的是有用信号的功率谱，由此所求的频响函数是较精确的。至于功率谱和频响函数之间的数学关系可由以上的数学公式导出。相干函数1.定义

两信号x(t)与y(t)的自谱和互谱分别为Sx(f)、Sy(f)、Sxy(f)，则它们之间的相干函数为2.含义和应用

相干函数是在频域内鉴别两信号相关程度的指标。如在一测试系统中，为了评价其输入信号与输出信号间的因果性，即输出信号的功率谱中有多少是所测输入信号引起的响应，可用相干函数来描述。倒频谱分析的基本原理11.4

倒频谱技术倒频谱分析的意义

由倒频谱公式可知，倒频谱是功率谱对数的频谱，对功率作对数处理，相当于对其作对数加权处理，其结果是对低频分量有较高的加权，这样做的好处有:1.变换后的信号能量集中，易于对信号识别；2.易于解析卷积积分；3.有利于判别谱的周期性。

总之作信号的倒频谱变换，其目的是可较容易地识别信号的组成分量，便于从中提取有用信号成分。1.分离信息通道对信号的影响,并能识别信号功率谱中的周期成分。倒频谱技术的应用例

一信号x(t)在传输过程中受到其自身回波的干扰叠加，请剔除回声对信号的影响。1.剔除回声对信号的影响。11.4

频谱细化分析基于复调制的FFT方法1.复调制基于复调制的细化FFT方法处理步骤为：

设记录长度为T=NTs的时域信号x(t)，其中N为采样长度，Ts为采样时间间隔，x(n)是x(t)离散后的时间信号，则x(n)的频谱X0(k)为相应有2.复低通滤波并细化3.

信号输出滤波器输出的时域表示为式中，H(k)为数字低通滤波器的频响。

在上述处理过程中，滤波器的幅频谱在该频带内恒为1是前提。若不为1需加以修正。由上述处理过程可知，与同样点数的FFT相比，这一细化方法所获得的分辨率要提高D倍，且提高了计算效率。下图为基于复调制的细化方法的原理框图。相位补偿细化方法该细化方法简单直观的处理过程如下图所示。应用11.6

动态补偿数字滤波器

用数字处理方式选择信号频率称为数字滤波，滤波的目的是让符合要求的频率信号通过，不符合要求的信号作极大衰减。硬件补偿方法1.一阶系统的动态特性补偿2.二阶系统的动态特性补偿二阶系统的传递函数为

硬件补偿方法虽然可以实现实时补偿，但每一个具体的测量系统都需要用专门的补偿环节，即使相似的测量系统，仅仅因为具体参数稍有不同也难以用同样的补偿环节，甚至测试系统本身动态特性的变化（如老化、漂移、环境温湿度的影响等）都有导致补偿效果恶化的可能，因而代价较高，灵活性较差。软件补偿方法

软件补偿方法尽管实时性不高，但其设计运算方便、灵活。实际应用时，可根据不同的要求编制不同的补偿程序。随着计算机技术及虚拟仪器的发展，软件补偿方法已广泛用于动态测试中。动态补偿滤波器应用例

某传感器离散传递函数为其时域仿真阶跃响应如图中曲线1所示，存在着很大的动态误差。考虑对其进行动态补偿。11.7

小波分析小波分析基础

小波分析方法是一种窗口大小（即窗口面积）固定但其形状可改变，时间窗和频率窗都可改变的时频局部化分析方法。即在低频部分具有较高的频率分辨率和较低的时间分辨率，在高频部分具有较高的时间分辨率和较低的频率分辨率，所以被誉为数学显微镜。正是这种特性，使小波变换具有对信号的自适应性。原则上讲，传统上使用傅里叶分析的地方，都可以用小波分析取代。小波分析优于傅里叶变换的地方是，它在时域和频域同时具有良好的局部化性质。小波分析在测试信号分析中的应用

运用小波分析进行一维信号消噪和识别信号中的发展趋势是小波分析的一个重要应用之一。在实际的工程应用中，所分析的信号可能包含噪声和一些不应有的趋势项，对这种信号，首先需要作信号的预处理，将信号的噪声和趋势项去处，提取有用信号。例

利用小波分析方法对具有噪声的电网电压值进行消噪处理，并分析用电故障原因。解：首先选择小波函数db4，然后确定小波分解的层数N（在这里，取N为3）。从小波消噪处理的方法上说，一般有三种。1）强制消噪处理。该方法把小波分解结构中的高频系数全部变为0，即把高频部分全部滤除掉，然后再对信号进行重构处理。该方法优点是比较简单，缺点是容易丢失信号的有用成份。2）默认