第11讲-一般索罗模型

第11讲技术进步和增长：一般的索罗模型宏观经济学一般的索罗模型回到封闭经济.在基本的索罗模型中:在稳态，人均GDP没有增长.这和西方世界的现实相违背.在一般的索罗模型中:全要素生产率,,假定以固定的、外生速率增长(唯一的变化).这意味着存在平衡增长的稳态，同时人均GDP以一个正的常数增长率增长。在这个模型中，人均GDP长期增长的源泉是外生技术进步.不是很深刻，但是:在稳态时候产生平衡增长，并不是一个显然的结果,因为模型符合了实证规律，所以保证了应用.我们的关注点仍然是:什么创造了经济进步和繁荣…索罗模型的微观世界…和基本索罗模型的微观世界相同,例如:同样的对象

(一个封闭经济).同样的商品和市场.同样,市场是竞争的，实际价格分别为1,和.只有一种产出(单部门模型).同样的参与人:消费者和厂商(还有政府),其微观行为也是一样的:一个利润最大化的代表性企业决定

和，给定

和.一点差别:生产函数.现在存在技术进步的可能性:

序列是外生的，对于所有的，都有.特使情况是(基本索罗模型).具有技术进步的生产函数

给定技术进步的序列,

伴随着给定的序列,在柯布道格拉斯生产函数中，我们将技术进步描述为一个序列，

，代表TFP或者是对应的序列,,代表劳动调整的生产率是没有差别的.在我们的例子中，后者更方便.外生序列,,如下所示:技术进步来自”天上掉馅饼”(不需要生产投入).回忆定义:和.

两边同时除以得到人均生产函数:这意味着:

的增长来自于两个源泉，是和的加权平均值，权重为和。

如果,类似于平衡增长,是常数,那么!完整索罗模型参数:.令.状态变量:和.完整模型?是的,给定和模型决定了序列：注意:

也就是:资本份额,劳动份额,净利润.我们的就应该大约还是.

另外:定义”有效劳动投入”为:

这个模型在数学上等价于基本索罗模型，其中

代替了,同时，代替了,此时!

我们可以在理论上完全采用基本索罗模型的分析,但是我们不会…分析一般索罗模型如果如果模型意味着收敛到平衡增长的稳态,那么在稳态，变量和的增长率必须相同(再次回忆在平衡增长时是常数).回忆:

因此，如果,那么.如果存在向平衡增长稳态的收敛,那么在稳态和增长率相同，为

，因此和将是常数.进一步:从上述提到的与基本索罗模型的等价性,和 收敛到常数稳态值.上面的每一个观察都提示如何分析这个模型，可以根据:

和从我们得到从 和我们得到

两边除以得到

代入得到转移方程:两边减去

，得到索罗方程:收敛向稳态:

转移图转移方程是:这是递增的，通过(0,0).在任意一个的斜率为:可以看到:.进而, .我们假设后面这个稳定条件可以满足.转移方程如图所示:

向点的收敛如图所示.相应地: .

一些初步的结论:在长期中,和收敛到常数,分别是和.这些水平值定义了稳态.在稳态,和共同的增长率为,也就是,速率为，同时资本产出比

一定是常数.稳态索罗方程

伴随着得到:利用和我们得到稳态增长路径:因为,利用得到

在稳态存在平衡增长:和以常数增长率增长,,此时，是常数.在稳态，人均GDP存在正增长

(如果). 稳态的结构政策稳态的人均产出和消费为:黄金规则:,最大化路径,.

再次为:.

对于

和的弹性再次分别是

和.稳态的政策含义与基本索罗模型一样:鼓励储蓄和控制人口增长.不过

我们有一个新参数,(对应着).我们想要大的,但是在我们的模型中难以推导政策技术进步的政策含义(是外生的).稳态的实证假设所有国家在2000处于稳态!很难获得的高质量数据,为了简单，假设

对于2000年所有国家都是相同的.设定(合理地)如果是国家i在2000年的人均GDP,上面的理论方程提示了下面的回归方程:

其中和利用1960-2000的平均值，

此时AnOLSestimationacross86countriesgives:很高的显著度!巨大的R2!即使我们假设在所有国家都是相同的!但是永远记住相关vs.因果.进一步:的估计值不符合理论值.或者:结论并不清晰:回归曲线令人印象深刻,但是比模型建议的更陡峭.接下来索罗图的比较分析.收敛过程.增长核算.索罗图修正索罗图索罗图的比较分析最初经济位于稳态，参数值为和.储蓄率永久性增加，从到.旧稳态:和,同时和的增长率都是,下面的一条线:新稳态:和,同时和的增长率都是,但是沿着一条更高的增长路径,上面的那条线.转移:

从增长到.增长率跳跃，然后逐渐回归到零.根据得到.因此,在转移中,的增长率大于,同时向上跳跃，然后逐渐回归到.增长率也跳跃,因为.索罗模型中的收敛修正的索罗图:

这符合条件收敛:两个国家有相同的参数…收敛过程的实证模型对于收敛过程告诉了我们什么,即，一个国家的增长如何依赖结构参数和最初的位置?利用转移方程,

我们推导出来增长率的公式.为了做到这点，我们在稳态附近线性化。将对于微分，代入稳态点

很容易看到 .数学注释:考虑一个可微函数, 通过点,因此.那么:

如果进一步,那么:

将(1)运用于

，在，得到这是索罗模型动态过程的近似,同时这是一个线性方程!线性差分方程意味着的稳定性，因为.再次利用,此时对于:

利用这个方程重写:

利用如下形式我们有:

收敛性质:在每一期,剩余缺口的常数比例得到弥补.收敛速度为我们现在推导这个差分方程的解:

特征多项式是特征根是 .齐次方程的通解是: .非其次方程的一个特解是:,意味着完整的解形式为: 对于常数满足初始条件:.因此解为:利用这个解，对于.得到:

将代入和的表达式，获得收敛方程:

重写一下:假设和在所有国家都很小,这意味着如下回归方程:

1960-2000年90个国家的OLS估计为:

对画图得到好的方面:显著的参数,相对高的R2

等.这没有和所有国家具有相同的和有本质矛盾.但是:我们有两个估计的收敛速度:理论:实证:

结合的估计值和，意味着

模型严重高估了收敛速度!与实证对比,索罗模型相当不错,这适用于其稳态和收敛方面的预测.不过,在所有方面都存在着实证数量方面的问题.可以做得更好,不过已经是一个不错的模型了.增长核算给定数据和(一般来说是可得的)，结合，我们可以将计算为残差。我们称之为索罗剩余.

为什么增长核算不是用水平值?人均资本核算(工人)给