第八章组合变形

第八章组合变形§8-1组合变形的概念在前几章我们分别介绍了四种基本变形：轴向拉压变形和剪切挤压变形

——第2章；

FF

F

F

轴向拉压变形强度条件§8-1组合变形的概念在前几章我们分别介绍了四种基本变形：轴向拉压变形和剪切挤压变形

——第2章；

剪切挤压变形剪切强度条件铆钉FF§8-1组合变形的概念在前几章我们分别介绍了四种基本变形：轴向拉压变形和剪切挤压变形

——第2章；

剪切挤压变形挤压强度条件铆钉FF§8-1组合变形的概念在前几章我们分别介绍了四种基本变形：圆轴的扭转变形——第3章；

扭转变形强度条件MM§8-1组合变形的概念在前几章我们分别介绍了四种基本变形：细长梁的弯曲变形——

第4、5、6章；

弯曲变形强度条件§8-1组合变形和叠加原理在前几章我们分别介绍了四种基本变形：1)轴向拉压变形和剪切挤压变形

——2；2)圆轴的扭转变形

——3；3)细长梁的弯曲变形----4、5、6。

在实际外载作用下，构件的变形并不只是上述几种单纯的基本变形，而往往是由二种或二种以上的基本变形组合而成的组合变形。

在现实工程中，大多数构件在外载荷作用下,往往是组合变形的情形。如下图所示：一、组合变形举例扭转与弯曲MeF

工程实例1混凝土框架边梁扭转与弯曲框架边梁工程实例2斜拉桥桥塔压缩与弯曲qF1F2工程实例3厂房牛腿压缩与弯曲qF1F21.拉伸或压缩与弯曲的组合本章重点:工程中常见的组合变形2.偏心压缩（压缩与弯曲的组合）本章重点:工程中常见的组合变形xyzFFMzMy3.扭转与弯曲的组合本章重点:工程中常见的组合变形MeF横向力§8-2

拉伸或压缩与弯曲的组合P杆件受横向力和轴向力的共同作用时FN轴向拉力一、表现形式（a）拉伸或压缩与弯曲组合平面内力偶§8-2

拉伸或压缩与弯曲的组合杆件受力偶和轴向力的共同作用时FN轴向压力一、表现形式M（b）拉伸或压缩与弯曲组合xyzFφFN=FcosφFS=Fsinφ轴向力横向力§8-2

拉伸或压缩与弯曲的组合一、表现形式（c）拉伸或压缩与弯曲组合杆件在xy平面内作用斜向集中力时§8-2

拉伸或压缩与弯曲的组合二、拉伸或压缩与弯曲组合的特点

作用在杆件上的外力既有轴向力,还有横向力或轴线平面内力偶。受力特点变形特点

杆件既发生轴向拉伸或压缩变形，也发生弯曲变形。三、解决组合变形问题的基本方法

构件在小变形和服从胡克定理的条件下，力的独立性原理是成立的。即所有载荷作用下的内力、应力、应变等是各个单独载荷作用下的值的叠加。基本方法－叠加法

三、解决组合变形问题的基本方法

叠加原理的成立要求:小变形使用叠加原理的前提：即:内力、应力、应变等与外力之间成线性关系。三、解决组合变形问题的基本方法

叠加原理的理解：

若要求杆件在的作用下，求某截面B点处的应力、应变，按照叠加法如何理解？三、解决组合变形问题的基本方法

叠加原理的理解：各个单独载荷作用下的值的叠加：三、解决组合变形问题的基本方法

叠加原理的理解：

叠加法的本质就是将组合变形分解为几种基本变形：轴向拉压变形、扭转变形、弯曲变形等等；

分别考虑各个基本变形时构件的内力、应力、应变等；最后进行叠加。如何运用叠加原理

计算拉伸或压缩与弯曲组合危险点的强度？=四、拉伸或压缩与弯曲组合计算举例思路：求起重机圆柱任意横截面的危险应力。内力分析应力分析应力叠加外力分解外力分析+==1.外力分析求起重机圆柱任意横截面的危险应力。四、拉伸或压缩与弯曲组合计算举例+==+=2.外力分解求起重机圆柱任意横截面的危险应力。四、拉伸或压缩与弯曲组合计算举例=3.内力分析（轴力单独作用时）求起重机圆柱任意横截面的危险应力。FN=F四、拉伸或压缩与弯曲组合计算举例=3.内力分析（力偶单独作用时）求起重机圆柱任意横截面的危险应力。=FlM四、拉伸或压缩与弯曲组合计算举例求起重机圆柱任意横截面的危险应力。四、拉伸或压缩与弯曲组合计算举例4.应力分析（轴力单独作用时）FN=F求起重机圆柱任意横截面的危险应力。=FlM四、拉伸或压缩与弯曲组合计算举例5.应力分析（力偶单独作用时）+=+=6.应力叠加组合外力分析：将外力向杆件形心简化；五、应用叠加法的步骤总结§8-2

拉伸或压缩与弯曲的组合外力分解：使每个外力对应一种基本变形；内力分析：求每个外力分量对应的内力；应力分析：求每个内力分量对应的应力；应力叠加：将所有分量应力进行叠加；强度校核：将危险点的应力进行强度校核。下面我们以一个具体的案例进行说明§8-2

拉伸或压缩与弯曲的组合关于拉（压）弯组合有没有更具体的案例？例题8.1铸铁框架如图.材料的许用拉应力[t]=30MPa,许用压应力[c]=160MPa.试按立柱的强度确定压力机的许可压力F。150y50150z0z1z50350FFO例题8.1铸铁框架如图.材料的许用拉应力[t]=30MPa,许用压应力[c]=160MPa.试按立柱的强度确定压力机的许可压力F。350FF解题思路：外力分析外力分解1外力分解2内力分析内力分析应力分析应力分析应力叠加后强度条件确定F例题8.1铸铁框架如图.材料的许用拉应力[t]=30MPa,许用压应力[c]=160MPa.试按立柱的强度确定压力机的许可压力F。150y50150z0z1z50350FFO解：1.立柱横截面外力分析FM向立柱形心简化例题8.1铸铁框架如图.材料的许用拉应力[t]=30MPa,许用压应力[c]=160MPa.试按立柱的强度确定压力机的许可压力F。350FF解：2.立柱横截面外力分解FM350FF350FM+=例题8.1铸铁框架如图.材料的许用拉应力[t]=30MPa,许用压应力[c]=160MPa.试按立柱的强度确定压力机的许可压力F。150y50150z0z1z50O350FF3.立柱横截面内力分析（轴力单独作用时）nnFNnnF例题8.1铸铁框架如图.材料的许用拉应力[t]=30MPa,许用压应力[c]=160MPa.试按立柱的强度确定压力机的许可压力F。150y50150z0z1z50O350F4.立柱横截面内力分析（力偶单独作用时）nnMnnMMy

5.立柱横截面应力分析yz0z1zσt轴向拉力FN对应的应力FNnnOF

5.立柱横截面应力分析yz0z1z弯矩My对应的应力MynnOM

6.立柱横截面危险点的应力nnMyFNyz0z1zMyFN+=OFM

nnMyFNyz0z1zMyFN+=OFM7.求许可压力F例8.2最大吊重为W=8kN的起重机

如图所示，若AB杆为工字钢，材料为Q235钢,

[σ]=100MPa，试选择工字钢型号。解：

1)画出AB梁

的受力简图：2)

由ΣMA=0：

2.5Fy-4W=0Fy=4W/2.5=12.8kN

Fx=(2.5/0.8)·Fy=40kNABCWFXAYAFxFyABCD80025001500W4)从内力图上知危险截面位于C处左侧，

有:Mmax=-12kN·m

FN=Fx=-40kNM3)画AB梁的内力图

(M图和FN图)：ABCWFXAYAFxFy=12.8kN=40kNN

40kN2.5m1.5m1.5W=12kNm5)先初算预选工字钢型号：例8.2

最大吊重为W=8kN的起重机

如图所示，若AB杆为工字钢，材料为Q235钢,

[σ]=100MPa，试选择工字钢型号。从内力图上知危险截面位于C处左侧，有:Mmax=-12kN·m

FN=Fx=-40kNzMmaxσmax拉σmax压=Mmax/Wz=Mmax/WzC截面左边下缘各点有σmax=σM+σN=Mmax/Wz+FN/A

在初算时可以首先

只考虑弯曲正应力σM

来初选工字钢型号，而先不考虑轴压力的影响:即令

Mmax/Wz

≤[σ]=100MPaWz≥12×103/(100×106)=12×10-5m3=120cm3MN

40kN1.5W=12kNm例8.2

W=8kN，

[σ]=100MPa，

试选择工字钢型号。5)先初算预选工字钢型号：MN

40kN1.5W=12kNm例8.2

W=8kN，

[σ]=100MPa，

试选择工字钢型号。5)先初算预选工字钢型号：Wz

≥120cm3

可查P352附表4得:Wz=141cm3接近120cm3初选16号工字钢:A=26.1cm2再校核总的最大正应力:σmax=σM+σN=Mmax/Wz+FN/A=12×103/(141×10-6)+40×103/(26.1×10-4)=100.43×106

Pa=100.43MPa拉伸或压缩与弯曲的组合强度计算公式：同方向的应力代数值的叠加例题小结习题8.3CAB习题8.3

求AC梁的最大正应力30oWxFAAC梁的轴向压力：CAB习题8.3

求AC梁的最大正应力30oWxFAAC梁的轴向压力：弯矩方程：压弯组合:Mmax

为正弯矩

FN

为压力zMmaxσmax压σmax拉=Mmax/Wz=Mmax/Wz=FN/AσN压CAB习题8.3

求AC梁的最大正应力30oWxFAAC梁的轴向压力：压弯组合：习题8.3

求AC梁的最大正应力查表得：求正应力极值：正应力最大：故满足强度要求

求AC梁的最大正应力习题8.31.定义：外力作用线与杆的轴线平行但不重合时，将引起轴向压缩和平面弯曲两种基本变形。一、偏心压缩*§8-3偏心压缩和截面核心zyxFozyxFo偏心压缩举例B点的应力：Bzyx轴向压力产生的应力+Mz产生的应力+My产生的应力：F1.轴向压力产生的应力B轴向压力产生的应力+Mz产生的应力+My产生的应力：B点的应力：BzyxF2.Mz产生的应力BzB点的应力：Bzyx轴向压力产生的应力+My产生的应力+Mz产生的应力：F3.My产生的应力ByB点的应力：BzyBzy

横截面上离中性轴最远的点应力最大，故应先确定中性轴的位置，设中性轴上各点的坐标为y0，z0，于是有：Bzy

横截面上离中性轴最远的点应力最大，故应先确定中性轴的位置，设中性轴上各点的坐标为y0，z0，于是有：设中性轴与y轴、z轴的截距分别为ay

、az

：Bzy设中性轴与y轴、z轴的截距分别为ay

、az

：

上式表明ay

与yF、az

与zF符号相反，所以中性轴与偏心压力F的作用点分别位于坐标原点（截面形心）的两则。中性轴压拉Bzy设中性轴与y轴、z轴的截距分别为ay

、az

：中性轴压拉讨论：1、中性轴与F力作用点总是位于截面形心o

的两侧；2、中性轴将截面分成受压和受拉两部分；Bzy设中性轴与y轴、z轴的截距分别为ay

、az

：中性轴压拉讨论：3、作中性轴的平行线与截面相切D1，D2即为最大拉应力和最大压应力所在的点。D1D24、当中性轴与图形相切或远离图形时,整个图形上将只有拉应力或只有压应力。Bzy中性轴压拉D1D2By中性轴zBy中性轴zBzy设中性轴与y轴、z轴的截距分别为ay

、az

：中性轴截面核心：当外力作用点位于包括截面形心的一个区域内时，就可以保证中性轴不穿过横截面（整个截面上只有拉应力或压应力），此区域称为截面核心。Bzy设中性轴与y轴、z轴的截距分别为ay

、az

：中性轴截面核心的确定：当外力作用在截面核心的边界上时，与此相应的中性轴正好与截面的周边相切。截面核心的边界就由此关系确定。具体步骤如下：2)求得偏心力的作用点

yF，zF，这些点的连线就是截面核心的周界线。截面核心的确定：1)作若干条与截面边界相切的中性轴，分别求出其截距ay

、az

，然后代入下式O1①

zy1)以任意一根与截面相切的直线①为中性轴则其对应的偏心力作用点1的坐标为其截矩为O1①

zy2)同样的方法将与截面相切的直线②,③,…看成中性轴，求出对应的偏心力作用点2，3，…的坐标。3)连接1，2，3，…点所得到的封闭曲线即为截面核心的边界，该边界包围的面积即为截面核心。O12345①②y③④⑤z得力F作用点a的坐标：例8.3求图示矩形截面的截面核心。设中性轴①AB边重合，则有yzADCBhb①a例8.3求图示矩形截面的截面核心。yzADCBhb①a同理当中性轴②与BC边重合，则有力F作用点b的坐标为：②b例8.3求图示矩形截面的截面核心。yzADCBhb①a②b同理当中性轴与AD边重合，则有力F作用点的坐标为：当中性轴与CD边重合，则有力F作用点的坐标为：截面核心形状分析：yzADCBhb①a②b注意中性轴①、②都过B点。设中性轴③也过B点。③力F的作用点与中性轴的关系：如果要求中性轴始终通过一个固定点，则外力作用点移动的轨迹是直线。故截面核心形状为菱形例8.4求直径为d

的圆形截面的截面核心。解：建立坐标如图所示。作一条与圆截面相切于A点的直线①，将直线①看成中性轴，则：zy①Aod于是1点的坐标为

由于圆关于圆心极对称，于是截面核心，也应为关于圆心极对称的截面，所以截面核心是以O为圆心，d/8为半径的圆截面。①Aozyd例8.4求直径为d

的圆形截面的截面核心。1yzP思考题：求图示杆在力P作用下的最大拉应力，并指明所在位置。设横截面的高为h，宽为b。解：最大拉应力发生在后背面上各点处FlaS将力F

向圆杆右端截面的形心简化得横向力F

（引起平面弯曲）力偶矩M=Fa

（引起扭转）圆杆为弯曲与扭转局面组合变形FM=Fa§8-4扭转与弯曲的组合laSFM=Fa§8-4扭转与弯曲的组合研究对象圆截面杆受力特点杆件同时承受转矩和横向力作用变形特点发生扭转和弯曲两种基本变形画内力图确定危险截面laSFM=FaSFM=Fa扭矩图弯矩图固定端S截面为危险截面SF扭矩图弯矩图固定端S截面为危险截面二、应力分析1243M=FaT3124M1243固定端S截面为危险截面确定危险点：T3124M1243危险截面上的危险点为1

和3

点最大扭转切应力发生在截面周边上的各点处。危险截面S上的最大弯曲正应力发生在1

、3

处二、应力分析T3124M1243危险点1、3应力状态分析1S1243M=FaFT3124M1243危险点1、3应力状态分析3S1243M=FaF三、强度分析11.主应力计算1从上往下看三、强度分析1.主应力计算12.相当应力计算1第三强度理论：若为塑性材料2.相当应力计算1第四强度理论：该公式适用于图示的平面应力状态。是危险点的正应力,

是危险点的切应力。且横截面不限于圆形截面。讨论

该公式适用于弯扭组合变形；拉（压）与扭转的组合变形；以及拉（压）扭转与弯曲的组合变形。1.12.对于圆形截面杆1第三强度理论：对圆形截面：弯扭组合变形时,相当应力表达式可改写为2.对于圆形截面杆1第四强度理论：对圆形截面：弯扭组合变形时,相当应力表达式可改写为以上两式只适用于弯扭组合变形下的圆截面杆。第三强度理论：第四强度理论：塑性材料的圆截面轴弯扭组合变形

式中W

为抗弯截面系数，M、T

为轴危险面的弯矩和扭矩按第四强度理论有：扭弯组合问题的解题步骤：1)外力分析：所有外力向截面形心简化并分解。2)内力分析：画每个外力分量对应的内力图，确定其危险截面。3)应力分析：按强度理论建立强度条件:按第三强度理论得：(8.5)(8.7)例题传动轴如图所示.在A处作用一个外力偶矩Me=1kN·m,皮带轮直径D=300mm,皮带轮紧边拉力为F1,松边拉力为F2.且F1=2F2,l=200mm,轴的许用应力[]=160MPa.试用第三强度理论设计轴的直径。zF1F2xyABl/2l/2解:将力向轴的形心简化

轴产生扭转和垂直纵向对称面内的弯曲。CF=3F2MeMeMeC+T=1kN·m中间截面为危险截面+1kN·mF=3F2Me=1kN·m,l=200mm,[]=160MPa.扭矩图弯矩图MeMeC习题8.120.2P习题8.12 手摇铰车如图所示，轴的直径d=30mm，材料为Q235钢,[σ]=80MPa,卷简直径D=360mm,试按第三强度理论求铰车最大起吊重量P。解：1)画出AB轴简化力学模型:2)画AB轴的内力图,

M图和T图：ABT=P·D/2P

画受力图：MeMT0.18P习题8.12[σ]=80MPa,d=30mmABT=0.18PPMeMTMmax=0.2PT=0.18P3)为扭弯组合变形,

按第三强度理论有:(8.5)=10.15P×104≤80×106∴P≤788NENDyzMy此时危险点是最上和最下的点MzM（合弯矩）D2D1D1点有最大的拉应力D2点有最大的压应力α2α1例8.5图的说明FF’Me是通过拉力F和F’传递的例8.5某传动轴AB的直径为35mm，材料为45钢，许用应力[σ]=85Mpa。轴是由P=2.2kW的电动机通过皮带轮C带动，转速为n=966r/min。皮带轮C的直径为D=132mm，皮带拉力约为F+F’=600N。齿轮E的节圆直径为d1=50mm，Fn为作用与齿轮上的法向力。试校核轴的强度。CEBA