2017-2018版高中数学第一章立体几何初步7.3球的表面积和体积学案2

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGE13学必求其心得，业必贵于专精PAGE7。3球的表面积和体积学习目标1.了解球的表面积与体积公式，并能应用它们求球的表面积及体积.2。会求解组合体的体积与表面积．知识点一球的截面思考什么叫作球的大圆与小圆?梳理用一个平面α去截半径为R的球O的球面得到的是________,有以下性质：（1)若平面α过球心O，则截线是以________为圆心的球的大圆．（2）若平面α不过球心O，如图，设OO′⊥α，垂足为O′,记OO′＝d，对于平面α与球面的任意一个公共点P，都满足OO′⊥O′P,则有O′P＝eq\r（R2－d2)，即此时截线是以____为圆心，以r＝eq\r（R2－d2)为半径的球的小圆．知识点二球的切线（1）定义：与球只有________公共点的直线叫作球的切线．如图，l为球O的切线,M为切点．（2)性质：①球的切线垂直于过切点的半径;②过球外一点的所有切线的长度都________．知识点三球的表面积与体积公式前提条件球的半径为R表面积公式S＝________体积公式V＝________类型一球的表面积与体积例1(1）某几何体的三视图如图所示，则其表面积为______．（2)已知球的表面积为64π，求它的体积．反思与感悟(1)要求球的体积或表面积，必须知道半径R或者通过条件能求出半径R，然后代入体积或表面积公式求解．（2）半径和球心是球的最关键要素，把握住了这两点,计算球的表面积或体积的相关题目也就易如反掌了．(3)由三视图计算球或球与其他几何体的组合体的表面积或体积，最重要的是还原组合体，并弄清组合体的结构特征和三视图中数据的含义．根据球与球的组合体的结构特征及数据计算其表面积或体积．此时要特别注意球的三视图都是直径相同的圆．跟踪训练1（1）已知球的体积为eq\f（500，3)π，则其表面积为________．(2）某器物的三视图如图,根据图中数据可知该器物的体积是(）A。eq\f(4π，3) B。eq\f(\r(15)π,3)C。eq\f(4π,3）－eq\f（\r(15)π，3) D.eq\f(4π,3)＋eq\f(\r(15）π,3）类型二球的截面例2在半径为R的球面上有A,B，C三点，且AB＝BC＝CA＝3，球心到△ABC所在截面的距离为球半径的一半，求球的表面积．反思与感悟(1）有关球的截面问题，常画出过球心的截面圆,将问题转化为平面中圆的问题．（2)解题时要注意借助球半径R，截面圆半径r，球心到截面的距离d构成的直角三角形，即R2＝d2＋r2。跟踪训练2如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为()A.eq\f（500π,3）cm3B。eq\f(866π,3)cm3C.eq\f（1372π，3)cm3D。eq\f（2048π，3）cm3类型三与球有关的组合体eq\x（命题角度1球的内接或外切柱体问题）例3(1）一个长方体的各个顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1，2，3，则此球的表面积为________．（2）将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球,则该球的体积为________．反思与感悟(1)正方体的内切球球与正方体的六个面都相切，称球为正方体的内切球，若正方体的棱长为a，此时球的半径为r1＝eq\f（a,2)。(2）长方体的外接球长方体的八个顶点都在球面上,称球为长方体的外接球，根据球的定义可知,长方体的体对角线是球的直径,若长方体过同一顶点的三条棱长为a，b，c，则过球心作长方体的对角面有球的半径为r2＝eq\f(1,2）eq\r（a2＋b2＋c2).跟踪训练3设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a，顶点都在一个球面上,则该球的表面积为()A．πa2B.eq\f(7,3)πa2C。eq\f（11，3)πa2D．5πa2eq\x(命题角度2球的内接锥体问题）例4若棱长为a的正四面体的各个顶点都在半径为R的球面上，求球的表面积．反思与感悟将正四面体可以补成正方体．由此可得正四面体的棱长a与外接球半径R的关系为2R＝eq\f(\r（6)，2)a.跟踪训练4球的一个内接圆锥满足：球心到该圆锥底面的距离是球半径的一半，则该圆锥的体积和此球体积的比值为________．1．把3个半径为R的铁球熔成一个底面半径为R的圆柱，则圆柱的高为(）A．RB．2RC．3RD．4R2．平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为eq\r(2),则此球的体积为（)A。eq\r(6)πB．4eq\r（3)πC．4eq\r(6)πD．6eq\r（3)π3．如图是一个几何体的三视图,根据图中数据，可得该几何体的表面积是（）A．9πB．10πC．11πD．12π4．如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等,这时圆柱、圆锥、球的体积之比为________．5．若球的半径由R增加为2R，则这个球的体积变为原来的________倍，表面积变为原来的________倍．1．利用球的半径、球心到截面圆的距离、截面圆的半径可构成直角三角形,进行相关计算．2．解决球与其他几何体的切接问题时，通常先作截面，将球与几何体的各量体现在平面图形中，再进行相关计算．答案精析问题导学知识点一思考平面过球心与球面形成的截线是大圆．平面不过球心与球面形成的截线是小圆．梳理圆（1)O(2)O′知识点二（1)唯一（2）②相等知识点三4πR2eq\f（4,3)πR3题型探究例1(1)3π解析由三视图知该几何体为半球，则其表面积为eq\f(1，2)×4π×12＋π×12＝3π。(2）解设球的半径为R，则4πR2＝64π，解得R＝4，所以球的体积V＝eq\f（4，3)πR3＝eq\f（4,3)π·43＝eq\f（256,3）π.跟踪训练1（1）100π（2)D例2解依题意知，△ABC是正三角形，△ABC的外接圆半径r＝eq\f(\r(3），3)×3＝eq\r(3）。由R2＝（eq\f（R,2)）2＋(eq\r(3))2，得R＝2.所以球的表面积S＝4πR2＝16π.跟踪训练2A[利用球的截面性质结合直角三角形求解．如图,作出球的一个截面，则MC＝8－6＝2（cm），BM＝eq\f（1,2）AB＝eq\f(1，2)×8＝4(cm)．设球的半径为Rcm，则R2＝OM2＋MB2＝（R－2)2＋42，∴R＝5cm，∴V球＝eq\f(4,3）π×53＝eq\f（500π，3)(cm3）．］例3（1）14π解析长方体外接球直径长等于长方体体对角线长，即2R＝eq\r（12＋22＋32）＝eq\r(14)，所以球的表面积S＝4πR2＝14π.(2)eq\f(4,3)π解析由题意知,此球是正方体的内切球，根据其几何特征知,此球的直径与正方体的棱长是相等的，故可得球的直径为2，故半径为1,其体积是eq\f（4，3)×π×12＝eq\f（4π，3）.跟踪训练3B例4解把正四面体放在正方体中,设正方体棱长为x,则a＝eq\r(2)x，由题意2R＝eq\r(3）x＝eq\r（3）×eq\f（\r（2)a，2)＝eq\f(\r（6),2)a，∴S球＝4πR2＝eq\f（3,2)πa2.跟踪训练4eq\f(9，32)或eq\f（3，32）当堂训练1．D2．B［如图，设截面圆的圆心为O′,M为截面圆上任一点，则OO′＝eq\r(2），O′M＝1。∴OM＝eq\r（\r(