高中数学人教B版第一章立体几何初步 5

第14课时1.2.3课时目标1.理解线面垂直的概念．2．掌握直线与平面垂直的判定定理和性质定理．识记强化1．空间直线与平面垂直定义：如果一条直线和一个平面相交于一点，并且和这个平面内过交点的任何直线都垂直，我们说这条直线和这个平面互相垂直，这条直线叫平面的垂线，这个平面叫直线的垂面，交点叫垂足，垂线上任意一点到垂足间的线段，叫这个点到平面的垂线段，垂线段的长度叫这个点到平面的距离．2．直线与平面垂直的判定定理定理：如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直．推论1：如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面．推论2：如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行．3．直线与平面垂直的性质定理如果一条直线垂直于一个平面，那么它就和平面内的任意一条直线垂直．课时作业一、选择题(每个5分，共30分)1．给出下列三个命题：()①经过直线外一点有且只有一条直线与该直线垂直；②经过直线外一点有且只有一个平面与该直线垂直；③若a∥b，a⊥α，则b⊥α.其中正确命题的个数为()A．0B．1C．2D．3答案：C解析：①不正确，因为过直线外一点可以作一个平面与此直线垂直，平面上所有过该点的直线都与这条直线垂直；②正确，因为过直线外一点只能作一个平面与此直线垂直；③显然正确．故选C.2．已知两条异面直线平行于平面α，直线l与这两条异面直线都垂直，那么直线l与平面α的位置关系是()A．平行B．垂直C．斜交D．不能确定答案：B解析：设a，b为这两条异面直线，则a∥平面α，b∥平面α，l⊥a，l⊥b.过a作平面β∩α＝a′，则a∥a′，∴l⊥a′；过b作平面γ∩α＝b′，同理得l⊥b′.∵a，b为异面直线，∴a′与b′相交，又a′⊂平面α，b′⊂平面α，∴l⊥平面α.故选B.3．已知a，b，c是直线，α，β是平面，下列条件中，能得出直线a⊥α的是()A．a⊥b，a⊥c，且b⊂α，c⊂αB．a⊥b，b∥αC．α⊥β，a∥βD．a∥b，b⊥α答案：D解析：如果两条平行线中有一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面，故选D.4．已知m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是()A．若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥βB．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥nC．若m⊥α，m⊥n，则n∥αD．若n∥m，n⊥α，则m⊥α答案：D解析：对于A，若m∥n，则α与β可以相交；对于B，m与n还可以异面；对于C，n还可以在平面α内；对于D，显然正确．故选D.5．已知三条相交于一点的线段PA，PB，PC两两垂直，PH⊥平面ABC于点H，则垂足H是△ABC的()A.外心B．内心C．垂心D．重心答案：C解析：∵PA⊥PB，PA⊥PC，PB∩PC＝P，∴PA⊥平面PBC，∵BC⊂平面PBC，∴PA⊥BC.∵PH⊥平面ABC，∴PH⊥BC.又PA∩PH＝P，∴BC⊥平面PAH，∴BC⊥AH.同理可证AB⊥CH，AC⊥BH，∴H为△ABC的垂心．6．如图，O为正方体ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD的中心，则直线A1D，AA1，A1D1，A1C1中与B1OA．A1DB．AA1C．A1D1D．A1C答案：D解析：连接B1D1，则A1C1⊥B1D1.根据正方体的特征，可得BB1⊥A1C1，故A1C1⊥平面BB1D1D.又B1O⊂平面BB1D1D，所以B1O⊥A二、填空题(每个5分，共15分)7．已知PA垂直于平行四边形ABCD所在的平面，若PC⊥BD，则平行四边形ABCD一定是__________．答案：菱形解析：因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BD，又因为PC⊥BD，所以BD⊥平面PAC，又AC⊂平面PAC，所以AC⊥BD.8．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，PA⊥平面ABCD，且PA＝1，E为BD上一点，PE⊥DE，则PE的长为________．答案：eq\f(13,5)解析：连接AE.∵PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴PA⊥BD.又BD⊥PE，PA∩PE＝P，∴BD⊥平面PAE，∴BD⊥AE.∴AE＝eq\f(3×4,5)＝eq\f(12,5).在Rt△PAE中，由PA＝1，AE＝eq\f(12,5)，得PE＝eq\f(13,5).9．Rt△ABC所在平面外一点P到直角顶点C的距离为24cm，到两直角边的距离为6eq\r(10)cm.则P点到平面ABC的距离是________答案：12解析：设P到平面的距离为x，依题意有(6eq\r(10))2－x2＋(6eq\r(10))2－x2＝242－x2，解得：x＝12.三、解答题10．(12分)如图，在Rt△ABC中，D是斜边AB的中点，AC＝6，BC＝8，EC⊥平面ABC，EC＝12，求ED的长．解：连接CD.∵EC⊥平面ABC，CD⊂平面ABC，∴EC⊥CD.在Rt△ACB中，∠ACB＝eq\f(π,2)，BC＝8，AC＝6，故AB＝10.又∵D为AB的中点，∴CD＝eq\f(1,2)AB＝6.又∵EC＝12，∴ED＝eq\r(EC2＋CD2)＝eq\r(122＋62)＝6eq\r(5).11．(13分)如图，在四面体A－BCD中，∠BDC＝90°，AC＝BD＝2，E，F分别为AD，BC的中点，且EF＝eq\r(2).求证：BD⊥平面ACD.证明：取CD的中点为G，连接EG，FG.∵E，F分别为AD，BC的中点，∴EG∥AC，FG∥BD.又AC＝BD＝2，则EG＝FG＝1.∵EF＝eq\r(2)，∴EF2＝EG2＋FG2，∴EG⊥FG，∴BD⊥EG.∵∠BDC＝90°，∴BD⊥CD.又EG∩CD＝G，∴BD⊥平面ACD.能力提升12．(5分)如图，四棱锥P—ABCD的底面是矩形，侧面PAD是正三角形，且侧面PAD⊥底面ABCD，E是侧棱PD的中点．(1)求证：PB∥平面EAC；(2)求证：AE⊥平面PCD.证明：(1)连结BD，BD∩AC＝O，连结EO，则EO为△PDB的中位线，则PB∥EO.所以PB∥平面EAC.(2)eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(平面PAD⊥平面ABCD,矩形ABCD⇒CD⊥AD))⇒CD⊥平面PAD⇒CD⊥AE.eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(EP＝ED,正△PAD))⇒AE⊥PD，则AE⊥平面PCD.13．(15分)如图，在三棱锥P－ABC中，PA＝BC＝3，PC＝AB＝5，AC＝4，PB＝eq\r(34).(1)求证：PA⊥平面ABC.(2)过C作CF⊥PB于点F，在线段AB上是否存在一点E，使得PB⊥平面CEF？若存在，求点E的位置；若不存在，请说明理由．解：(1)由已知，得PC2＝PA2＋AC2＝25，PB2＝PA2＋AB2＝34，所以PA⊥AC，PA⊥AB.又AB∩AC＝A，所以PA⊥平面ABC.(2)假设在AB上存在一点E，使得PB⊥平面CEF.因为CE⊂平面CEF，所以PB⊥C