高中数学人教A版第二章点直线平面之间的位置关系 5

第14课时直线与平面垂直的判定课时目标掌握直线与平面平行的判定定理，会根据直线与平面垂直的定义及直线与平面垂直的判定定理解决相关问题．识记强化1．直线与平面垂直的定义：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直，记作l⊥α.直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面．直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做垂足．画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直．2．直线与平面垂直的判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．简称为线面垂直．符号表示：a⊥m，a⊥n，m、n⊂α，且m∩n＝A⇒a⊥α.3．直线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角．一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是直角；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是0°的角．课时作业一、选择题(每个5分，共30分)1．已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中，一定能推出m⊥β的是()A．α∥β，且m⊂αB．m∥n，且n⊥βC．m⊥n，且n⊂βD．m⊥n，且n∥β答案：B解析：A中，由α∥β，且m⊂α，知m∥β；B中，由n⊥β，知n垂直于平面β内的任意直线，再由m∥n，知m也垂直于β内的任意直线，所以m⊥β，B符合题意；C、D中，m⊂β或m∥β或m与β相交，不符合题意．故选B.2．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，侧面AA1D1D为正方形，E为棱CD上任意一点，则AD1与B1E的关系为A．AD1⊥B1EB．AD1∥B1EC．AD1与B1E共面D．以上都不对答案：A解析：连接A1D，则由正方形的性质，知AD1⊥A1D.又B1A1⊥平面AA1D1D，所以B1A1⊥AD1，所以AD1⊥平面A1B1ED.又B1E⊂平面A1B1ED，所以AD1⊥B13．下列四个命题中，正确的是()①若一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，则这条直线与这个平面垂直；②若一条直线平行于一个平面，则垂直于这条直线的直线必垂直于这个平面；③若一条直线平行于一个平面，另一条直线垂直于这个平面，则这两条直线互相垂直；④若两条直线垂直，则过其中一条直线有唯一一个平面与另一条直线垂直．A．①②B．②③C．②④D．③④答案：D解析：若一条直线垂直于一个平面内的无数条平行的直线，则这条直线与这个平面不一定垂直，所以①错误．若一条直线平行于一个平面，垂直于这条直线的直线也可能平行于这个平面，所以②错误．若一条直线平行于一个平面，则平面内必有一条直线与之平行，另一条直线垂直于这个平面，则该直线与平面内的那条直线垂直，从而这两条直线互相垂直，所以③正确．显然若两条直线垂直，则过其中一条直线与另外一条直线垂直的平面只有一个，所以④正确．4．已知直线m，n是异面直线，则过直线n且与直线m垂直的平面()A．有且只有一个B．至多一个C．有一个或无数个D．不存在答案：B解析：当m⊥n时，有且只有一个；当m与n不垂直时，则没有．5．PO⊥平面ABC，O为垂足，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝5，PA＝PB＝PC＝10，则PO的长等于()A．5B．5eq\r(2)C．5eq\r(3)D．20答案：C解析：∵PA＝PB＝PC，∴P在面ABC上的射影O为△ABC的外心．又∵△ABC为直角三角形，∴O为斜边BA的中点．在△ABC中，BC＝5，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，∴PO＝eq\r(PC2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(AB,2)))2)＝5eq\r(3).6.如图所示，四棱锥S—ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中不正确的是()A．AC⊥SBB．AB∥平面SCDC．SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角D．AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角答案：D解析：选项A正确，因为SD垂直于平面ABCD，而AC在平面ABCD中，所以AC垂直于SD；再由ABCD为正方形，所以AC垂直于BD，而BD与SD相交，所以，AC垂直于平面SBD，进而垂直于SB.选项B正确，因为AB平行于CD，而CD在平面SCD内，AB不在平面SCD内，所以AB平行于平面SCD.选项C正确，设AC与BD的交点为O，连接SO，则SA与平面SBD所成的角就是∠ASO，SC与平面SBD所成的角就是∠CSO，易知这两个角相等．选项D错误，AB与SC所成的角等于∠SCD，而DC与SA所成的角是∠SAB，这两个角不相等．二、填空题(每个5分，共15分)7．已知直线l，a，b，平面α，若要得到结论l⊥α，则需要在条件a⊂α，b⊂α，l⊥a，l⊥b中另外添加的一个条件是________．答案：a与b相交解析：由直线与平面垂直的判定定理，知需添加的一个条件是a与b相交．8．过正方体ABCD－A1B1C1D1的8个顶点中的任意3个的平面中，与体对角线AC1垂直的平面有________个答案：2解析：利用直线与平面垂直的判定定理，知AC1⊥平面A1BD，AC1⊥平面CB1D1，共有2个．9．如图，在棱长为2的正方体ABCD—A1B1C1D1中，E是AD的中点，F是BB1的中点，则直线EF与平面ABCD所成角的正切值为________答案：eq\f(\r(5),5)解析：连接EB，由BB1⊥平面ABCD，知∠FEB即直线EF与平面ABCD所成的角．在Rt△FBE中，BF＝1，BE＝eq\r(5)，则tan∠FEB＝eq\f(\r(5),5).三、解答题10．(12分)如图，在四面体A－BCD中，∠BDC＝90°，AC＝BD＝2，E，F分别为AD，BC的中点，且EF＝eq\r(2).求证：BD⊥平面ACD.证明：取CD的中点为G，连接EG，FG.∵F、G分别为BC，CD的中点，∴FG∥BD，EG∥AC.又E为AD的中点，AC＝BD＝2，则EG＝FG＝1.∵EF＝eq\r(2)，∴EF2＝EG2＋FG2，∴EG⊥FG，∴BD⊥EG.∵∠BDC＝90°，∴BD⊥CD.又EG∩CD＝G，∴BD⊥平面ACD.11．(13分)在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，已知AA1＝2AB，求CD与平面BDC1所成角的正弦值解：如图，设AA1＝2AB＝2，连接AC交BD于点O，连接OC1，A1C1，过点C作CH⊥OC1于点H，连接DH∵BD⊥AC，BD⊥AA1，AC∩AA1＝A，∴BD⊥平面ACC1A1∵CH⊂平面ACC1A1，∴CH⊥BD又CH⊥OC1，OC1∩BD＝O，∴CH⊥平面BDC1，∴∠CDH即CD与平面BDC1所成的角．又OC1＝eq\r(CC\o\al(2,1)＋OC2)＝eq\r(4＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))2)＝eq\f(3,\r(2))，由等面积法，得OC1·CH＝OC·CC1，解得CH＝eq\f(2,3)，∴sin∠CDH＝eq\f(CH,CD)＝eq\f(2,3).能力提升12．(5分)设三棱锥P—ABC的顶点P在平面ABC上的射影是H，给出以下说法：①若PA⊥BC，PB⊥AC，则H是△ABC垂心；②若PA，PB，PC两两互相垂直，则H是△ABC垂心；③若∠ABC＝90°，H是AC的中点，则PA＝PB＝PC；④若PA＝PB＝PC，则H是△ABC的外心．其中正确说法的序号依次是________．答案：①②③④解析：根据题意画出图形即可．13．(15分)如图，已知∠BOC在平面α内，OA是平面α的斜线，且∠AOB＝∠AOC＝60°，OA＝OB＝OC＝1，BC＝eq\r(2)，求OA与平面α所成的角的大小．解：∵OA＝OB＝OC＝1，∠AOB＝∠AOC＝60°，∴△AOB、△AOC为正三角形，∴AB＝AC＝1，又BC＝eq\r(2)，