第6章控制系统的稳定性

第六章控制系统的稳定性分析

6.1系统稳定性的基本概念

6.2劳斯稳定判据

6.3奈奎斯特稳定判据

6.4由伯德图判断系统的稳定性

6.5控制系统的相对稳定性6.6控制系统稳定性的计算机辅助分析本章教学要求：1.掌握系统稳定性的数学定义及充要条件，熟悉用稳定性的必要条件判断系统稳定性的方法2.掌握用routh-hurwitz判据判断系统稳定性的方法3.掌握nyquist判据使用方法4.熟悉nyquist图与bode图的相位穿越概念，并掌握用bode判据分析系统稳定性的方法5.了解相对稳定性的概念，掌握判断系统相对稳定性的方法6.1系统稳定性的基本概念acbd稳定的摆不稳定的摆控制系统在外部扰动作用下偏离其原来的平衡状态，当扰动作用消失后，系统仍能自动恢复到原来的初始平衡状态。(a)外加扰动注意：以上定义只适用于线性定常系统。稳定性的定义控制系统注意：稳定性是控制系统自身的固有特性，取决于系统本身的结构和参数，与输入无关。(b)稳定(c)不稳定大范围稳定:不论扰动引起的初始偏差有多大，当扰动取消后，系统都能够恢复到原有的平衡状态。（a）大范围稳定AB（b）小范围稳定小范围稳定:当扰动引起的初始偏差在一定范围内，当扰动取消后，系统能够恢复到原有的平衡状态；而扰动引起的初始偏差超出其范围内，当扰动取消后，系统不能够恢复到原有的平衡状态。abcde（C）不稳定AB不稳定:只要扰动引起一点初始偏差，当扰动取消后，系统也不能够恢复到原有的平衡状态。临界稳定：若系统在扰动消失后，输出与原始的平衡状态间存在恒定的偏差或输出维持等幅振荡，则系统处于临界稳定状态。注意：经典控制论中，临界稳定也视为不稳定。原因：(1)在进行系统分析时，所依赖的模型通常是简化或线性化； (2)实际系统参数的时变特性； (3)系统必须具备一定的稳定裕度。系统稳定的充要条件系统的稳定性

关于系统运动的稳定性理论，是俄国学者李亚普诺夫（А.М.Лялунов）于1892年确立的。线性定常系统，在脉冲扰动的作用下，系统的运动随着时间的增长，可以逐渐趋于零，则称该系统是稳定的（系统（渐近）稳定）。否则系统是不稳定的。定义：若系统在初始偏差作用下，其过渡过程随时间的推移，逐渐衰减并趋于零，具有恢复平衡状态的性能，则称该系统为渐近稳定，简称稳定。反之为不稳定。ttt=0t--传递函数--脉冲函数作用下N(s)=1。系统脉冲响应：对于稳定系统，t

→时，输出量xo(t)=0。即如果pi和i均为负值，当t→时，xo(t)→0系统稳定的充分必要条件：系统特征方程的根全部具有负实部，即：系统闭环传递函数的极点全部在S平面左半部。稳定性与零点无关。S平面稳定区不稳定区临界稳定S平面注：稳定性是线性定常系统的一个属性，只与系统本身的结构参数有关，与输入输出信号无关，与初始条件无关；只与极点有关，与零点无关。系统特征方程系统稳定的必要条件系统稳定的必要条件是-----系统特征方程的各项系数具有相同的符号，且无零系数（即系统特征方程不存在缺项）。假设系统特征根为s1、s2、…、sn-1、sn使用待定系数法分析特征方程根与系数之间的关系各根之和每次取两根乘积之和每次取三根乘积之和各根之积系统特征方程的全部根具有负实部，则特征方程的系数必然同号（不妨设为均大于零）。例：试判断系统：的稳定性解：系统的闭环特征方程为：所有特征根均在左半s平面，所以，系统稳定。例：某水位控制系统如图，讨论该系统的稳定性。：被控对象水箱的传递函数；：执行电动机的传递函数；K1：进水阀门的传递系数Kp：杠杆比H0：希望水位高H

：实际水位高系统闭环传递函数为：系统特征方程为：无论怎样调整系统的参数，如(K、Tm)，都不能使系统稳定。为三阶系统，但缺少s项，即对应的特征多项式的中有系数为0，不满足系统稳定的必要条件，所以该系统不稳定。——为系统的开环放大系数令则特征方程展开写为Xi(s)Xo(s)系统传递框图例：判断如图所示单位负反馈系统是否稳定。其系统闭环传递函数为特征方程为特征方程的根为可见，此系统两个根均具有负实部，所以系统稳定。控制系统稳定性可以通过求解特征方程和特征根来判断，但是使用这种方法求解三阶以上特征方程非常困难，因而提出其它稳定性判据。要使特征方程的根全部具有负实部的必要条件：（1）特征方程的各项系数（2）特征方程的各项系数的符号全部相同即：特征方程的各项系数全部大于0。6.2劳斯稳定判据系统的特征方程充分条件：“劳斯阵列”第一列所有项全部为正。劳斯阵列是利用劳斯判据进行系统稳定性分析的主要工作，其列写步骤如下：列写系统特征方程并使用必要条件判断稳定性由系统特征方程的各项系数排成劳斯阵列的前两行其中，第一行为sn、sn-2、sn-4的各项系数依次排成；第二行为sn-1、sn-3、sn-5的各项系数依次排成。劳斯阵列计算行列式的其余各行计算劳斯阵列的每一行都要用到该行前面两行的数据一直计算到最后一行算完为止。然后判断阵列中第一列系数的符号，若全部>0,则系统稳定；否则，第一列系数符号改变的次数，就为特征方程在右半s平面的根数。劳斯阵列【例】：特征方程为

，试判断稳定性。【解】：劳斯阵列为：所以二阶系统稳定的充要条件是：均大于零【例】：特征方程为， 试判断稳定性。【解】：劳斯阵列为：三阶系统稳定的充要条件：均大于零且【例】已知特征方程为试用劳斯判据判别系统的稳定性。解由必要条件判断系统各项系数均大于0，作劳斯阵列如下第一列中有负值出现，不全部大于零，所以系统不稳定。例

设有系统的方框图如图所示。已知=0.2,n

=86.6，试确定K的值使系统稳定。解：系统的开环及闭环传递函数分别为:开环闭环闭环传递函数的特征方程为:代入已知参数,得:-+XiXoE++1K/s作劳斯阵列:系统稳定的条件为:(1)必要条件:7500K>0即K>0(2)充分条件:即K<34.6所以，使系统稳定的K值的范围为:0<K<34.6两种特殊情况特殊情况一【例】【解】各项系数均为正数，满足稳定的必要条件特殊情况：第一列出现0，该行其余项不为零。解决方法：用任意小正数代之。第一列符号改变2次，有2个正实根。【解】各项系数均为正数，满足稳定的必要条件【例】第一列符号改变2次，有2个正实根。第一列全为正，临界稳定，解A(s)可得虚根特殊情况二【例】【解】各项系数均为正数，满足稳定的必要条件特殊情况：有一行元素全为0。解决方法：全0行的上一行元素构成辅助方程，求导后得到系数方程。【解】各项系数均为正数，满足稳定的必要条件【例】D(s)=s2(s+2)+(s+2)=(s+2)(s2+1)第一列全为正，无正实根，有虚根，临界稳定。s1=j,s2=-j,s3=-2A(s)=2s2+2=0②由零行的上一行构成辅助方程劳斯阵列出现零行特征方程为：①有大小相等符号相反的特征根时会出现零行。对其求导得零行系数方程:继续计算劳斯表第一列全大于零，则系统临界稳定由综合除法可得另两个根为S3，4=-2，-3解辅助方程得对称根:S1，2=±j劳斯阵列出现零行，系统一定不稳定劳斯阵列出现全零行:系统在s平面有对称分布的根大小相等符号相反的根共轭虚根对称于实轴的两对共轭复根【例】设系统如下图所示，试计算使系统稳定的K值范围。【解】系统的闭环传递函数为根据三阶系统稳定的充要条件：均大于零且系统的特征方程【例】已知单位反馈系统的开环传递函数试确定闭环系统稳定时参数K的取值范围。【解】系统的闭环传递函数特征方程特征方程K+1>0

即

K>-1,同时要满足

K>

0,K<3，所以稳定范围：0<K<3劳斯判据的不足：定性——较难从量上判断系统的稳定程度必须知道系统的闭环传递函数对含有延迟环节的系统无效劳斯稳定判据有三个功能：①可进行稳定性判断。②可判断不稳定情况下有几个正实部根，即有几个极点在[S]平面右半部。③可求控制系统的增益，即放大系数K。

2.赫尔维茨稳定判据设系统的特征方程为:

不失一般性，设。因为当时，只要用-1乘以上式的两边，即可满足假设条件。构造赫尔维兹（Hurwitz）行列式如下:

注意到,n阶系统的赫尔维兹行列式的主对角线上的元素依次为，每列元素是以主对角线元素为基准，往下按注脚递增的顺序排列，往上按注脚递减的顺序排列，凡是注脚大于n或小于零的系数均为零。而低阶赫尔维兹行列式是的各阶顺序主子式。

赫尔维兹稳定判据：设系统的特征方程式为系统稳定的充分必要条件是an>0，且由特征方程系数构成的赫尔维茨行列式的主子行列式全部为正。例：使用赫尔维茨判据判断稳定性，特征方程如下：赫尔维茨行列式为：稳定的充要条件是：3李纳德-戚帕特稳定判据李纳德-戚帕特（Lienard-Chipart）证明，在特征多项式系数为正的条件下，若所有奇数阶赫尔维兹行列式均为正，，则所有偶数阶赫尔维兹行列式也为正，即，，，反之亦然。所以，有下列李纳德-戚帕特稳定判据。

李纳德-戚帕特稳定判据：设特征多项式系数全为正，则系统稳定的充分必要条件是:

（若为奇数)或

（若为偶数)[例]：系统的特征方程为：试用赫尔维茨定理判稳。[解]：系统的特征方程为：列赫尔维茨行列式：所以，系统是稳定的。注意：由于所以根据Lienard-Chipard定理，只要计算 这样可以减小一半的计算量。

4.劳斯判据与赫尔维兹判据的关系

劳斯判据与赫尔维兹判据虽然是独立提出的，但本质上是一样的。劳斯阵列的第一列元素Cij和赫尔维兹行列式的关系是：因此，在an>0的情况下，如果所有的赫尔维兹行列式为正值，那么，劳斯阵列的第一列元素必大于零，反之亦然。6.3奈奎斯特稳定性判据闭环系统稳定的充要条件：闭环系统特征方程的特征根全部具有负的实部。Routh判据：利用闭环特征方程根与系数之间的关系来判定闭环系统的稳定性。——是一种代数判据Nyquist判据：利用开环频率特性的Nyquist图，分析闭环系统的稳定性。——是一种几何判据系统稳定的充要条件是所有稳定性判据的基础。Routh稳定判据是时域中的有效判据。与此类似，Nyquist及Bode稳定判据是常用的频域稳定性判据。特点：频域稳定判据是用开环频率特性判别闭环系统的稳定性。不仅能判断系统的绝对稳定性，而且可根据相对稳定的概念，讨论闭环系统的瞬态性能，指出改善系统性能的途径。Nyquist判据能如Routh判据那样，指出系统不稳定闭环极点的个数，即具有正实部的特征根的个数。还能指出系统的稳定性储备——相对稳定性。指出进一步提高和改善系统动态性能的途径。-p1,-p2,,-pn—F(S)的极点，也是开环特征方程的根。6.3.1幅角原理-z1,-z2,,-zm—F(S)的零点，也是闭环特征方程的根。令F(s)建立了系统的闭环特征多项式、开环特征多项式和开环传递函数G(s)H(s)之间的关系若在S平面上任取一封闭曲线Cs，且令S以顺时针方向沿着Cs变化，则对于此区域内的任何一点ds，都可以在F(S)平面上找到一个相应的点df，求得其在F(S)平面上的映射曲线CF。CFjVu∠F(s)σCsXXXXjωsZiPkZrPrPsPqdsdf假设复变函数F(s)是s的单值解析函数，那么对于s平面上的任一点，在F(s)平面上必定有一个对应的映射点。设s为一复数变量，F(s)是s的有理分式函数，设其形式为如果在s平面画一条封闭曲线，并使其不通过F(s)的任一奇异点（即F(s)的零点和极点），则在F(s)平面上必有一条对应的映射曲线。[柯西幅角定理]：设F(s)为s的多项式分式型函数，除在[s]平面的有限个奇异点外，为单值连续正则函数。如果解析点s1在[s]平面上沿封闭曲线Γs(Γs不经过F(s)的奇异点）按顺时针方向连续变化一周，那么函数F(s)在平面上的映射也是一条封闭曲线Γf，并且Γf按顺时针方向包围原点的圈数N=Z-PZ是包围于Γs内F(s)函数的零点个数，P是包围于Γs

内F(s)函数的极点个数。

N>0，Γf顺时针包围原点

N<0，Γf逆时针包围原点

N=0，Γf不包围原点6.3.2奈奎斯特稳定判据1）反馈系统开环与闭环的特征多项式的关系开环传递函数函数F(s)的分子、分母分别是系统闭环与开环的特征多项式（极点多项式），由于开环传递函数分母阶次大于等于分子阶次，故分子分母阶次相同，均为n阶。闭环传递函数作辅助方程辅助方程与开环传递函数的关系。所构造的辅助方程为F(s)=1+G(s)H(s)，G(s)H(s)为开环传递函数。因此，有以下两点是明显的：

1)

F(s)=1+G(s)H(s)对原点的包围，相当于G(s)H(s)对(-1,j0)点的包围；因此映射曲线F(s)对原点的包围次数N与G(s)H(s)对(-1,j0)点的包围的次数一样。2)F(s)的极点就是G(s)H(s)的极点，因此F(s)在右半平面的极点数就是G(s)H(s)在右半平面的极点数。F(jω)=1+G(jω)H(jω)G(jω)H(jω)与F(jω)的奈奎斯特关系ⅠⅡⅢ令ω从-∞增长到0，相应得出的奈奎斯特图是与ω从0增长到+∞得出的奈奎斯特图以实轴对称的，例如图所示的奈奎斯特图。ImRe

0

6.3.3

奈奎斯特稳定判据表述闭环系统稳定的充分必要条件是系统的开环频率特性G(jω)H(jω)，当ω从-∞变化到+∞时逆时针包围(-1,j0)点的圈数N，等于其开环传递函数G(s)H(s)在S平面右半部的极点数P。即：Z=P–N，闭环稳定的充要条件Z=0，∴N=P;

N—G(s)H(s)逆时针包围(-1,j0)点的圈数,Z—闭环在右半平面的极点数,P—开环在右半平面的极点数。(或:N=Z-P,Z=N+P)N—G(s)H(s)

顺时针包围(-1,j0)点的圈数

【例】

反馈系统开环极点均在s平面的左半平面，开环频率特性极坐标图如图所示，试判断闭环系统的稳定性。【解】P=0，图中ω由-∞→+∞时，G(jω)H(jω)曲线不包围(-1，j0)点，即N=0，所以闭环系统是稳定的。开环稳定(即P=0)时，闭环系统稳定的充分必要条件是系统的开环频率特性G(jω)H(jω)，当ω从-∞变化到+∞时逆时针不包围(-1,j0)点。否则闭环系统不稳定。【例】

开环传递函数为：

试用奈氏判据判断闭环系统的稳定性。【解】开环系统的奈氏图如右。在s右半平面的极点数为P=0，绕(-1,j0)点的圈数N=0，故闭环系统是稳定的。T1=2,T2=5,k=2【例】

设开环系统传递函数为：

试用奈氏判据判断闭环系统的稳定性。【解】开环极点为-1

及（-1±j2)，都在s左半平面即P=0。奈氏图如右。从图中可以看出：奈氏图顺时针围绕(-1,j0)点2圈，故闭环系统不稳定。【例】

系统结构右图所示，试判断闭环系统的稳定性，并讨论稳定性和k的关系。-【解】开环系统奈氏图是一个半径为k/2，圆心在(-k/2,0)的圆。显然，k>1时，包围(-1,j0)点，k<1时不包围(-1,j0)点。1）由图中看出：P=1，当

k>1时，奈氏曲线逆时针包围(-1,j0)点一圈N=1，则N=P，闭环系统是稳定的。2）当k=1时，奈氏曲线通过(-1,j0)点，属临界稳定状态。3）当k<1时，奈氏曲线不包围(-1,j0)点，N=0，P=1，则Z=1，所以闭环系统不稳定。关于奈奎斯特稳定判据有如下说明：①对于开环稳定的系统（即P=０，G(s)H(s)在右半s平面无极点），当且仅当开环频率特性曲线G(jω)H(jω)不通过也不包围(-1，j0)点，即N=0时，闭环系统稳定；②对于开环不稳定的系统（即P≠0，G(s)H(s)在右半s平面含有P个极点），当且仅当开环频率特性曲线G(jω)H(jω)逆时针包围(-1，j0)点P圈，即N=P时，闭环系统稳定；③如果N≠P，则闭环系统不稳定，闭环正实部特征根的个数为Z=P–N；

④当开环频率特性曲线G(jω)H(jω)通过(-1，j0)点时，闭环系统处于临界稳定状态。设系统的开环传递函数为6.3.3开环传递函数具有原点处极点的处理式中：ν—开环传递函数中位于原点的极点个数。考虑s平面上有位于坐标原点的ν个极点，Nyquist稳定判据为：系统的开环传递函数有ν个极点位于s平面原点时，将其作为左极点处理，并增补相位，如果增补开环频率特性曲线G(jω)H(jω)（ω从-∞→+∞）逆时针包围（-1，j0）点的次数N等于系统开环右极点个数P，则闭环系统稳定，否则系统不稳定。开环Nyquist曲线的辅助线（增补线）(v为开环积分环节的数目)相连起始点(0+)

(0+)+v90°线ω=0+ReImω1ω2ω4ω=∞-1

一般习惯上把系统开环的零根作为左根对待含有一个积分环节的奈奎斯特图含有两个积分环节的奈奎斯特图含有三个积分环节的奈奎斯特图

应用奈氏判据分析系统稳定性时，可能会遇到下列三种情况：

当系统开环传递函数G(s)H(s)的全部极点都位于s平面左半部时(P=0)，如果开环的奈氏曲线不包围GH平面的（-1,j0）点（N=0），则闭环系统是稳定的（Z=P-N=0），否则是不稳定的；当系统开环传递函数G(s)H(s)有P个位于s平面右半部的极点时(非最小相位系统)，如果系统开环奈氏曲线逆时针包围(-1,j0)点的圈数等于位于s平面右半部的开环极点数（N=P），则闭环系统是稳定的(Z=P-N=0

)，否则不稳定;Ⅲ.如果系统的开环奈氏曲线顺时针包围（-1,j0)点N圈（N>0），则无论开环传递函数G(s)H(s)有无右极点，闭环系统总是不稳定的（Z=P+N>0）。综上，开环奈氏曲线是否包围GH平面的(-1,j0)点是判别系统是否稳定的重要依据（当然还须考虑是否存在s平面右半部的开环极点和开环奈氏曲线包围（-1,j0）点的方向）。当开环奈氏曲线恰好通过GH平面的（-1,j0）点（注意不是包围），此时如果系统无位于s平面右半部的开环极点，则系统处于临界稳定状态。频域稳定性分析小结

1）最小相位系统系统稳定的充要条件为：奈奎斯特曲线不包围(-1，j0)点。

2）原点处有开环极点情况

原点有个开环极点：0

时，复变函数G(j)H(j)在原点处不解析，幅角增量值不定。处理方法如图。作无穷小半圆饶过原点，即将原点处的开环极点视为s左半平面的极点(左极点)处理，并增补相位，系统稳定的充要条件为：奈奎斯特曲线不包围(-1，j0)点。s+0jwS平面0dRew=0+ImG(jω)H(jω)平面

0

增补角

w®+¥

增补线3）非最小相位系统当系统开环传递函数G(s)H(S)有P个位于S平面右半部的极点时，如果系统的开环奈氏曲线逆时针包围(-1,j0)点的圈数等于位于S平面右半部的开环极点数（N=P），则闭环系统是稳定的(Z=P+N=0），否则是不稳定的。

6.3.4简易奈奎斯特稳定判据

（1）正、负穿越的概念

G(jω)H(jω)曲线对称实轴。应用中只画ω

=0→∞的部分。 所谓“穿越”是指G(jω)H(jω)开环频率特性曲线，从ω

=0→∞时穿过负实轴（-1，-∞）段。正穿越：从上而下穿过该段一次（相角增加），用N+表示。负穿越：由下而上穿过该段一次（相角减少），用N-

表示。负穿越0(－1，j0)ImRe+-0(－1，j0)ImRe正穿越

N+=2，N-=1若G(jω)H(jω)轨迹起始或终止于(-1,j0)以左的负轴上，则穿越次数为半次，且同样有+1/2次穿越和-1/2次穿越。奈奎斯特稳定判据：闭环系统稳定的充要条件是，当ω由0变化到∞时，G(jω)H(jω)曲线在(-1，j0)点以左的负实轴上的正负穿越之差为P/2。（P为开环传递函数在s右半平面的极点数）N+-N-=P/2{实际上曲线逆时针绕(-1,j0)点圈数Z=2(N+-N-)}奈氏判据判稳实用步骤1、做常规开环传递函数极坐标图(0+≤≤+∞)；2、从G(j0+)H(j0+)开始，逆时针补画一条半径为∞，圆心角为的圆弧；3、计算N(按照正负穿越情况计算)；4、从G(s)H(s)中找出不稳定极点数P；5、按照奈氏判据N+-N-

=P，判定系统的稳定性。【例】某系统G(jω)H(jω)轨迹如下，已知有2个开环极点分布在s的右半平面，试判别系统的稳定性。【解】系统有2个开环极点分布在s的右半平面(P=2)，G(jω)H(jω)轨迹在点(-1,j0)以左的负实轴有2次正穿越，1次负穿越，因为：

N+-N-=

2-1=1=P/2，所以系统稳定。

【例】系统的开环频率特性如下图所示，试分析系统稳定性。【解】a）N+=0，N-=1，N+-N-=-1≠P/2=0，系统不稳定。b）K>1时，N+=1，N-=1，N+-N-=0=P/2，系统稳定。

K<1时，N+=0，N-=1，N+-N-=-1≠P/2=0，系统不稳定。

K=1时，奈氏曲线穿过(-1,j0)点，由上面可以看出，系统处于临界稳定。

a）

b）-1【例】如图所示的奈氏曲线中，判别哪些是稳定的，哪些是不稳定的。稳定不稳定不稳定稳定不稳定稳定系统开环奈氏图与单位圆交点频率即剪切频率ωc，另设与实轴相交点频率为ωg。当幅频特性A(ω)>1时，就相当于开环伯德图L(ω)>0dB；A(ω)<1时，就相当于开环伯德图L(ω)<0dB。这样，把右图转换成伯德图时，其单位圆相当于对数幅频特性的0dB线，而ωg点处相当于对数相频特性的-π轴。如果开环特征多项式没有右半平面的根，且在L(ω)≥0的所有角频率范围内，相角范围都大于–π

线，那么闭环系统是稳定的。(图中曲线1稳定，曲线2不稳定)

6.4对数频率特性稳定判据开环系统的极坐标图（奈氏图）和对数坐标图（伯德图）有如下的对应关系：极坐标图单位圆单位圆以内区域(幅值<1)单位圆以外区域(幅值>1)负实轴伯德图0db线（对数幅频特性图）0db线以下区域0db线以上区域-180°线（相频特性图）因此，奈奎斯特曲线自上而下（或自下而上）地穿越（-1，j0）点左边的负实轴，相当于在伯德图中当L(ω)>0db时相频特性曲线自下而上（或自上而下）地穿越-180°线。Nyquist图：正穿越——在（-1，j0）点左侧逆时针穿过负实轴负穿越——在（-1，j0）点左侧顺时针穿过负实轴Bode图：正穿越——幅频在0dB以上时相频自下而上穿过-180度线负穿越——幅频在0dB以上时相频自上而下穿过-180度线ReImω

=0+ω1

ω2ωcω4ω=∞-1L(ω)0φ(ω)ω1ω2ωcω4ωω0°-90°-180°0(－1，j0)ImRe+-+-0°-180°Φ(ω)ω由伯德图判断闭环系统稳定在开环对数幅频的频段内，对应的开环对数相频特性曲线对-π

线的正、负穿越次数之差为P/2

。即 N+－N-=P/2

。P为系统开环传递函数位于[S]右半平面的极点数。伯德稳定判据例系统的开环对数频率特性如下图，试判别开环系统的稳定性。解：N+=1，

N-=2，

N+-N-=-1≠P/2=1系统闭环不稳定。解：N+=2，

N-=1，

N+-N-=1=P/2系统闭环稳定。6.4.1稳定裕度概念(-1,j0)特征方程最接近虚轴的根至虚轴的距离越大，系统稳定性越好。（虚轴是系统的临界稳定边界）在[GH]平面上，G(j)H(j)轨迹不包围(-1，j0)点，且离(-1，j0)点越远，系统稳定性越好6.4频域稳定裕度

稳定裕度是反映闭环系统稳定程度（相对稳定性）的指标。可以定量地使用系统闭环极点至虚轴的距离来描述，也可用系统开环nyquist轨迹与(-1,j0)点的靠近程度来反映，是评价系统稳定性好坏的性能指标，是系统动态设计的重要依据之一。稳定裕度常用相位裕度

和幅值裕度Kg来衡量。

1）相位裕度

剪切频率c：开环幅相曲线上，幅值为1时的频率称为剪切频率。即=180º+(c)物理意义：若系统剪切频率c处的相位滞后再增加角，系统处于临界稳定。相位裕度

-----

在剪切频率c上系统达到稳定边界所需要的附加相位滞后量

2）幅值裕度Kg

(

或h)

相角交界频率g：开环幅相曲线上，相角为-180°点的频率称为相角交界频率。即

幅值裕度Kg：开环幅相曲线与负实轴交点处幅值的倒数称为幅值裕度，记为：物理意义：若系统开环增益增大到原来的Kg倍，系统处于临界稳定。A(ωg)=1/KgL(ω）0φ(ω）-90°-180°-270°ωωKg(db)>0ωgωcγ>0L(ω）0φ(ω）-90°-180°-270°ωωKg(db)<0ωgωcγ<0正相位裕度负相位裕度0.11.01010002040-20-40-90°-180°-225°-135°【例】系统如图所示-如图所示是不同K值下频率特性曲线，由于c及g之间的距离不同，则它们的相对稳定程度是不同的。对于最小相位系统，若系统稳定，则应该满足：

Kg>1或Kg(dB)>0，

>0。一般，为了确定系统的相对稳定性，描述系统的稳定程度，需要同时给出幅值裕度和相位裕度两个量，缺一不可。

工程上，一般取：3）相位裕度和幅值裕度的求解方法通常有三种求解系统相位裕度和幅值裕度的方法，即解析法、极坐标图法和伯德图法。

(1)解析法【例】已知最小相位系统的开环传递函数为试求出该系统的幅值裕度和相位裕度。【解】系统的开环频率特性为幅频特性令解得令解得相频特性(2)极坐标图法

B(3)Bode图法稳定裕度说明稳定裕度定义只适用于最小相位系统。非最小相位系统，由于情况不唯一，没有实用意义。稳定裕度可以作为频域性能指标使用。可以用于系统分析，也可以用于系统设计指标使用。稳定裕度又可称为相对稳定性指标。大部分情况下，幅值裕度Kg与相位裕度不能单独使用。

部分情况下，由于相位裕度计算简单方便，因此，经常使用相位裕度。在最小相位系统的开环幅频特性与开环相频特性之间具有一定的对应关系，相位裕度

=30º~60º表明开环对数幅频特性在剪切频率c上的斜率应大于-40dB/dec，为了使闭环系统稳定并具有足够的相位裕度，开环对数幅频特性最好以-20dB/dec的斜率通过0dB线，下图所示。如果以-40dB/dec的斜率通过0dB线，则闭环系统可能不稳定，即使稳定，相位裕度往往也较小。如果以-60dB/dec或更负的斜率通过0dB线，则闭环系统肯定不稳定。

L(ω)ωω3ω2ωc-40-20dB/dec-400dB6.6控制系统稳定性的计算机辅助分析由系统的稳定判据可知，判断系统稳定性实际上是判定系统闭环特征方程的根的位置。其前提需要求出特征方程的根。MATLAB提供了与之相关的函数：p=eig(G)——求取矩阵特征根。系统的模型G可以是传递函数、状态方程和零极点模型，可以是连续或离散的P=pole(G)/Z=zero(G)分别用来求系统的极点和零点。G是已经定义的系统数学模型[p,z]=pzmap(sys)求系统的极点和零点。sys是定义好的系统数学模型r=roots(P)求特征方程的根。P是系统闭环特征多项式降幂排列的系数向量

例1：已知系统闭环传递函数为用MATLAB判定稳定性。>>num=[1021];>>den=[12812201616];>>G=tf(num,den)

%得到系统模型Transferfunction:s^3+2s+1-------------------------------------------------s^6+2s^5+8s^4+12s^3+20s^2+16s+16>>p=eig(G)

%求系统的特征根p=0.0000+2.0000i0.0000-2.0000i-1.0000+1.0000i-1.0000-1.0000i0.0000+1.4142i0.0000-1.4142i>>p1=pole(G)

%求系统的极点p1=0.0000+2.0000i0.0000-2.0000i-1.0000+1.0000i-1.0000-1.0000i0.0000+1.4142i0.0000-1.4142i>>r=roots(den)

%求系统特征方程的根r=0.0000+2.0000i0.0000-2.0000i-1.0000+1.0000i-1.0000-1.0000i0.0000+1.4142i0.0000-1.4142i系统特征根有2个是位于s左半平面的，而4个位于虚轴上。由于有位于虚轴的根，系统是临界稳定的。在实际工程应用上看，系统可认为是不稳定的。分析：由不同MATLAB函数求得的系统特征方程根是一致的。在需要时根据情况选择使用。例2：给定系统如下图，给出MATLAB程序判定系统是否稳定，要求程序给出适当提示。num0=[13];den0=[245810];