高中数学高考三轮冲刺（区一等奖）

高三数学（理科）自评测试题（一）第I卷(共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.复数满足为虚数单位），则的共轭复数为A. B. C. D. 2.已知集合A. B. C. D.3.采用系统抽样方法从1000人中抽取50人做问卷调查，为此将他们随机编号1，，…，1000，适当分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为8，抽到的50人中，编号落入区间的人做问卷A，编号落入区间的人做问卷B，其余的人做问卷C，则抽到的人中，做问卷C的人数为 4.已知，则A. B. C. D.5.“”是“关于的不等式的解集非空”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件6.在高校自主招生中，某学校获得5个推荐名额，其中清华大学2名，北京大学2名，复旦大学1名，并且北京大学和清华大学都要求必须有男生参加，学校通过选拔定下3男2女共5个推荐对象，则不同推荐方法的种数是 B.22 7.变量满足线性约束条件目标函数仅在点取得最小值，则k的取值范围是A. B. C. D.8.函数的图象上存在不同的三点到原点的距离构成等比数列，则以下不可能成为该等比数列公比的是A. B. C. D.9.函数，其图像的对称中心是A. B. C. D.10.在上的函数满足：①（c为正常数）；②当时，图象上所有极大值对应的点均落在同一条直线上.则或 B. 或3 或2第II卷（共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11.如果双曲线的一条渐近线与抛物线相切，则双曲线的离心率为_____.12.（）3的展开式中的常数项为，则直线与曲线围成图形的面积为_________.13.若某几何体的三视图如右图所示，则此几何体的体积是______.14.已知实数，执行如图所示的程序框图，则输出的不小于39的概率为______.15.在平面直角坐标系中，设直线与圆交于A,B两点，O为坐标原点，若圆上一点C满足______.三、解答题：本大题共6小题，共75分.16.（本小题满分12分）已知分别为△ABC三个内角的对边，.（I）求的大小；（Ⅱ）已知,求面积的最大值.17.（本小题满分12分）(2023天津武清三模)如图，在五面体中，∥∥，，，，平面平面．（I）证明：直线平面；（II）已知为棱上的点，且二面角为，求的长．18.（本小题满分12分）甲、乙两袋中各装有大小相同的小球9个，其中甲袋中红色、黑色、白色小球的个数分别为2，3，4，乙袋中红色、黑色、白色小球的个数均为3，某人用左右手分别从甲、乙两袋中取球.（I）若左右手各取一球，求两只手中所取的球颜色不同的概率；（II）若左右手依次各取两球，称同一手中两球颜色相同的取法为成功取法，记两次取球（左右手依次各取两球为两次取球）的成功取法次数为随机变量X，求X的分布列和数学期望.19.（本小题满分12分）（本小题满分12分）设数列的前n项和为，，，且为等差数列的前三项.（Ⅰ）求数列、的通项公式；（Ⅱ）求数列的前n项和.20.（本小题满分13分）已知函数.（I）求函数的单调递减区间；（II）若关于x的不等式恒成立，求整数a的最小值；（III）若正实数满足，证明.21.（本小题满分14分）已知抛物线的焦点为，过点F作直线l交抛物线C于A,B两点.椭圆E的中心在原点，焦点在x轴上，点F是它的一个顶点，且其离心率.（I）分别求抛物线C和椭圆E的方程；（II）经过A,B两点分别作抛物线C的切线，切线相交于点M.证明；（III）椭圆E上是否存在一点，经过点作抛物线C的两条切线（为切点），使得直线过点F？若存在，求出抛物线C与切线所围成图形的面积；若不存在，试说明理由.高三理科数学自评测试（一）参考答案一．选择题DBACA,CCDBD（1）D.解析：由得，，化简得,.（2）B.解:.（3）A，解:若采用系统抽样方法从人中抽取人做问卷调查，则需要分为组，每组人，若第一组抽到的号码为，则以后每组抽取的号码分别为，，，，，……，所以编号落入区间的有人，编号落入区间的有人，所以做问卷的有人．（4）C（5）A（6）C．变式：四名大学生到三家企业应聘，每名大学生至多被一家企业录用，则每家企业至少录用一名大学生的情况有（）【解析】（1）有3名被录用，有=4×3×2=24（种）（2）4名都被录用，则有一家录用两名，有××=3×6×(2×1)=36（种）所以，共有24+36=60（种）选D（7）C，解:作出不等式对应的平面区域，

由z=kx-y得y=kx-z，

要使目标函数z=kx-y仅在点A（0，2）处取得最小值，则阴影部分区域在直线y=kx-z的下方，∴目标函数的斜率k满足-3＜k＜1.（8）D，解:函数等价为，表示为圆心在半径为3的上半圆，圆上点到原点的最短距离为2，最大距离为8，若存在三点成等比数列，则最大的公比应有，即，最小的公比应满足，所以，所以公比的取值范围为，所以选D.（9）B（10）D，解:先令，那么，=；再令，那么，=；分别算出它们的极值点为()，,，三点共线解得．二、填空题（11）（12）.（13）.（14）.（15）.（11）（12）（13）,解:由图知此几何体为边长为2的正方体裁去一个三棱锥（如右图），所以此几何体的体积为.（14）.（15）.解:，即：，整理化简得：，过点作的垂线交于，则，得，又圆心到直线的距离为，所以，所以，.（16）解：（Ⅰ）由题意，得：sinAcosC＋eq\r(3)sinAsinC＝sinB＋sinC，∴sinAcosC＋eq\r(3)sinAsinC＝sin(A＋C)＋sinC，∴sinAcosC＋eq\r(3)sinAsinC＝sinAcosC＋cosAsinC＋sinC.∵sinC≠0，∴eq\r(3)sinA－cosA＝1，即eq\f(\r(3),2)sinA－eq\f(1,2)cosA＝eq\f(1,2)，∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A－\f(π,6)))＝eq\f(1,2)，∴A－eq\f(π,6)＝eq\f(π,6)，∴A＝eq\f(π,3).…………6分（Ⅱ）因为由余弦定理，得：因为所以即所以……………12分（17）（I）∵∥，∴四边形为菱形，∵，∴为正三角形，取的中点，连接，则∴，∵平面平面，平面，平面平面，∴平面∵∴两两垂直…………………2分以为原点，的方向为轴，建立空间直角坐标系∵，∴…………………3分∵∴∴………………5分∵是平面内的两条相交直线∴直线平面………………6分（II）依题意可设，平面的法向量为∵，∴，令，则∴…………8分∵二面角为，是平面的法向量∴，解得…………10分∴，∴…12分（18）解：（Ⅰ）设事件为“两手所取的球不同色”，则.………5分（Ⅱ）依题意，的可能取值为0,1,2．左手所取的两球颜色相同的概率为，右手所取的两球颜色相同的概率为，………7分，，，………10分Ｘ012Ｐ所以Ｘ的分布列为：.………12分（19）解【答案】（1），；（2）.（2）∴………①∴………②…………8分—②得…………………10分整理得：…………12分（20）解：（Ⅰ），由，得，又，所以．所以的单调减区间为．…………4分（Ⅱ）令，所以．当时，因为，所以．所以在上是递增函数，又因为，所以关于的不等式≤不能恒成立．……6分当时，，令，得．所以当时，；当时，，因此函数在是增函数，在是减函数．故函数的最大值为．……………………8分令，因为，，又因为在是减函数．所以当时，．所以整数的最小值为2．…………10分（Ⅲ）由，即，从而令，则由得，，可知，在区间上单调递减，在区间上单调递增．所以，所以，又，因此成立．…………13分（21）解：（Ⅰ）由已知抛物线的焦点为可得抛物线的方程为.设椭圆的方程为，半焦距为.由已知可得：,解得.所以椭圆的方程为：.………4分（Ⅱ）显然直线的斜率存在，否则直线与抛物线只有一个交点，不合题意，故可设直线的方程为，由,消去并整理得∴.∵抛物线的方程为，求导得，∴过抛物线上两点的切线方程分别是，,即，，解得两条切线的交点的坐标为，即，,∴.………9分（Ⅲ）假设存在点满足题意，由（2）知点必在直线上，又直线与椭圆有唯