高中数学人教A版2本册总复习总复习 市一等奖

3．复数的几何意义eq\x(基)eq\x(础)eq\x(梳)eq\x(理)1．复平面．(1)定义：建立了直角坐标系来表示复数的平面，叫做复平面．(2)实轴：x轴叫做实轴．(3)虚轴：y轴(除去原点)叫做虚轴．2．复平面内的点与复数的对应关系．(1)实轴↔实数．(2)虚轴(除原点)↔纯虚数．(3)各象限的点↔非纯虚数．3．复数的两种几何形式(点Z的横坐标是a，纵坐标是b)．(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)↔点Z(a，b)．(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)↔向量eq\o(OZ,\s\up6(→))．4．复数的模．向量eq\o(OZ,\s\up6(→))的模叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模，记作|z|＝eq\r(a2＋b2)．若b＝0，那么z＝a＋bi(a，b∈R)是一个实数，它的模等于|a|．eq\x(基)eq\x(础)eq\x(自)eq\x(测)1．复数2－3i对应的点在直线(C)A．y＝x上B．y＝－x上C．3x＋2y＝0上D．2x＋3y＝0上解析：2－3i对应的点(2，－3)，满足方程3x＋2y＝0.故选C.2．若eq\o(OZ,\s\up6(→))＝(0，－3)，则eq\o(OZ,\s\up6(→))对应的复数(C)A．等于0B．－3C．在虚轴上D．既不在实轴上，也不在虚轴上解析：eq\o(OZ,\s\up6(→))对应的复数为－3i，在虚轴上．故选C.3．在复平面内，复数1－i对应的点与原点的距离是eq\r(2)．解析：1－i对应的点为Z(1，－1)，|OZ|＝eq\r(2).eq\a\vs4\al(（一）复平面)(1)根据复数相等的定义，任何一个复数z＝a＋bi(a、b∈R)，都可以由一个有序实数对(a，b)唯一确定．因为有序实数对(a，b)与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应的关系．(2)基本概念．①复平面：建立了平面直角坐标系来表示复数的平面叫复平面．②实轴：坐标系中的x轴叫实轴．在它上面的点都表示实数．③虚轴：坐标系中的y轴叫虚轴．除去原点外，在它上面的点都表示纯虚数．注：(1)习惯上，用大写字母Z表示点，小写字母z表示复数．(2)复数z＝a＋bi用复平面内的点Z(a，b)表示，复平面内点Z的坐标是(a，b)，而非(a，bi)．例如，复平面内的点(－2，3)表示复数－2＋3i；反之，复数－2＋3i对应复平面内的点的坐标是(－2，3)．eq\a\vs4\al(（二）复数的几何意义)(1)复数与点对应．每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应．因此，复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应的，即复数z＝a＋bieq\o(,\s\up7(一一对应))复平面内的点Z(a，b)．(2)复数与向量的应用．在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数是一一对应的．设复平面内的点Z表示复数z＝a＋bi，连接OZ，向量eq\o(OZ,\s\up6(→))是由点Z唯一确定的；反过来，点Z也可以由向量eq\o(OZ,\s\up6(→))唯一确定．因此，复数集C与复平面内的向量所成的集合也是一一对应的，即复数z＝a＋bieq\o(,\s\up7(一一对应))平面向量eq\o(OZ,\s\up6(→)).注：(1)复数与向量建立一一对应关系的前提是向量的起点是原点，若起点不是原点，则复数与向量就不能建立一一对应关系．(2)常把复数z＝a＋bi说成点Z(a，b)或说成向量eq\o(OZ,\s\up6(→)).(3)规定：相等向量表示同一复数．eq\a\vs4\al(（三）复数的模)(1)定义：向量eq\o(OZ,\s\up6(→))的模r叫做复数z＝a＋bi的模，记作|z|或者|a＋bi|.(2)求法：|z|＝|eq\o(OZ,\s\up6(→))|＝eq\r(a2＋b2).(3)模的几何意义：模的几何意义就是复数z＝a＋bi所对应的点Z(a，b)到原点(0，0)的距离．注：(1)实数0与零向量对应，故复数0的模为0.(2)模相等的两个复数未必相等．例如，|i|＝1＝|－i|，但显然i≠－i.1．复数z＝a＋bi(a、b∈R)与点Z(a，b)及向量eq\o(OZ,\s\up6(→))的一一对应关系如下图所示．2．由复平面内适合某种条件的点的集合求其对应的复数时，通常是由对应关系列出方程(组)或不等式(组)，求得复数的实部、虚部的取值(范围)来确定所求的复数．3．复数z＝a＋bi的模|z|＝eq\r(a2＋b2)，从几何意义上理解，表示点Z(a，b)和原点间的距离，类比向量的模可进一步引申：|z1－z2|表示复数z1和z2对应的点Z1和Z2之间的距离．4．复数的模表示复数在复平面内对应的点到原点的距离．计算复数的模时，应先找出复数的实部和虚部，然后再利用复数模的计算公式进行计算．由于复数的模是一个实数，所以复数的模可以比较大小．1．复数z＝eq\f(3－4i,5)(i为虚数单位)在复平面内对应的点所在的象限为(D)A第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．复数z＝eq\r(2)－i2对应的点在复平面的(B)A．第一象限内B．实轴上C．虚轴上D．第四象限上3．(2023·重庆卷)已知复数z＝1＋2i(i是虚数单位)，则|z|＝eq\r(5)．4．a取何值时，z＝(a2－2a－8)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a2－a－2,a＋1)))i(a∈R)对应的点Z：(1)在复平面的x轴的下方？(2)在直线x＋y＋8＝0上？解析：(1)点Z在复平面的x轴的下方，则eq\f(a2－a－2,a＋1)＜0⇒a＜2，且a≠1.∴a＜2，且a≠－1时，点Z在复平面的x轴的下方．(2)点Z在直线x＋y＋8＝0上，则a2－2a－8＋eq\f(a2－a－2,a＋1)＋8＝0⇒a3－3a－2＝0⇒a2－a－2＝0(a≠－1)⇒a＝2.∴a＝2时，点Z在直线x＋y＋8＝0上．1．复平面中下列哪个点对应的复数是纯虚数(D)A．(1，2)B．(－3，0)C．(0，0)D．(0，－2)2．已知复数z＝(m－3)＋(m－1)i的模等于2，则实数m的值为(A)A．1或3B．1C．3D．23．设复数z＝a＋bi(a，b∈R)对应的点在虚轴的右侧，则(D)A．a＞，b＞0B．a＞0，b＜0C．b＞0，a∈RD．a＞0，b∈R4．两个不相等的复数z1＝a＋bi(a，b∈R)，z2＝c＋di(c，d∈R)，若z1与z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，则a，b，c，d之间的关系为(A)A．a＝－c，b＝dB．a＝－c，b＝－dC．a＝c，b＝－dD．a≠c，b≠d解析：设z1＝a＋bi(a，b∈R)的对应点为P(a，b)，z2＝c＋di(c，d∈R)的对应点为Q(c，d)．∵P与Q关于y轴对称，∴a＝－c，b＝d.5．已知z1＝5＋3i，z2＝5＋4i，下列选项中正确的是(D)A．z1＞z2B．z1＜z2C．|z1|＞|z2|D．|z1|＜|z2|解析：|z1|＝|5＋3i|＝eq\r(52＋32)＝eq\r(34)，|z2|＝|5＋4i|＝eq\r(52＋42)＝eq\r(41)，∵eq\r(34)＜eq\r(41)，∴|z1|＜|z2|.6．已知0＜a＜2，复数z的实部为a，虚部为1，则|z|的取值范围是(C)A．(1，5)B．(1，3)C．(1，eq\r(5))D．(1，eq\r(3))解析：|z|＝eq\r(a2＋1)，∵0<a<2，∴1<a2＋1<5，∴1<|z|<eq\r(5).故选C.7．若复数z＝1－i(i为虚数单位)，则|z|＝eq\r(2)．8．若复数z对应的点在直线y＝2x上，且|z|＝eq\r(5)，则复数z＝________．解析：依题意可设复数z＝a＋2ai(a∈R)，由|z|＝eq\r(5)得eq\r(a3＋4a2)＝eq\r(5)，解得a＝±1，故z＝1＋2i或z＝－1－2i答案：1＋2i或－1－2i9．已知复数z＝x－2＋yi的模为2eq\r(2)，则点(x，y)的轨迹方程为________．解析：依题意得eq\r(（x－2）2＋y2)＝2eq\r(2)，∴(x－2)2＋y2＝8.答案：(x－2)2＋y2＝810．设复数z＝2m＋(4－m2)i，当实数m取何值时，复数z对应的点：(1)位于虚轴上？(2)位于一、三象限上？(3)位于以原点为圆心，以4为半径的圆上？解析：(1)复数z对应的点位于虚轴上，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2m＝0，,4－m2≠0))⇒m＝0.∴m＝0时，复数z对应的点位于虚轴上．(2)复数z对应的点位于一、三象限，则2m·(4－m2)＞0⇒m(m－2)(m＋2)＜0⇒m＜－2或0＜m＜2.∴m＜－2或0＜m＜2时，复数z对应的点位于一、三象限．(3)|z|＝eq\r(（2m）2＋（4－m2）2)＝4⇒m＝0或m＝±2.∴m＝0或m＝±2时，复数z对应的点位于以原点为圆心，以4为半径的圆上．►品味高考1．(2023·重庆高考)实部为－2，虚部为1的复数所对应的点位于复平面的(B)A．第一