高中数学北师大版3第二章概率第2章3

第二章§3一、选择题1．坛中有黑、白两种颜色的球，从中进行有放回地摸球，用A1表示第一次摸得白球，A2表示第二次摸得白球，则A1与eq\x\to(A)2是()A．相互独立事件 B．不相互独立事件C．互斥事件 D．对立事件解析：∵A1与A2相互独立，∴A1与eq\x\to(A)2也是相互独立事件．答案：A2．一个口袋内装有2个白球和3个黑球，则先摸出1个白球后放回，再摸出1个白球的概率是()A．eq\f(2,3) B．eq\f(1,4)C．eq\f(2,5) D．eq\f(1,5)解析：由条件概率知P＝eq\f(\f(C\o\al(1,2),C\o\al(1,5))·\f(C\o\al(1,2),C\o\al(1,5)),\f(C\o\al(1,2),C\o\al(1,5)))＝eq\f(2,5).答案：C3．设某动物由出生算起活动20岁的概率为，活到25岁的概率为，现有一个20岁的这种动物，则它活到25岁的概率是()A． B．C． D．解析：设动物活到20岁的事件为A，活到25岁的事件为B，则P(A)＝，P(B)＝，由于AB＝B，所以P(AB)＝P(B)，所以活到20岁的动物活到25岁的概率是P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)＝eq\f(PB,PA)＝eq\f,＝.答案：B4．甲射手击中靶心的概率为eq\f(1,3)，乙射手击中靶心的概率为eq\f(1,2)，甲、乙两人各射击一次，那么eq\f(5,6)等于()A．甲、乙都击中靶心的概率B．甲、乙恰好有一人击中靶心的概率C．甲、乙至少有一人击中靶心的概率D．甲、乙不全击中靶心的概率解析：甲、乙两人同时击中靶心的概率为eq\f(1,3)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,6).所以当概率为eq\f(5,6)时，表示甲、乙不全击中靶心的概率．故选D．答案：D二、填空题5．设A、B为两个事件，若事件A和B同时发生的概率为eq\f(3,10)，在事件A发生的条件下，事件B发生的概率为eq\f(1,2)，则事件A发生的概率为____________.解析：由题意知：P(AB)＝eq\f(3,10)，P(B|A)＝eq\f(1,2)，∴P(A)＝eq\f(PAB,PB|A)＝eq\f(\f(3,10),\f(1,2))＝eq\f(3,5).答案：eq\f(3,5)6．已知A、B是相互独立事件，且P(A)＝eq\f(1,2)，P(B)＝eq\f(2,3)，则P(Aeq\x\to(B))＝____________；P(eq\x\to(A)eq\x\to(B))＝____________.解析：A、B是相互独立事件，∴A与eq\x\to(B)，eq\x\to(A)与eq\x\to(B)也是相互独立事件．又∵P(A)＝eq\f(1,2)，P(B)＝eq\f(2,3)，故P(eq\x\to(A))＝eq\f(1,2)，P(eq\x\to(B))＝1－eq\f(2,3)＝eq\f(1,3)，∴P(Aeq\x\to(B))＝P(A)·P(eq\x\to(B))＝eq\f(1,2)×eq\f(1,3)＝eq\f(1,6)；P(eq\x\to(A)eq\x\to(B))＝P(eq\x\to(A))·P(eq\x\to(B))＝eq\f(1,2)×eq\f(1,3)＝eq\f(1,6).答案：eq\f(1,6)eq\f(1,6)三、解答题7．在5道题中有3道理科题和2道文科题．如果不放回地依次抽取2道题，求：(1)第1次抽到理科题的概率；(2)第1次和第2次都抽到理科题的概率；(3)在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率．解析：设“第1次抽到理科题”为事件A，“第2次抽到理科题”为事件B，则“第1次和第2次都抽到理科题”为事件AB.(1)从5道题中不放回地依次抽取2道的事件数为n(Ω)＝Aeq\o\al(2,5)＝20.根据分步乘法计数原理，n(A)＝Aeq\o\al(1,3)×Aeq\o\al(1,4)＝12.于是P(A)＝eq\f(nA,nΩ)＝eq\f(12,20)＝eq\f(3,5).(2)因为n(AB)＝Aeq\o\al(2,3)＝6，所以P(AB)＝eq\f(nAB,nΩ)＝eq\f(6,20)＝eq\f(3,10).(3)方法一：由(1)(2)可得，在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)＝eq\f(\f(3,10),\f(3,5))＝eq\f(1,2).方法二：因为n(AB)＝6，n(A)＝12，所以P(B|A)＝eq\f(nAB,nA)＝eq\f(6,12)＝eq\f(1,2).8．甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束．假设在一局中，甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局中比赛结果相互独立．已知前2局中，甲、乙各胜1局．(1)求再赛2局结束这次比赛的概率；(2)求甲获得这次比赛胜利的概率．解析：记“第i局甲获胜”为事件Ai(i＝3,4,5)，“第j局乙获胜”为事件Bj(j＝3,4,5)．(1)设“再赛2局结束这次比赛”为事件A，则A＝A3·A4＋B3·B4，由于各局比赛结果相互独立，故P(A)＝P(A3·A4＋B3·B4)＝P(A3·A4)＋P(B3·B4)＝P(A3)P(A4)＋P(B3)P(B4)＝×＋×＝.(2)记“甲获得这次比赛胜利”为事件B，因前两局中，甲、乙各胜1局，故甲获得这次比赛胜利当且仅当在后面的比赛中，甲先胜2局，从而B＝A3·A4＋B3·A4·A5＋A3·B4·A5，由于各局比赛结果相互独立，故P(B)＝P(A3·A4＋B3·A4·A5＋A3·B4·A5)＝P(A3·A4)＋P(B3·A4·A5)＋P(A3·B4·A5)＝P(A3)P(A4)＋P(B3)P(A4)P(A5)＋P(A3)P(B4)P(A5)＝P(A3)P(A4)＋P(B3)P(A4)P(A5)＋P(A3)P(B4)P(A5)＝×＋××＋××＝.eq\x(尖子生题库)☆☆☆9．一个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，令A＝{一个家庭中既有男孩又有女孩}，B＝{一个家庭中最多有一个女孩}．对下述两种情形，讨论A与B的独立性：(1)家庭中有两个小孩；(2)家庭中有三个小孩．解析：(1)有两个小孩的家庭，男孩、女孩的可能情形为Ω＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}，它有4个基本事件，由等可能性知概率各为eq\f(1,4).这时A＝{(男，女)，(女，男)}，B＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)}，AB＝{(男，女)，(女，男)}，于是P(A)＝eq\f(1,2)，P(B)＝eq\f(3,4)，P(AB)＝eq\f(1,2).由此可知P(AB)≠P(A)P(B)，所以事件A、B不相互独立．(2)有三个小孩的家庭，小孩为男孩、女孩的所有可能情形为Ω＝{(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)，(男，女，女)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)}，由等可能性知这8个基本