人教A版高中数学必修第一册第二章一元二次函数、方程和不等式

2.1等式性质与不等式性质123不等关系与不等式实数(式)的比较大小不等关系的实际应用2.1.1不等关系与不等式教学目标1.能用不等式(组)表示实际问题的不等关系.2.初步学会作差法比较两个实数的大小.核心素养：通过运用不等式(组)表示实际问题的不等关系及比较两个实数的大小发展数学抽象及数学运算素养.不等关系与不等式1.能用不等式(组)表示实际问题的不等关系.2.初步学会作差法比较两个实数的大小.核心素养：通过运用不等式(组)表示实际问题的不等关系及比较两个实数的大小发展数学抽象及数学运算素养.1.在现实世界和日常生活中，大量存在着相等关系和__________.2.关于实数a，b大小的比较，有以下基本事实：不等关系如果a－b是正数，那么________；如果a－b等于0，那么________；如果a－b是负数，那么________，反过来也对.这个基本事实可以表示为a>b⇔____________；a＝b⇔____________；a<b⇔____________.3.一般地，∀a，b∈R，有a2＋b2≥________，当且仅当________时，等号成立.a>ba＝ba<ba－b>0a－b＝0a－b<02aba＝b不等关系与不等式[例](多选题)下面列出的不等式中，正确的是(

)解析

a不是负数，可表示成a≥0；x不大于3可表示成x≤3；m与4的差是负数，可表示成m－4<0；x与2的和是非负数，可表示成x＋2≥0.答案：ACA.a不是负数，可表示成a≥0B.x不大于3，可表示成x<3C.m与4的差是负数，可表示成m－4<0D.x与2的和是非负数，可表示成x＋2>0不等关系与不等式解析

两个条件同时成立，需用不等式组表示.答案：D不等关系与不等式10y＋x>70[例]一个两位数个位数字为x，十位数字为y，且这个两位数大于70，用不等式表示为____________.

解析

该两位数可表示为10y＋x，∴10y＋x>70.答案：不等关系与不等式题型一用不等式(组)表示不等关系[例]某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截成500mm和600mm两种.按照生产的要求600mm钢管的数量不能超过500mm钢管数量的3倍，写出满足所有上述不等关系的不等式(组).解

设截得500mm的钢管x根，截得600mm的钢管y根.不等关系与不等式1.将不等关系表示成不等式(组)的思路(1)读懂题意，找准不等式所联系的量.(2)用适当的不等号连接.(3)多个不等关系用不等式组表示.2.常见的文字语言与符号语言之间的转换文字语言大于，高于，超过小于，低于，少于大于等于，至少，不低于小于等于，至多，不超过符号语言>

<

≥≤总结提升[例]某汽车公司因发展需要，需购进一批汽车，计划使用不超过1000万元的资金购买单价分别为40万元、90万元的A型汽车和B型汽车，根据需要，A型汽车至少买5辆，B型汽车至少买6辆，写出满足上述所有不等关系的不等式(组).解

设购买A型汽车和B型汽车分别为x辆、y辆，则不等关系与不等式题型二实数(式)的比较大小不等关系与不等式作差法比较两个实数(代数式)大小的步骤第一步：作差并变形，其目标是应容易判断差的符号.变形有两种情形：①将差式进行因式分解转化为几个因式相乘.②将差式通过配方转化为几个非负数之和，然后判断.第二步：判断差值与零的大小关系.第三步：得出结论.总结提升[练]已知x<1，试比较x3－1与2x2－2x的大小.解

∵(x3－1)－(2x2－2x)＝x3－2x2＋2x－1＝(x3－x2)－(x2－2x＋1)＝x2(x－1)－(x－1)2＝(x－1)(x2－x＋1)∴x3－1<2x2－2x.不等关系与不等式[例]为打造“书香校园”，某学校计划用不超过1900本科技类书籍和1620本人文类书籍，组建中、小型两类图书角共30个.已知组建一个中型图书角需科技类书籍80本，人文类书籍50本；组建一个小型图书角需科技类书籍30本，人文类书籍60本.设组建中型图书角x个，用不等式组将题目中的不等关系表示出来，并求有哪些符合题意的组建方案.题型三不等关系的实际应用解

因为组建中型图书角x个，所以组建小型图书角为(30－x)个，解这个不等式组得18≤x≤20.不等关系与不等式由于x只能取正整数，∴x的取值是18，19，20.当x＝18时，30－x＝12；当x＝19时，30－x＝11；当x＝20时，30－x＝10.故有三种组建方案：方案一，组建中型图书角18个，小型图书角12个；方案二，组建中型图书角19个，小型图书角11个；方案三，组建中型图书角20个，小型图书角10个.不等关系与不等式1.根据实际问题列不等式(组)的关键是通过分析找出问题中的不等关系，并确定不等号，然后写出不等号两边的代数式.2.根据实际问题列出不等式(组)，应从是否符合实际意义出发，而不能拘于某一种形式.总结提升[例]在例3的方案中，哪种方案用书籍最少？共用多少本？解

比较3种方案可知当x＝18时用书籍最少.共用书籍130×18＋90×12＝3420(本).不等关系与不等式1.用不等式(组)表示不等关系，要注意不等式与不等关系的对应，不重、不漏，尤其要检验实际问题中变量的取值范围.2.比较两个实数的大小，只要考查它们的差就可以了.作差法比较实数的大小一般步骤是作差→恒等变形→判断差的符号→下结论.作差后变形是比较大小的关键一步，变形的方向是化成几个完全平方数和的形式或一些易判断符号的因式积的形式.

课堂小结1.下面能表示“a与b的和是非正数”的不等式为(

) A.a＋b<0 B.a＋b>0 C.a＋b≤0 D.a＋b≥0

解析

a与b的和是非正数，即a＋b≤0.答案：C强化训练2.大桥桥头竖立的“限重40吨”的警示牌，是指示司机要安全通过该桥，应使车和货的总重量T满足关系为(

) A.T<40 B.T>40 C.T≤40 D.T≥40

解析

“限重40吨”用不等式表示为T≤40.答案：C强化训练3.(多选题)下列说法正确的是(

)A.限速40km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40km/h，用不等式表示为v≤40B.某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截成500mm和600mm两种

，若截得500mm的钢管x根，截得600mm的钢管y根，则500x＋600y＝4000C.完成一项装修工程，请木工每人需付工资500元，请瓦工每人需付工资400元，现工人工资预算为20000元，设请木工x人，瓦工y人，则x，y满足的关系式是5x＋4y≤200D.将进货单价为x元的商品按y元一个售出，且x<y，每天最多能卖出400个，则每天获得的利润t元满足t≤400(y－x)解析

选项B中应为500x＋600y≤4000；选项A，C，D正确.答案：ACD.强化训练4.不等式a2＋4≥4a中，等号成立的条件为________.

解析

令a2＋4＝4a，则a2－4a＋4＝0，∴a＝2.答案：a＝2.强化训练5.已知a，b∈R，且ab≠0，则ab－a2________b2(填“<”，“>”或“＝”).强化训练6.一辆汽车原来每天行驶xkm，如果该辆汽车每天行驶的路程比原来多19km，那么在8天内它的行程就超过2200km，写出不等式为______________；如果它每天行驶的路程比原来少12km，那么它原来行驶8天的路程就得花9天多的时间，用不等式表示为____________.8(x＋19)>2200

解析

由题意知，汽车原来每天行驶xkm，

8天内它的行程超过2200km，则8(x＋19)>2200.

若每天行驶的路程比原来少12km，则原来行驶8天的路程就要用9天多，强化训练答案强化训练强化训练强化训练8.有学生若干人，住若干间宿舍，如果每间住4人，那么还余19人，如果每间住6人，那么只有一间不满但不空，求宿舍间数和学生人数.解

设宿舍有x间，则学生有(4x＋19)人，依题意，∵x∈N*，∴x＝10，11或12.学生人数分别为59，63，67.故宿舍间数和学生人数分别为10间59人，11间63人或12间67人.强化训练123不等关系与不等式实数(式)的比较大小不等关系的实际应用课堂总结2.1等式性质与不等式性质123不等式的性质不等式证明不等式的综合应用2.1.2等式性质与不等式性质教学目标1.掌握等式性质与不等式性质以及推论，能够运用其解决简单的问题;2.进一步掌握作差、作商、综合法等比较法比较实数的大小;3.通过教学培养学生合作交流的意识和大胆猜测、乐于探究的良好思维品质.核心素养：1.数学抽象；2.逻辑推理；

3.数学运算；4.数据分析；

5.数学建模.

知识梳理1.等式的性质性质1如果a＝b，那么________；性质2如果a＝b，b＝c，那么________；性质3如果a＝b，那么________________；性质4如果a＝b，那么____________；性质5如果a＝b，c≠0，那么_____________.b＝aa＝ca±c＝b±cac＝bc知识梳理2.不等式的性质性质1如果a>b，那么b<a；如果b<a，那么a>b.即a>b⇔b<a.性质2如果a>b，b>c，那么a>c，即a>b，b>c⇒________.性质3如果a>b，那么a＋c>b＋c.性质4如果a>b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，c<0，那么____________.性质5如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d.性质6如果a>b>0，c>d>0，那么____________.性质7如果a>b>0，那么an>bn(n∈N，n≥2).a>cac<bcac>bd知识梳理(1)在应用性质2时，如果两个不等式中有一个带等号，而另一个不带等号，那么等号不能传递下去.如由a≥b，b>c不能得到a≥c，只能得到a>c.(2)在应用性质4时，要特别注意c的符号.当c≠0时，有a>b⇒ac2>bc2；若没有“c≠0”这个条件，则“a>b⇒ac2>bc2”是错误的.(3)在使用不等式的性质时，一定要弄清它们成立的前提条件.如性质5要求两个不等式为同向不等式，性质6要求两个不等式为同向不等式且不等式两边同正，性质7要求不等式两边同为正数且n∈N，n≥2.

不等式的性质解析选项A中，当c＝0时，ac2＝bc2，不成立，其余选项都成立.答案

BCD不等式的性质【例】

(多选题)已知实数a，b，c满足c<b<a且ac<0，则下列选项中一定成立的是(

) A.ab>ac B.c(b－a)>0 C.ac(a－c)<0 D.cb2<ab2解析

因为c<b<a且ac<0，故c<0，a>0，所以ab>ac，故A成立；又b－a<0，故c(b－a)>0，故B成立；而a－c>0，ac<0，故ac(a－c)<0，故C成立；当b＝0时，cb2＝ab2，当b≠0时，有cb2<ab2，故cb2<ab2不一定成立，综上，选ABC.答案

ABC总结提升不等式的性质常与比较大小结合考查，此类问题一般结合不等式的性质，利用作差法或作商法求解，也可以用特殊值求解.不等式的性质解析

a>b>0，c<d<0，即为－c>－d>0，则有－ac>－bd>0，即ac<bd<0，故A错；由－c>－d>0，－ac>－bd>0，可得ac2>bd2，则D错.故选B.答案

B不等式的性质【练】设x<a<0，则下列不等式一定成立的是(

) A.x2<ax<a2 B.x2>ax>a2 C.x2<a2<ax D.x2>a2>ax

解析

∵x<a<0，∴x2>a2. ∵x2－ax＝x(x－a)>0，∴x2>ax.

又ax－a2＝a(x－a)>0，∴ax>a2. ∴x2>ax>a2.答案

B不等式的性质【练】(多选题)若x>1>y，则下列不等式一定成立的有(

) A.x－1>1－y B.x－1>y－1 C.x－y>1－y D.1－x>y－x

解析

x－1－(1－y)＝x＋y－2，无法判断它与0的大小关系，

任取特殊值x＝2，y＝－1得x－1－(1－y)<0，故选项A中不等式不一定成立； x－1－(y－1)＝x－y>0，故选项B中不等式成立； x－y－(1－y)＝x－1>0，故选项C中不等式成立； 1－x－(y－x)＝1－y>0，故选项D中不等式成立.故选BCD.答案

BCD不等式证明

常用的证明不等式的方法1.比较法：比较法证明不等式的一般步骤：作差—变形—判断—结论；为了判断作差后的符号，有时要把这个差变形为一个常数，或者变形为一个常数与一个或几个平方和的形式，也可变形为几个因式的积的形式，以便判断其正负;2.综合法：从已知条件A出发，逐步推演不等式成立的必要条件，推导出所要证明的结论;3.分析法：“从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题，即“执果索因”；综合过程有时正好是分析过程的逆推，所以常用分析法探索证明的途径，然后用综合法的形式写出证明过程.不等式证明证明

∵bc－ad≥0，∴bc≥ad，∴bc＋bd≥ad＋bd，即b(c＋d)≥d(a＋b).总结提升

利用不等式的性质证明不等式注意事项(1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式．解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用．(2)应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则．不等式证明证明

(1)因为a>b，c>0，所以ac>bc，即－ac<－bc.又e>f，即f<e，所以f－ac<e－bc.不等式的综合应用解

∵3<b<4，∴－4<－b<－3.∴1－4<a－b<6－3，即－3<a－b<3.不等式的综合应用【例】判断下列各命题的真假，并说明理由.解(1)a<b,c<0,不一定有ab>0,(2)当c>0时，c3>0，∴a<b，∴是假命题.(3)当a＝1，b＝－2，k＝2时，显然命题不成立，∴是假命题.(4)当a＝2，b＝0，c＝－3时，满足a>b，b>c这两个条件，但是a－b＝2<b－c＝3，∴是假命题.不等式的综合应用【例】若1<x<2，4<y<6，则2x－y的取值范围是__________________.解析

由1<x<2，4<y<6得2<2x<4，－6<－y<－4，两式相加得－4<2x－y<0答案(-4,0)不等式的综合应用求含字母的数(或式子)的取值范围时，一要注意题设中的条件，二要正确使用不等式的性质，尤其是两个同方向的不等式可加不可减，可乘(同正)不可除不等式的综合应用∴4a－2b＝2u＋2v－u＋v＝u＋3v.∵1≤u≤4，－1≤v≤2，∴－3≤3v≤6.则－2≤u＋3v≤10，即－2≤4a－2b≤10.法二令4a－2b＝x(a＋b)＋y(a－b)，∴4a－2b＝(x＋y)a＋(x－y)b.不等式的综合应用【练】(多选题)下列说法正确的是(

)解析

对于选项A，因为a>－b>0，所以a2>(－b)2，即a2>b2，所以选项A正确；答案

AD课堂总结1.利用不等式的性质判断命题的真假时，一定要注意不等式成立的条件.不要弱化条件，尤其是不能凭空捏造性质.2.利用不等式的性质证明简单的不等式是否成立，实际上就是根据不等式的性质把不等式进行适当的变形，证明过程中注意不等式成立的条件.

2.2基本不等式第1课时

基本不等式的证明素养目标学科素养1.理解基本不等式的内容及证明(重点)；2.能熟练运用基本不等式来比较两个实数的大小；3.能初步运用基本不等式证明简单的不等式(难点).1、数学运算2、逻辑推理学习目标一、自主学习重要不等式与基本不等式小试牛刀×√×√二、经典例题题型一

对基本不等式的理解跟踪训练1

题型二

利用基本不等式比较大小跟踪训练2

题型三

用基本不等式证明不等式总结跟踪训练3三、当堂达标2.2基本不等式第2课时

基本不等式的综合应用素养目标学科素养1.能够运用基本不等式解决生活中的最值问题(难点)；2.能够对式子进行变形，构造定值；3.会用基本不等式解决恒成立问题(重点)。1、数学运算2、逻辑推理3、数学建模学习目标一、自主学习一.

基本不等式与最值二.不等式的性质正数定值定值三．通过变形构造定值的方法

如果题目中基本不等式不能满足“和为定值”或“积为定值”，就不能直接用基本不等式求最值。

需要通过变形，构造定值，常见方法有：配项法；配系数法；分式型基本不等式；常值代换法“1”的代换。小试牛刀×√××二、经典例题题型一

利用基本不等式求最值跟踪训练1

题型二

变形构造定值—配项法总结跟踪训练2

题型三

变形构造定值—配系数法总结跟踪训练3

题型四变形构造定值—分式型基本不等式总结跟踪训练4

题型五变形构造定值—常值代换法“1”的代换