抽样与参数估计

第4章抽样与参数估计4.1

抽样与抽样分布4.2参数估计的基本方法4.3总体均值的区间估计4.4总体比例的的区间估计4.5样本容量的确定parameterestimation学习目标抽样方法与抽样分布估计量与估计值的概念点估计与区间估计的区别总体均值的区间估计方法总体比例的区间估计方法样本容量的确定方法统计应用

一次失败的民意调查在1936年的美国总统选举前，一份名为LiteraryDigest

杂志进行了一次民意调查。调查的焦点是谁将成为下一届总统—是挑战者，堪萨斯州州长AlfLandon，还是现任总统FranklinDelanoRoosevelt为了解选民意向，民意调查专家们根据电话簿和车辆登记簿上的名单给一大批人发了简单的调查表(电话和汽车在1936年并不像现在那样普及，但是这些名单比较容易得到)。尽管发出的调查表大约有一千万张，但收回的比例并不高。在收回的调查表中，AlfLandon非常受欢迎。于是该杂志预测Landon将赢得选举。但事实上是FranklinRoosevelt赢得了这次选举调查失败的主要原因是抽样框出现了问题。在经济大萧条时期由于电话和汽车并不普及，只是富裕阶层才会拥有，调查有电话和汽车的人们，并不能够反映全体选民的观点参数估计在统计方法中的地位参数估计假设检验统计方法描述统计推断统计4.1抽样与抽样分布

4.1.1概率抽样方法

4.1.2抽样分布第4章抽样与参数估计4.1.1概率抽样方法4.1抽样与抽样分布概率抽样

(probabilitysampling)也称随机抽样特点按一定的概率以随机原则抽取样本抽取样本时使每个单位都有一定的机会被抽中每个单位被抽中的概率是已知的，或是可以计算出来的当用样本对总体目标量进行估计时，要考虑到每个样本单位被抽中的概率简单随机抽样

(simplerandomsampling)从总体N个单位中随机地抽取n个单位作为样本，每个单位入抽样本的概率是相等的最基本的抽样方法，是其它抽样方法的基础特点简单、直观，在抽样框完整时，可直接从中抽取样本用样本统计量对目标量进行估计比较方便局限性当N很大时，不易构造抽样框抽出的单位很分散，给实施调查增加了困难没有利用其它辅助信息以提高估计的效率分层抽样

(stratifiedsampling)将抽样单位按某种特征或某种规则划分为不同的层，然后从不同的层中独立、随机地抽取样本优点保证样本的结构与总体的结构比较相近，从而提高估计的精度组织实施调查方便既可以对总体参数进行估计，也可以对各层的目标量进行估计系统抽样

(systematicsampling)将总体中的所有单位(抽样单位)按一定顺序排列，在规定的范围内随机地抽取一个单位作为初始单位，然后按事先规定好的规则确定其它样本单位先从数字1到k之间随机抽取一个数字r作为初始单位，以后依次取r+k，r+2k…等单位优点：操作简便，可提高估计的精度缺点：对估计量方差的估计比较困难整群抽样

(clustersampling)将总体中若干个单位合并为组(群),抽样时直接抽取群，然后对中选群中的所有单位全部实施调查特点抽样时只需群的抽样框，可简化工作量调查的地点相对集中，节省调查费用，方便调查的实施缺点是估计的精度较差4.1.2抽样分布4.1抽样与抽样分布在重复选取容量为n的样本时，由每一个样本算出的该统计量数值的相对频数分布或概率分布是一种理论分布随机变量是样本统计量样本均值,样本比例，样本方差等结果来自容量相同的所有可能样本提供了样本统计量长远我们稳定的信息，是进行推断的理论基础，也是抽样推断科学性的重要依据 抽样分布

(samplingdistribution)容量相同的所有可能样本的样本均值的概率分布一种理论概率分布进行推断总体总体均值的理论基础 样本均值的抽样分布样本均值的抽样分布

(例题分析)【例】设一个总体，含有4个元素(个体)

，即总体单位数N=4。4

个个体分别为x1=1、x2=2、x3=3

、x4=4

。总体的均值、方差及分布如下总体分布14230.1.2.3均值和方差样本均值的抽样分布

(例题分析)

现从总体中抽取n＝2的简单随机样本，在重复抽样条件下，共有42=16个样本。所有样本的结果为3,43,33,23,132,42,32,22,124,44,34,24,141,441,33211,21,11第二个观察值第一个观察值所有可能的n=2的样本(共16个)样本均值的抽样分布

(例题分析)计算出各样本的均值，如下表。并给出样本均值的抽样分布3.53.02.52.033.02.52.01.524.03.53.02.542.542.03211.51.01第二个观察值第一个观察值16个样本的均值(x)X样本均值的抽样分布1.00.1.2.3P(X)1.53.04.03.52.02.5样本均值的分布与总体分布的比较

(例题分析)=2.5σ2=1.25总体分布样本均值分布样本均值的抽样分布

与中心极限定理=50

=10X总体分布n=4抽样分布Xn=16当总体服从正态分布N~(μ,σ2)时，来自该总体的所有容量为n的样本的均值X也服从正态分布，X

的数学期望为μ，方差为σ2/n。即X～N(μ,σ2/n)中心极限定理

(centrallimittheorem)当样本容量足够大时(n

30)，样本均值的抽样分布逐渐趋于正态分布中心极限定理：设从均值为，方差为

2的一个任意总体中抽取容量为n的样本，当n充分大时，样本均值的抽样分布近似服从均值为μ、方差为σ2/n的正态分布一个任意分布的总体X抽样分布与总体分布的关系总体分布正态分布非正态分布大样本小样本样本均值正态分布样本均值正态分布样本均值非正态分布样本均值的数学期望样本均值的方差重复抽样不重复抽样样本均值的抽样分布

(数学期望与方差)总体(或样本)中具有某种属性的单位与全部单位总数之比不同性别的人与全部人数之比合格品(或不合格品)与全部产品总数之比总体比例可表示为样本比例可表示为

样本比例的抽样分布

(比例—proportion)容量相同的所有可能样本的样本比例的概率分布当样本容量很大时，样本比例的抽样分布可用正态分布近似一种理论概率分布推断总体总体比例的理论基础 样本比例的抽样分布样本比例的数学期望样本比例的方差重复抽样样本比例的抽样分布

(数学期望与方差)4.2参数估计的基本原理

4.2.1估计量与估计值

4.2.2点估计与区间估计第4章抽样与参数估计4.2.1点估计与区间估计4.2参数估计的基本原理点估计

(pointestimate)用样本的估计量的某个取值直接作为总体参数的估计值例如：用样本均值直接作为总体均值的估计；用两个样本均值之差直接作为总体均值之差的估计无法给出估计值接近总体参数程度的信息由于样本是随机的，抽出一个具体的样本得到的估计值很可能不同于总体真值一个点估计量的可靠性是由它的抽样标准误差来衡量的，这表明一个具体的点估计值无法给出估计的可靠性的度量区间估计

(intervalestimate)在点估计的基础上，给出总体参数估计的一个估计区间，该区间由样本统计量加减估计误差而得到根据样本统计量的抽样分布能够对样本统计量与总体参数的接近程度给出一个概率度量比如，某班级平均分数在75～85之间，置信水平是95%

样本统计量

(点估计)置信区间置信下限置信上限区间估计的图示x95%的样本-1.96x+1.96x99%的样本-2.58x+2.58x90%的样本-1.65x+1.65x将构造置信区间的步骤重复很多次，置信区间包含总体参数真值的次数所占的比例，也称置信度表示为(1-为是总体参数未在区间内的比例常用的置信水平值有99%,95%,90%相应的为0.01，0.05，0.10置信水平

(confidencelevel)

置信区间与置信水平的关系

均值的抽样分布(1-)%区间包含了

%的区间未包含1–aa/2a/24.3总体均值的区间估计

4.3.1正态总体、方差已知或非正态总体、大样本

4.2.2正态总体、方差未知、小样本第4章抽样与参数估计4.3.1正态总体、方差已知

或非正态总体、大样本4.3总体均值的区间估计总体均值的区间估计

(正态总体、方差已知或非正态总体大样本)1. 假定条件总体服从正态分布,且方差(２)

已知如果不是正态分布，可由正态分布来近似(n

30)使用正态分布统计量z总体均值在1-置信水平下的置信区间为总体均值的区间估计

(正态总体、方差已知或非正态总体大样本)【例4.2】一家食品生产企业以生产袋装食品为主，为对产量质量进行监测，企业质检部门经常要进行抽检，以分析每袋重量是否符合要求。现从某天生产的一批食品中随机抽取了25袋，测得每袋重量如下表所示。已知产品重量的分布服从正态分布，且总体标准差为10克。试估计该批产品平均重量的置信区间，置信水平为95%25袋食品的重量112.5101.0103.0102.0100.5102.6107.595.0108.8115.6100.0123.5102.0101.6102.2116.695.497.8108.6105.0136.8102.8101.598.493.3总体均值的区间估计

(正态总体、方差已知或非正态总体大样本)解：已知Ｘ~N(，102)，n=25,1-=95%，z/2=1.96。根据样本数据计算得：。由于是正态总体，且方差已知。总体均值在1-置信水平下的置信区间为该食品平均重量的置信区间为101.44g~109.28g总体均值的区间估计

(正态总体、方差已知或非正态总体大样本)【例4.3】一家保险公司收集到由36个投保人组成的随机样本，得到每个投保人的年龄(单位：周岁)数据如下表。试建立投保人年龄90%的置信区间

36个投保人年龄的数据233539273644364246433133425345544724342839364440394938344850343945484532总体均值的区间估计

(正态总体、方差已知或非正态总体大样本)解：已知n=36,1-=90%，z/2=1.645。根据样本数据计算得：，

总体均值在1-置信水平下的置信区间为投保人平均年龄的置信区间为37.37岁~41.63岁4.3.2正态总体、方差未知、小样本4.3总体均值的区间估计总体均值的区间估计

(正态总体、方差未知、小样本)1. 假定条件总体服从正态分布,但方差(２)

未知小样本(n<30)使用t

分布统计量总体均值在1-置信水平下的置信区间为总体均值的区间估计

(正态总体、方差未知、小样本)【例5.3】已知某种灯泡的寿命服从正态分布，现从一批灯泡中随机抽取16只，测得其使用寿命(单位：h)如下。建立该批灯泡平均使用寿命95%的置信区间16灯泡使用寿命的数据1510152014801500145014801510152014801490153015101460146014701470总体均值的区间估计

(正态总体、方差未知、小样本)解：已知Ｘ~N(，2)，n=16,1-=95%，t/2=2.131

根据样本数据计算得：，

总体均值在1-置信水平下的置信区间为该种灯泡平均使用寿命的置信区间为1476.8h～1503.2h总体均值的区间估计

(小结)4.4总体比例的区间估计

第4章抽样与参数估计总体比例的区间估计

(一个总体比例)1. 假定条件总体服从二项分布可以由正态分布来近似np(成功次数)和n(1-p)(失败次数)均应该大于5使用正态分布统计量z3.总体比例在1-置信水平下的置信区间为总体比例的区间估计

(例题分析)【例4.5】某城市想要估计下岗职工中女性所占的比例，随机地抽取了100名下岗职工，其中65人为女性职工。试以95%的置信水平估计该城市下岗职工中女性比例的置信区间解：已知n=100，p＝65%,1-=95%，z/2=1.96该城市下岗职工中女性比例的置信区间为55.65%~74.35%

总体比例的区间估计

(例题分析)【例4.6】某区疾病预防控制中心2002年对该乡镇250名小学生进行贫血的检查，结果发现有86名贫血者。求贫血者检查率在95%的置信区间。解：已知n=250，p＝86/250=34.4%,1-=95%，z/2=1.96该城市下岗职工中女性比例的置信区间为28.51%~40.29%

总体参数区间估计使用的分布

(小结)总体参数的区间估计

(小结)本章小结抽样方法与抽样分布点估计与区间估计的区别总体均值的区间估计方法总体比例的区间估计方法练习题1、从含有N个元素的总体中，抽取n个元素作为样本，使得总体中每一个元素都有相同的机会被抽中，这样的抽样方法称为（）A简单随机抽样B分层抽样C系统抽样D整群抽样2、在抽样之前先将总体的元素划分为若干类，然后从各个类中抽取一定数量的元素组成一个样本，这样的抽样方法称为（）A简单随机抽样B分层抽样C系统抽样D整群抽样3、先将总体各元素按某种顺序排列，并按某种规则确定一个随机起点，然后每隔一定的间隔抽取一个元素，直至抽取n个元素形成一个样本。这样的抽样方法称为（）A简单随机抽样B分层抽样C系统抽样D整群抽样4、先将总体划分为若干群，然后以群作为抽样单位从中抽取部分群，再对抽中的各个群中所包含的所有元素进行观察。这样的抽样方法称为（）A简单随机抽样B分层抽样C系统抽样D整群抽样5、飞机离开登机口到起飞的等待时间通常是右偏的，均值为10分钟，标准差为8分钟。假设随机抽取100架飞机，则等待时间的均值的抽样分布是（）A右偏的，均值为10分钟，标准差为0.8分钟B正态分布，均值为10分钟，标准差为0.8分钟C右偏的，均值为10分钟，标准差为8分钟D正态分布，均值为10分钟，标准差为8分钟6、设总体的均值为500，标准差为200，从该总体中抽取一个容量为30的样本，则样本均值的标准差为（）A、36.51