人教版高中数学选修4-5 模块学习评价及答案

3333222222222xx223333222222222xx22abab22a模块学习评价(时间120分钟，满分分)一、选择题本大题共小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．不等式3x－解集是)A．{x>2}2C．{|<或x

2B．{|x<－}2D．{－<2}【解析】【答案】

2因为－，所以3x－2>4或3x－2<－4.所以x>2或x<.C2．能用来示二维形式的柯西不等式的是)A．a＋≥2(，∈)B．a

2

＋b

2

c

＋d

2

)＋bd)

(a，b，，d∈R)C．(a＋)(c＋d)≥(ab＋cd(a，b，c，dR)D．(a＋)(c＋d)＋bd(a，b，c，∈R)【解析】【答案】

根据柯西不等式的结构特征可知只有确，故选B.B43．(2013·许昌模拟)函数y＝2－9x－(x>0)的最大是()A．－C．－11

B．D．11【解析】

4y＝2(9x＋)≤－36＝－【答案】

A4．已知a，b为非零实数，且ab，则下列命题成立的是)A．a<b11C.<

B．<abD．<abbb222aba2n2**abbb222aba2n2**xy2xyxnnn【解析】1∴<【答案】

1－对于C中，－＝C

<05．用数学纳法证2nn∈N，n成立时，第二步归纳假设的正确写法是()A．假设nk时命题成立B．假设nk∈N

时命题成立C．假设n＝k≥5)时命题成立D．假设＝>5)时命题成立【答案】

C6．已知不式(x＋y)＋对任意正实数xy恒成立，则实数的最大值为()A．2C.【解析】

B．4D．16由(＋)＋＋＝因此不等式＋＋对意正实数，y恒成立，即≤【答案】

B7．某人要房，随着楼层的升高，上、下楼耗费的体力增多，因此不满意度升高．设住第n楼，上下楼造成的不满意度为n；但高处空气清新，嘈杂音较小，环境较为安静，因此随楼层升高，环境不满意度降低，设住第层楼时，9环境不满意程度为，则此人应选()A．1楼C．3楼【解析】

B．2楼D．49设第n层总的不满意程度为fn，则f(n＝n＋≥2×3＝，9当且仅当n，即n＝3时取等号，故选C.n2222222n2222222【答案】

C8．对任意数，若不等式|x＋－|x－k恒成立，对k的取值范围是()A．<3C．k≤3

B．<3D．k－【解析】∵x＋－x－≥－x＋1)－(－2)|＝－3∴＋1|－－2|的最小值为－3.∴不等式恒成立，应有k<－3.【答案】

B9．用数学纳法证明“(n＋1)(n＋2)·n＋n2·1·3·n－1)(∈N)”＋时，从n到n＝＋时等号左边应增添的式子是()A．2＋12k＋1C.k＋1

B．D．

k＋2k＋2k＋1

k＋1

k＋【解析】

当n＝时，有f(k)＝1)·(＋2)·k＋k，当n＝k＋1时，有fk＋＝＋2)(k＋…·(k＋kk＋＋1)(＋k＋2)，∴f(k＋＝f()·

k＋

k＋1

k＋

.【答案】B10已ab不相等的正数＝

a＋2

，y＝＋，y的关系是()A．>yC．x

B．>xD．ya＋bab＋【解析】因为a是不相等的正数，所以x＝＋ab＋＝a＋b＝y

，即x

<y

，故xy.【答案】

B11若n柱有()个对角面，则n＋棱柱含有对角面的个数为()12k2k1312k2k131k1kk222121212122122A．2f(n)C．f(n＋n【解析】

B．()＋(n－1)D．f()＋2由n＝到n＝k＋1时增加的对角面的个数与底面上由＝k到n＝k＋1时增加的对角线一样，设n＝k时，底面为…，n＋1时底面为12…AA，增加的对角线为，，AA，…，，，＋＋＋＋－＋共有(－1)条，因此对角面也增加了－1)个，故选【答案】

B12记满足下列条件的函数(x的集合为M，当x|≤2，x|≤2时，f()－121f(x)|≤6|x－，又令g()＝2

＋2x－1，则g()M的关系是()A．g(MB．g(x∈MC．g(x)M【解析】

D．不能确定∵gx)－g(x)＝＋－x－x＝(x－x)(＋＋2)12222∴|g(x)－g(x)|x－x＋x＋2|x－＋＋≤x－，所以gx∈.故选B.【答案】

B二、填空题本大题共小题，每小题5，共20．把正确答案填在题中横线上)13重庆高考)若关于实数x不等式x－5|＋x＋3|<a无解，则实数a的取值范围是_【解析】

∵|x－5|＋x＋＝－|＋＋≥－x＋x＋3|＝8，∴x－＋x＋＝8min要使|x－＋x＋a解，只需a8.【答案】

－∞，8]14若正数a，b满足ab＝a＋b＋8，则ab最小值为_【解析】

∵aba＋b＋8，且a＞0＞，∴ab8＝a＋b2ab∴(ab－ab80，∴ab或ab－舍去)nn22kk2kk12mmnnn22kk2kk12mmn∴ab16ab的最小值为16.【答案】

16a＋＋15用数学归纳法证明≥()ab非负实数∈N)，假nk＋a＋ba＋b时不等式≥()(*)成立，再推证＝＋1不等式也成立的关键是将(*)式两边同乘_【解析】a＋b证的()＋.【答案】

要想办法出现a＋b2

a

＋＋＋ab，两边同乘以，右边也出现了要求2216设a，b，，d，m，n∈R，P＝ab＋，Q＝＋＋则P，Q的大小关系为_______．

b＋，m【解析】

由柯西不等式

＝

b＋

nc·

dn≤am∴PQ.【答案】

b＋＝Q，≤Q三、解答题本大题共小题，共70分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题分分)已ab＞c，求证：

114＋≥.a－bbc－c【证明】所以a－c

因为a＞b＞，所以a－b＞，－＞0，a－＞0111abb－＋)＝[(a－b)＋b－c)](＋)＝＋＋a－bbca－bbbca－b22

a－bbc·b－a－b

＋2＝4，当且仅当a－b＝b－，即a＋c＝2b时等号成立．故

11＋≥成立．a－bbc－c222mpmn2222mpmn218(本小题分分)辽宁高考)已知函数f)＝x－a，其中当a2，求不等式f(x≥4－|－4|的解集；已知关于的不等式fx＋a)－2f(x≤2的解集为{x，求的值．【解】

＋6x2，当a＝2时，f(x＋－4|＝x<4，2x－6，≥4.当x时，由f()－|x－4|得－2x＋64，解得≤1；当2<x时，f(x)≥－|x－4|无解；当x时，由f()－|x－4|得2x－6，解得≥5.所以f(x≥－|x－的解集为{|≤或≥5记h()＝fx＋a)－2(x，x，则h＝a，x<a，2a≥a－1＋由|h(≤，解得≤x

}

.又已知|h(≤解集为

{|1≤x

}

，所以

a－1＝1a＋1＝2

于是a＝3.119(本小题满分12)mnR，mn＝，求证：＋≥，并指出等＋号成立的条件．【证明】

1根据柯西不等式，得(＋)(m＋n≥(

m

1＋m

1n)＝4，144于是＋≥＝，mmnp当mn时，等号成立．20(本小题分分)222*222*图1如图1示要设计一张矩形广告该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目(即图中阴影部分)，这两栏目的面积之和18cm，四周空白的宽度为，两栏之间的中缝空白的宽度为5cm，怎样确定广告的高与宽的尺寸(单位：cm)，能使矩形广告面积最小？【解】设广告的高和宽分别为cmy则每栏的高和宽分别为－20，y－252

.中>20，y>25.y－两栏面积之和为2(x－20)＝18，由此得y＝

18x－20

＋25广告的面积S＝＝x

1818＋25)＝＋25x，x－－整理得S＝

360x－20

＋25(x－20)＋因为x－所以S

360x－20

x－＋1824当且仅当

360x－

＝25(x－20)时等号成立，此时有－＝14x>20)，解得x＝140，代入＝

18x－20

＋25得＝即当x＝140，y＝175时，取得最小值500，故当广告的高为cm，宽为175时，可使广告的面积最小．21(本小题分分)设(∈N)，对任意自然数和n总有f(n＋11n＝f()(n)，又＝4.212求f(1)，f的值．23123nknn1－1n21－a22n1n222222n2n22nnn24223123nknn1－1n21－a22n1n222222n2n22nnn242猜想f()的表达式，并证明你的猜想．【解】

由于对任意自然数和n，总有f(n＋n)＝f(n)·f(n)．112取n＝＝，得(2)＝(1)·(1)即f(1)＝4.1∵f(nn∈)，＋∴f(1)＝2，取n＝，n＝2，得f(3)＝21由f(1)＝2，f＝4＝2，f(3)＝2，初步归纳猜想f(n＝2证明：①当n＝1时，(1)＝2成立；②假设n＝时，f)＝2

k

成立．f(k＋＝f(f＝2·2＝2

k1

，即当n＝k＋1，猜想也成立．由①②得，对一切n∈，f(n＝2都成立．＋22小题满分分)设数列{a}首项a∈(0,1)＝n1

3－a2

求{}通项公式；n设b＝a2a，求证b<b，其中为正整数．n【解】

由a＝n

3－a2

n

－

1－a得2a＝3－a，即＝－，nn