第二节晶格及其平移对称性

一、晶体结构及基元（crystalstructureandbasis）（一）常见的晶体结构（commoncrystalstructures）（二）基元和晶体结构（basisandcrystalstructure）（三）简单格子和复式格子（simpleandcompoundlattice

）§1.2晶格及其平移对称性（latticeandtranslationsymmetry）二、原胞和基矢（primitivecellandprimitivetranslationvectors）（一）原胞和基矢（二）晶胞或惯用原胞(unitcellandconventionalunitcell)（三）Wigner-Seitz原胞(Wigner-Seitzprimitivecell

)三、常见晶体结构的原胞和晶胞（primitivecellandunitcellofcommoncrystalstructures

）

（一）简立方（simplecubic）

（二）体心立方（body-centeredcubic）

（三）面心立方（face-centeredcubic）本节思路：首先给出常见的晶体结构，然后从晶格的周期性出发，介绍布拉菲格子、原胞、晶胞、等概念。四、配位数和致密度PackingCanpackwithirregularshapes一、晶体结构及基元（crystalstructureandbasis）§1.2晶格及其平移对称性（latticeandtranslationsymmetry）（一）常见的晶体结构

晶体中原子的具体排列形式称为晶体结构。不同晶体原子规则排列的具体形式如果是不同的，则它们具有不同的晶体结构；若晶体的原子排列形式相同，只是原子间的距离不同，则它们具有相同的晶体结构。下面是常见的几种晶体结构：1.简单立方晶体结构（simplecubicstructure;sc）原子球的正方排列简单立方晶格的典型单元

把晶格设想成原子球的规则堆积，在一个平面内的最简单的堆积便是正方排列，如下图所示，任一个原子球与同一平面内的四个最近邻相切。如果把这样的原子层叠起来，各层的球完全对应，就形成所谓的简立方结构。用黑原点代表原子球就得到简立方的结构单元。对于简立方结构的晶体，原子球只分布在立方体的顶角上，而且立方边的边长等于一个原子球的直径。用圆点表示原子的位置——得到简单立方晶格结构2、体心立方晶体结构（body-centeredcubicstruture；bcc）体心立方晶格的堆积方式体心立方晶格的典型单元

如果把简立方堆积的原子球均匀地散开一些，在原子球的空隙内放一个全同的原子球，使空隙内的原子球与最近邻的8个原子球相切，便构成了体心立方结构。下图分别是体心立方的堆积方式和结构单元。体心立方晶格结构的晶体，除了在立方体的顶角位置各有一个原子以外，在体心位置还有一个原子，体对角线的长度等于两个原子球的直径。

体心立方晶格

体心立方晶格结构

原子球排列形式

体心立方原子球排列方式表示——ABABAB……体心立方晶格中，A层中原子球的距离等于A－A层之间的距离，A层原子球的间隙————原子球的半径——体心立方晶格结构的金属Li、Na、KRb、Cs、Fe体心立方晶格结构金属——Iron3、密堆积结构晶体

简立方和体心立方结构都不是原子球最紧密的堆积方式。原子球如果要构成最紧密的排列，每一个原子球都必须与同平面内相邻的6个原子球相切。原子球在一个平面内最紧密的排列方式，称为密排面。把密排面叠起来可以形成原子最紧密堆积的晶格。密堆积要形成密堆积，只要把一层的球心对准另一层的球隙即可。ClosepackedstructuresMostefficientwayofpackingequalsizedspheres.In2D,haveclosepackedlayersCoordinationnumber(CN)=6.Thisisthemaximumpossiblefor2Dpacking.Canstackclosepacked(c.p.)togive3Dstructures？最紧密的堆积可以形成两种不同最紧密的晶格排列——六角密排和立方密排。在堆积时，如果第二层密排面上的原子球的球心对准前一层的球隙，第三层的原子球心对准第二层的球隙并和第一层的原子球心一一对准，典型的结构单元如图所示,这样的得到晶格，称为六角密排晶格（hexagonalclose-packed；hcp）。六角密排（hexagonalclosepacking;ABAB…）六角密排晶格的典型结构单元原子球排列——ABABAB……六角密排晶格结构晶体Be、Mg、Zn、Cd铍、镁、锌、镉Hexagonalclosepackedstructures(hcp)hcpbcc在堆积时，如果第二层密排面上的原子球的球心对准前一层的球隙，第三层的原子球心对准第二层的其他三个未被第一层占据的球隙，第四层原子球心与第一层的原子球心一一对准，第五层与第二层对应，则得到如图所示的立方密排晶格（cubicclose-packed；ccp），即形成面心立方（face-centeredcubic；fcc）晶体结构。

立方密排(cubicclosepacking；ABCABC…）面心立方晶格的典型单元

面心立方晶格B层原子球排列C层原子球排列原子球排列——ABCABCABC……——层的垂直方向是对称性为3的轴，是立方体的空间对角线面心立方晶格结构晶体Cu、Ag、Au、AlAclosed-packedstructureiscreatedbyplacingalayerofspheresBontopofidenticalclose-packedlayerofspheresA.Therearetwochoicesforathirdlayer.ItcangoinoverAoroverC.IfitgoesinoverAthesequenceisABABAB...andthestructureishcp.IfthethirdlayergoesinoverCthesequenceisABCABCABC...andthestructureisfcc.hcpccp=fcc?Buildupccplayers(ABC…packing)Addconstructionlines-canseefccunitcellc.playersareorientedperpendiculartothebodydiagonalofthecube4金刚石结构（diamondstructure）：

金刚石晶体由碳原子组成，其原子的排列方式称金刚石结构。如图1.16所示，碳原子除了占据立方体的顶角和面心位置外，在四条空间对角线上还有4个原子，其中两个碳原子处于不相邻的两条空间对角线的1/4处，另两个原子处于剩下的两条空间对角线的3/4处。所以，金刚石结构是由两个碳原子构成的面心立方子晶格沿着立方对角线的方向彼此移动对角线长度的1/4套构而成。金刚石晶格结构的典型单元金刚石晶格结构

——碳原子构成的一个面心立方原胞内还有四个原子分别位于四个空间对角线的1／4处——金刚石结构的半导体晶体Ge、Si等——一个碳原子和其它四个碳原子构成一个正四面体5、氯化钠型结构(sodiumchloridestructure):

氯化钠晶格是由纳离子和氯离子相间排列构成的。钠离子（○）和氯离子（●）各自构成一面心立方格子，彼此之间沿立方边位移立方边的一半穿套而成，也就是说，氯化钠晶体是两种不同离子各自构成的面心立方子晶格套构形成的。除了NaCl之外，所有碱金属卤化物晶体，如LiF、KCl、LiI等都具有NaCl晶体结构。

NaCl晶格结构的典型单元下面是几种常见的实际晶体结构：氯化钠由Na+和Cl－结合而成——一种典型的离子晶体Na+构成面心立方格子；Cl－也构成面心立方格子6、氯化铯型结构(caesiumchloridestructure):氯离子（○）位于立方体的顶角，铯离子（●）则位于中心。氯离子与铯离子各自构成一简立方子晶格，沿立方体的对角线位移一半长度套构而成。

除了CsCl之外，TiBr、TlI、CH4Cl等也具有CsCl晶体结构。CsCl晶格结构的典型单元CsCl结构——两个简单立方子晶格彼此沿立方体空间对角线位移1／2的长度套构而成7、闪锌矿结构(blendestructure)：硫化锌的结构与金刚石结构相似，只要将金刚石结构的基元换成相同位置的一对硫原子和锌原子就可以了。锑化铟、砷化镓、磷化铟等Ⅲ-Ⅴ族化合物具有与硫化锌的结构相同，统称为闪锌矿结构。

闪锌矿晶格结构的典型单元ZnS晶体的结构——闪锌矿结构立方系的硫化锌——具有金刚石类似的结构化合物半导体——锑化铟、砷化镓、磷化铟8、钙钛矿结构（perovskite

）钙钛矿结构是钛酸钙（）类型的结构。重要的压电铁电晶体，如钛酸钡（）、锆酸铅（）、铌酸锂（）、钽酸锂（）等都是钙钛矿结构。下面以钛酸钡为例来说明这种结构在立方体的顶角上是钡（Ba），体心是钛（Ti）,面心是氧（O）。氧分成了三组，处于立方体相对面心上的两个氧为一组，三组氧（OⅠ，OⅡ，OⅢ）周围情况各不相同。整个晶格由钡、钛和三组氧各自组成的简立方布拉菲格子（五个）套构而成。如果把三组氧连接起来，它们构成等边三角形；整个原胞有8个这样的三角形，围成一个八面体，称为氧八面体。钙钛矿结构——氧八面体的排列

钙钛矿型的化学式——ABO3A——二价或一价的金属B——四价或五价的金属BO3——氧八面体基团,是钙钛矿型晶体结构的特点（二）基元和晶体结构（basisandcrystalstructure）1、点阵和结点(

latticeandlatticesite

)

晶体的内部结构，可以概括为有一些相同的化学质点在空间有规律地作周期性的无限分布。这些化学质点（代表原子、离子、分子或其集团的重心）的分布总体称为点阵，也称为格子(lattice)。

阵中的点子称为阵点、结点或格点(latticesite)。

所谓格点的周期性阵列，就是说如果把晶体结构看作是在三维空间无限延伸的，则任一点周围的情况的都是完全相同的。通常把这种点的周期性阵列称为布拉菲点阵或布拉菲格子(Braviaslattice)，而点即为格点.布拉菲格子2、基元和晶体结构（basisandcrystalstructure）

构成阵点的具体原子、离子、分子或其集团，都是构成晶体的基本结构单元，称为基元(basis)。

基元包括构成晶体的原子（离子、分子）的种类、数量、相对取向及位置。在每一个格点上放上一个基元，整个晶体的结构就可以用晶格来表示。

晶格与晶体有着相同的几何性质，但是完全不包含任何物理内容。也就是说，用原子在平衡位置的几何点替代每一个原子，得到一个与晶体几何特征相同、但无任何物理实质的几何图形（区分不同原子），这个几何图形就是晶格（lattice），处于原子平衡位置的几何点就是格点（latticesite）。实际晶体的结构与点阵和基元的关系可以概括为：晶体结构=布拉菲格子+基元（crystalstructure=Braviaslattice+basis）晶体结构及其点阵（三）简单格子和复式格子

晶格可以分为两类：简单格子（布拉菲格子Bravaislattice）和复式格子（非布拉菲格子non-Bravaislattice）。在布拉菲格子中，所有的格点都是等价的，当然要求晶体中的所有原子都等价（种类相同、性质相同）。在复式格子中，有些格点是不等价的。金刚石、NaCl、CsCl、六角密积、C60等晶体就是这样的结构。

复式格子（非布拉菲格子）经常说成是布拉菲格子附着一个基元（basis）。比如金刚石结构虽然是由一种原子构成的，但它在立方体顶角上的碳原子和体心处的碳原子是不等价的，两个原子的周围情况不同，所以是复式格子。这两个原子就是构成金刚石结构晶体的基元；在C60晶体中，60个碳原子组成的原子团就是构成C60晶体的基元。

基元中相应原子在晶格中的位置都是等价的，所以复式格子可以看成是由若干个相同的简单格子（布拉菲格子）相互位移套构成的。简单晶格——基元是一个原子复式晶格——基元是一个以上原子C60Facecentredcubic

复式晶格

——复式格子包含两种或两种以上的等价原子1)不同原子或离子构成的晶体NaCl、CsCl、ZnS等

2)相同原子但几何位置不等价的原子构成的晶体金刚石结构的C、Si、Ge六角密排结构Be、Mg、Zn3)复式格子的特点：不同等价原子各自构成相同的简单晶格复式格子由它们的子晶格相套而成NaCl晶格——Na+和Cl－各有一个相同的面心立方晶格

——CsCl结构是由两个简立方的子晶格彼此沿立方体空间对角线位移1／2的长度套构而成CsCl的复式晶格立方系的ZnS——S和Zn分别组成面心立方结构的子晶格沿空间对角线位移1／4的长度套构而成ZnS的复式晶格钛酸钡（BaTiO3）的复式晶格BaTiO3的晶格——Ba、Ti、OI、OII、OIII5个相同的简立方结构子晶格套构而成4）复式格子的原胞

——相应简单晶格的原胞一个原胞中包含各种等价原子各一个钛酸钡原胞——简单立方——5个原子3个不等价的O原子1个Ba原子1个Ti原子二、原胞和基矢（primitiveunitcellandprimitivevectors）（一）原胞和基矢晶格是由基本平移矢量（fundamentaltranslationvectors）定义的。如下图所示的二维晶格中，任意格点的位置矢量（positionvector）可以写成：格矢的表示其中是图中的两个平移矢量，是由具体要描述的格点位置所决定的一对整数。(1.1)由两个不在同一直线上的平移矢量可以得到（1.1）式表示的所有格点的位置，由这个方程表示的所有位置矢量的集合，称为格矢（latticevectors）。平移矢量可以称之为初基平移矢量（primitivetranslationvectors）或基矢（basisvector）。

由构成的平行四边形就是二维晶格的原胞(Primitiveunitcell)。注意：原胞是指能完全平移覆盖晶格的最小单元，它只反映晶格的周期性。二维原胞的取法，P是原胞，NP不是原胞原胞的选取不是唯一的，原则上只要是晶格的最小周期性单元都可以。123二维原胞示意图同一晶格中的各种原胞的面积（或者体积）大小相同。布拉菲晶格的原胞中只含一个原子。原胞的必要条件是在其范围内只包含一个格点。

原胞的体积:三维原胞示意图

三维晶格情况下的原胞是一个平行六面体，其三个边矢量即为基矢。对于一个给定的点阵，总可以选择三个不共面的基本平移矢量作为点阵的基矢，使得矢量(1.2.1)

当取一切正、负整数时，矢量端点的集合包含且仅包含点阵中所有的结点而没有遗漏，为格矢。这样，可以用一个空间的密度函数将点阵表示为(1.2.2)这是一系列峰值在的δ函数之和。平移对称性的破缺（breakingofthanslationalsymmetry）：

由于式（1.2.2）是对一切平移矢量求和，所以，应是的周期函数：（1.2.3）可见，晶格并不是对任意的平移矢量保持不变，而只对一组离散的平移矢量具有不变性，这种性质称为平移对称性的破缺，或者说是具有破缺的平移对称性。

如果晶体中所有基元都严格地处于点阵所确定的格点上，晶体内一切物理量应该都是格矢的周期函数。比如，晶体中电子的势能函数满足（1.2.4）（二）晶胞或惯用原胞(Conventionalunitcell

)

晶胞或称为惯用原胞是一倍或几倍于原胞的晶格周期性单位.它既可以反映晶格的周期性，又可以反映晶格的对称性。在二维矩形晶格的情况下，晶胞就是这个矩形，矩形的两边就是惯用原胞基矢（），如下图所示。在这种情况下，虽然晶胞比原胞大，但是它更能清楚地反映晶格的对称性。注意晶胞或惯用原胞的定义与非布拉菲点阵无关.晶格常数a

通常指晶胞的边长。同样，晶胞的选择也不是唯一的，以方便为原则。原胞与惯用原胞晶胞

——为了反映晶格的对称性常取最小重复单元的几倍作为重复单元晶胞的边在晶轴方向，边长等于该方向上的一个周期晶胞的基矢——晶胞三个边的矢量一些情况下——晶胞就是原胞一些情况下——晶胞不是原胞简单立方—晶胞是原胞面心立方—晶胞不是原胞（三）Wigner-Seitz原胞（Wigner-Seitzprimitivecell）

Wigner-Seitz原胞，简称W-S原胞，是一种特殊类型的周期性结构单元，它既能显示晶体结构的对称性，又是最小的重复单元。二维点阵的Wigner-Seitz原胞作法：把某格点同它相同与它相邻的所有格点连成直线，然后作这些连线的中垂面，这些面所围成的最小体积，就是威格纳－赛兹原胞，下图就是二维点阵的Wigner-Seitz原胞。——

简单立方——

维格纳—

塞茨原胞原点和6个近邻格点连线的垂直平分面围成的立方体——

面心立方晶格——维格纳—塞茨原胞为原点和12个近邻格点连线的垂直平分面围成的正十二面体

——

体心立方——维格纳—塞茨原胞为原点和8个近邻格点连线的垂直平分面围成的正八面体，和沿立方轴的6个次近邻格点连线的垂直平分面割去八面体的六个角，形成的14面体——

八个面是正六边形，六个面是正四边形

三、常见晶体结构的原胞和晶胞（primitivecellandunitcellofcommoncrystalstructures

）（一）简立方（sc）简立方结构的晶体，结点只分布在立方体的顶角上，即简立方的一个顶角为8个原胞共有，一个原胞只包含一个格点。如下图所示，简立方的原胞和晶胞是统一的。若立方体的边长为a

，则简立方的原胞和晶胞表示为：简立方的原胞和晶胞原胞和晶胞的体积相等：（二）体心立方下图所示是体心立方晶胞和原胞基矢的一种选取方法，格点位于晶胞的顶角和体心上，原胞和晶胞基矢不再统一。容易看出，若立方体的边长为a，晶胞基矢仍然为：一个晶胞包含个格点，晶胞的体积应为原胞体积的2倍。晶胞的边长就是立方体的边长，也称为晶格常数。原胞基矢为：原胞体积是晶胞体积的一半。体心立方晶格由立方体的中心到三个顶点引三个基矢——原胞中只包含一个原子基矢原胞体积（三）面心立方如图所示是面心立方晶胞和原胞基矢的一种选取方法，格点位于晶胞的顶角和面心上。每个晶胞有八个顶角和六个面心，包含个格点。晶胞基矢仍然为：面心立方的原胞基矢为原胞体积为晶胞体积的1/4。六角密排晶格的原胞基矢选取——一个原胞中包含A层和B层原子各一个——共两个原子四、配位数和致密度配位数（coordinationnumber

）——对于不同的原子排列方式，一个原子周围最近邻的原子数，反映了原子排列的紧密程度，称为配位数。粒子排列越紧密，配位数应该越大。简立方晶格的配位数是6；体心立方晶格的配位数是8；密堆积原子的排列最紧密，配位数也最大，密堆积的配位数是12。

配位数的可能取值－－最大的配位数为12，可能取值分别为8、6、4、3、2，分别对应不同的晶体结构。致密度η，或堆积因子（packingfactor）是指晶胞中所有原子的体积与晶胞体积之比；通常用下式表示：一、晶体结构及基元（crystalstructureandbasis）（一）常见的晶体结构（commoncrystalstructures）（二）基元和晶体结构（basisandcrystalstructure）（三）简单格子和复式格子（simpleandcompoundlattice

）§1.2晶格及其平移对称性（latticeandtranslationsymmetry）二、原胞和基矢（primitivecellandprimitivetranslationvectors）（一）原胞和基矢（二）晶胞或