高中数学人教A版1第三章空间向量与立体几何单元测试 市获奖

第三章一、选择题1．对于向量a、b、c和实数λ，下列命题中真命题是eq\x(导学号33780753)()A．若a·b＝0，则a＝0或b＝0B．若λa＝0，则λ＝0或a＝0C．若a2＝b2，则a＝b或a＝－bD．若a·b＝a·c，则b＝c[答案]B[解析]a·b＝0⇒a⊥b，|a|2＝|b|2⇒(a＋b)·(a－b)＝0⇒(a＋b)⊥(a－b)；a·b＝a·c⇒a⊥(b－c)；故A、C、D均错．2．长方体ABCD－A1B1C1D1中，若eq\o(AB,\s\up6(→))＝3i，eq\o(AD,\s\up6(→))＝2j，eq\o(AA1,\s\up6(→))＝5k，则eq\o(AC1,\s\up6(→))＝eq\x(导学号33780754)()A．i＋j＋k B．eq\f(1,3)i＋eq\f(1,2)j＋eq\f(1,5)kC．3i＋2j＋5k D．3i＋2j－5k[答案]C[解析]eq\o(AC1,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CC1,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))＝3i＋2j＋5k.3．给出下列命题：①若{a，b，c}可以作为空间的一个基底，d与c共线，d≠0，则{a，b，d}也可作为空间的基底；②已知向量a∥b，则a、b与任何向量都不能构成空间的一个基底；③A、B、M、N是空间四点，若eq\o(BA,\s\up6(→))、eq\o(BM,\s\up6(→))、eq\o(BN,\s\up6(→))不能构成空间的一个基底，那么A、B、M、N共面；④已知向量组{a，b，c}是空间的一个基底，若m＝a＋c，则{a，b，m}也是空间的一个基底．其中正确命题的个数是eq\x(导学号33780755)()A．1 B．2C．3 D．4[答案]D[解析]根据基底的概念，空间中任何三个不共面的向量都可作为空间的一个基底，否则就不能构成空间的一个基底．显然②正确，③中由eq\o(BA,\s\up6(→))、eq\o(BM,\s\up6(→))、eq\o(BN,\s\up6(→))共面且过相同点B，故A、B、M、N共面．下面证明①④正确．①假设d与a、b共面，则存在实数λ，μ，使d＝λa＋μb，∵d与c共线，c≠0，∴存在实数k，使d＝kc，∵d≠0，∴k≠0，从而c＝eq\f(λ,k)a＋eq\f(μ,k)b，∴c与a、b共面与条件矛盾．∴d与a，b不共面．同理可证④也是正确的．4．已知a＋b＋c＝0，|a|＝2，|b|＝3，|c|＝eq\r(19)，则向量a与b之间的夹角〈a，b〉为eq\x(导学号33780756)()A．30° B．45°C．60° D．以上都不对[答案]C[解析]由题意a＋b＝－c，两边平方得，|c|2＝|a|2＋|b|2＋2|a||b|cos〈a，b〉，即19＝4＋9＋2×2×3cos〈a，b〉，所以cos〈a，b〉＝eq\f(1,2)，所以〈a，b〉＝60°.5.在三棱柱ABC－A1B1C1中，点M、N分别是A1B、B1C1上的点，且BM＝2A1M，C1N＝2B1N.设eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，eq\o(AA1,\s\up6(→))＝c，用a、b、c表示向量eq\o(MN,\s\up6(→))为eq\x(导学号33780757)()\f(1,3)a＋eq\f(1,3)b－c B．a＋eq\f(1,3)b＋eq\f(1,3)c\f(1,3)a－eq\f(1,3)b＋eq\f(1,3)c D．eq\f(1,3)a＋eq\f(1,3)b＋eq\f(1,3)c[答案]D[解析]eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(MA1,\s\up6(→))＋eq\o(A1B1,\s\up6(→))＋eq\o(B1N,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(BA1,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(B1C1,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(c－a)＋a＋eq\f(1,3)(b－a)＝eq\f(1,3)a＋eq\f(1,3)b＋eq\f(1,3)c.6．若a＝e1＋e2＋e3，b＝e1－e2－e3，c＝e1＋e2，d＝e1＋2e2＋3e3({e1，e2，e3}为空间的一个基底)且d＝xa＋yb＋zc，则x，y，z分别为eq\x(导学号33780758)()\f(5,2)，－eq\f(1,2)，－1 B．eq\f(5,2)，eq\f(1,2)，1C．－eq\f(5,2)，eq\f(1,2)，1 D．eq\f(5,2)，－eq\f(1,2)，1[答案]A[解析]d＝xa＋yb＋zc＝x(e1＋e2＋e3)＋y(e1－e2－e2)＋z(e1＋e2)＝(x＋y＋z)e1＋(x－y＋z)e2＋(x－y)e3＝e1＋2e2＋3e3∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＋z＝1,x－y＋z＝2,x－y＝3))⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(5,2),y＝－\f(1,2),z＝－1))二、填空题7．若{a，b，c}是空间的一个基底，且存在实数x、y、z使得xa＋yb＋zc＝0，则x、y、z满足的条件是\x(导学号33780759)[答案]x＝y＝z＝0[解析]若x≠0，则a＝－eq\f(y,x)b－eq\f(z,x)c，即a与b，c共面．由{a，b，c}是空间向量的一个基底知a、b、c不共面，故x＝0，同理y＝z＝0.8．设命题p：{a，b，c}为空间的一个基底，命题q：a、b、c是三个非零向量，则命题p是q的________条件.eq\x(导学号33780760)[答案]充分不必要[解析]{a，b，c}为空间的一个基底，则a、b、c一定不共面，则它们三者中无零向量，反之，若a、b、c是三个非零向量，它们可能共面，此时{a，b，c}不可能成为空间的一个基底．三、解答题9．如图，已知正方体ABCD－A′B′C′D′，点E是上底面A′B′C′D′的中心，取向量eq\o(AB,\s\up6(→))、eq\o(AD,\s\up6(→))、eq\o(AA′,\s\up6(→))为基底的基向量，在下列条件下，分别求x、y、z的值.eq\x(导学号33780761)(1)eq\o(BD′,\s\up6(→))＝xeq\o(AD,\s\up6(→))＋yeq\o(AB,\s\up6(→))＋zeq\o(AA′,\s\up6(→))；(2)eq\o(AE,\s\up6(→))＝xeq\o(AD,\s\up6(→))＋yeq\o(AB,\s\up6(→))＋zeq\o(AA′,\s\up6(→)).[解析](1)∵eq\o(BD′,\s\up6(→))＝eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(DD′,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DD′,\s\up6(→))＝－eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AA′,\s\up6(→))，又eq\o(BD′,\s\up6(→))＝xeq\o(AD,\s\up6(→))＋yeq\o(AB,\s\up6(→))＋zeq\o(AA′,\s\up6(→))，∴x＝1，y＝－1，z＝1.(2)∵eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(AA′,\s\up6(→))＋eq\o(A′E,\s\up6(→))＝eq\o(AA′,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(A′C′,\s\up6(→))＝eq\o(AA′,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(A′B′,\s\up6(→))＋eq\o(A′D′,\s\up6(→)))＝eq\o(AA′,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(A′B′,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AA′,\s\up6(→))，又eq\o(AE,\s\up6(→))＝xeq\o(AD,\s\up6(→))＋yeq\o(AB,\s\up6(→))＋zeq\o(AA′,\s\up6(→))，∴x＝eq\f(1,2)，y＝eq\f(1,2)，z＝1.10．如图，设四面体OABC的三条棱eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，eq\o(OC,\s\up6(→))＝c，G为△ACB的重心，以{a，b，c}为空间基底表示向量eq\o(BE,\s\up6(→))，eq\o(OG,\s\up6(→)).eq\x(导学号33780762)[解析]由G为△ACB的重心易知E为AC的中点，∴eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)[(eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→)))＋(eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→)))]＝eq\f(1,2)[(a－b)＋(c－b)]＝eq\f(1,2)(a＋c－2b)，eq\o(OG,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(BG,\s\up6(→))＝b＋eq\f(2,3)eq\o(BE,\s\up6(→))＝b＋eq\f(1,3)(a＋c－2b)＝eq\f(1,3)(a＋b＋c).一、选择题1．如图，长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4、BC＝1、AA1＝3，已知向量a在基底{eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(AA1,\s\up6(→))}下的坐标为(2,1，－3)．若分别以eq\o(DA,\s\up6(→))、eq\o(DC,\s\up6(→))、eq\o(DD1,\s\up6(→))的方向为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系，则a的空间直角坐标为eq\x(导学号33780763)()A．(2,1，－3) B．(－1,2，－3)C．(1，－8,9) D．(－1,8，－9)[答案]D[解析]a＝2eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))－3eq\o(AA1,\s\up6(→))＝2eq\o(DC,\s\up6(→))－eq\o(DA,\s\up6(→))－3eq\o(DD1,\s\up6(→))＝8j－i－9k＝(－1,8，－9)．2．若A(λ＋1，μ－1,3)、B(2λ，μ，λ－2μ)、C(λ＋3，μ－3,9)三点共线，则λ＋μ＝eq\x(导学号33780764)()A．－2 B．－1C．0 D．1[答案]C[解析]由条件知eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(AC,\s\up6(→))，由于eq\o(AB,\s\up6(→))＝(λ－1,1，λ－2μ－3)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(2，－2,6)，所以eq\f(λ－1,2)＝－eq\f(1,2)＝eq\f(λ－2μ－3,6)，所以λ＝0，μ＝0，于是λ＋μ＝0.3．设O－ABC是四面体，G1是△ABC的重心，G是OG1上的一点，且OG＝3GG1，若eq\o(OG,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))＋zeq\o(OC,\s\up6(→))，则(x，y，z)为eq\x(导学号33780765)()\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(1,4)，\f(1,4))) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，\f(3,4)，\f(3,4)))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(1,3)，\f(1,3))) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，\f(2,3)，\f(2,3)))[答案]A[解析]连AG1交BC于E，则E为BC中点，eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(eq\o(OB,\s\up6(→))－2eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→)))，eq\o(AG1,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(OB,\s\up6(→))－2eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→)))，∵eq\o(OG,\s\up6(→))＝3eq\o(GG1,\s\up6(→))＝3(eq\o(OG1,\s\up6(→))－eq\o(OG,\s\up6(→)))，∴OG＝eq\f(3,4)OG1，∴eq\o(OG,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)eq\o(OG1,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AG1,\s\up6(→)))＝eq\f(3,4)(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\f(2,3)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,4)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(OC,\s\up6(→))，故选A.4．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是上底面A1B1C1D1的中心，则AC1与CE的位置关系是eq\x(导学号33780766)()A．重合 B．垂直C．平行 D．无法确定[答案]B[解析]eq\o(AC1,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))，eq\o(CE,\s\up6(→))＝eq\o(CC1,\s\up6(→))＋eq\o(C1E,\s\up6(→))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))－eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))．设正方体的棱长为1，于是eq\o(AC1,\s\up6(→))·eq\o(CE,\s\up6(→))＝(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→)))·(eq\o(AA1,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→)))＝0－eq\f(1,2)－0＋0－0－eq\f(1,2)＋1－0－0＝0，故eq\o(AC1,\s\up6(→))⊥eq\o(CE,\s\up6(→))，即AC1与CE垂直．二、填空题5．三棱锥P－ABC中，∠ABC为直角，PB⊥平面ABC，AB＝BC＝PB＝1，M为PC的中点，N为AC中点，以{eq\o(BA,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(BP,\s\up6(→))}为基底，则eq\o(MN,\s\up6(→))的坐标为\x(导学号33780767)[答案](eq\f(1,2)，0，－eq\f(1,2))[解析]eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(BN,\s\up6(→))－eq\o(BM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))－eq\f(1,2)(eq\o(BP,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(BP,\s\up6(→))，即eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0，－\f(1,2))).6．设{i，j，k}是单位正交基底，已知向量p在基底{a，b，c}下的坐标为(8,6,4)，其中a＝i＋j，b＝j＋k，c＝k＋i，则向量p在基底{i，j，k}下的坐标是\x(导学号33780768)[答案](12,14,10)[解析]依题意知p＝8a＋6b＋4c＝8(i＋j)＋6(j＋k)＋4(k＋i)＝12i＋14j＋10k，故向量p在基底{i，j，k}下的坐标是(12,14,三、解答题7．如图所示，正方体OABC－O′A′B′C′，且eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OC,\s\up6(→))＝b，eq\o(OO′,\s\up6(→))＝\x(导学号33780769)(1)用a、b、c表示向量eq\o(OB′,\s\up6(→))、eq\o(AC′,\s\up6(→))；(2)设G、H分别是侧面BB′C′C和O′A′B′C′的中心，用a、b、c表示eq\o(GH,\s\up6(→)).[解析](1)eq\o(OB′,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(BB′,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＋eq\o(OO′,\s\up6(→))＝a＋b