第2章 材料力学基础

第2章材料力学基础材料力学的基本概念2.1轴向拉伸和压缩2.2剪切与挤压2.3圆轴扭转2.4

工程中有各种各样的结构或机械，不管其结构多么复杂，它们都是由一个个构件组合而成的。

任何构件在外力作用下，它的几何形状和尺寸大小都会发生一定程度的改变，如各种机床的刀具、车床的主轴（见图2.1）等，它们在外力增加到一定程度时会发生破坏。

构件的过大变形和破坏，都会影响工程结构的正常工作。为了保证工程结构在载荷作用下正常工作，要求每个构件具有足够的承载能力，承载能力的大小主要由强度、刚度、稳定性3个方面来衡量。图2.1车床的主轴2.1材料力学的基本概念2.1.1构件的承载能力

机械和工程结构都是由许多构件组合而成的，任何一个构件都是用某种材料制成的。

承载能力主要由以下3个方面的指标来衡量，如表2.1所示。名称含义指标要求实例强度构件抵抗破坏的能力构件承载后不发生破坏时构件应具有的足够强度起重用的钢丝绳在起吊额定重量的重物时不能断裂；车床主轴在正常工作时不能折断等刚度构件抵抗变形的能力构件承载后不发生过大变形时构件应具有的足够的刚度如车床主轴在保证足够强度的同时，还需要有足够的刚度，否则过大的变形，会影响工件的加工精度表2.1 构件安全性指标稳定性杆件维持其原有平衡形式的能力构件应具有足够的稳定性，以保证在规定的使用条件下不丧失稳定性而破坏螺旋千斤顶中的螺杆和内燃机中配气机构的挺杆当压力增大到一定程度时，杆件就会突然变弯，失去原来的直线平衡形式2.1.2材料力学的任务

在设计一个构件时，除了保证构件安全工作外，同时还要考虑经济方面的要求。2.1.3杆件变形的基本形式

工程中大多数构件，如轴、丝杠和螺栓等都是纵向尺寸（长度）远大于横向尺寸的材料，在材料力学上将这类构件称为杆。

如果杆的轴线为曲线称为曲杆，如果杆的轴线为直线，称为直杆。

若直杆各横截面都相等，这种杆件称为等横截面直杆。

它是材料力学研究的基本对象。

杆件在不同的受力情况下，会产生各种不同的变形。

基本变形形式有4种，如表2.2所示。

对于工程中比较复杂的杆件变形，也只是这几种基本变形形式的组合。续表2.2轴向拉伸和压缩2.2.1轴向拉伸和压缩时的内力1．内力

杆件在外力作用下产生变形，其内部的一部分对另一部分的作用称为内力。

拉压杆上的内力又称为轴力。

这种内力将随外力增大而增大，当外力增大到一定限度时，杆件就会发生破坏。2．截面法

将受外力作用的杆件假想地切开来用以显示内力，并以平衡条件来确定其合力的方法，称为截面法。图2.2受拉杆件受力分析

综上所述，求杆件内力的方法—截面法可概述如下。（1）截开沿欲求内力的截面，假想把杆件分成两部分。（2）代替取其中一部分为研究对象，画出其受力图。在截面上用内力代替移去部分对留下部分的作用。（3）平衡列出平衡方程，确定未知的内力。注意

轴力符号的规定为拉伸时N为正（N的指向背离截面）；压缩时N为负（N的指向朝向截面）。2.2.2拉伸和压缩时横截面上的应力1．应力

有两根杆件材料相同，一根较细，一根较粗。

在相同外力作用下，较细那根构件容易破坏。

因此，需综合内力和横截面面积两个因素才能正确反映杆件的强度。

工程上常用应力来衡量构件受力的强弱程度。

应力是指构件在外力作用下，单位面积上的内力。2．正应力

垂直于横截面上的应力，称为正应力，用

表示，即

=N/A

式中

—横截面上的正应力，单位为MPa；

N—横截面上的内力（轴力），单位为N；

A—横截面的面积，单位为mm2。2.2.3拉伸（压缩）时横截面上的应变1．绝对变形和相对变形

现在我们研究图2.5所示的轴向尺寸的变化。图2.5杆件受拉和受压绝对变形与杆的原长有关，为了消除杆件原长度的影响，采用单位原长度的变形量来度量杆件的变化程度，称为相对变形，又称为应变。用ε表示，则

对于拉杆，

为正值；对于压杆，

为负值。

是无单位的，通常用百分比表示。2．胡克定律

杆件拉伸或压缩时，其变形和应力间存在着一定的关系。

实验表明，当杆件横截面上的正应力不超过某一限度时，杆的正应力与轴向线应变成正比，这一关系称为胡克定律，即材料名称碳钢合金钢灰铸铁铜及其合金钢铝合金橡胶E值196～216186～20678.5～15773～128703表2.3 常用材料的E值2.2.4拉伸（压缩）时的应力—

应变曲线1．低碳钢拉伸时的应力—应变曲线

试件在受到缓慢施加的拉力作用下，试件逐渐被拉长（伸长量用L来表示），直到试件断裂为止。

这样得到F与L的关系曲线，称为拉伸图或F—L曲线，如图2.6所示。图2.6低碳钢拉伸图图2.7低碳钢拉伸变形

—

曲线①弹性阶段②屈服阶段③强化阶段④颈缩阶段2．铸铁拉伸时的应力—应变曲线

从灰口铸铁拉伸时的

—

图可以看

出是一段微弯的曲线，如图2.8所示。

无明显直线部分，表明应力与应变的关系不符合胡克定律，但在应力较小时，可近似以直线代替曲线。

也就是说，在较小应力时仍近似符合胡克定律，从而可确定弹性模量E的值。图2.8灰铸铁拉伸变形图3．低碳钢压缩时的应力—应变曲线4．铸铁压缩时的应力—应变曲线

综上，塑性材料和脆性材料力学性能的主要区别如下。（1）塑性材料断裂前既有明显的塑性变形又有明显的屈服现象，而脆性材料在变形很小时突然断裂，无屈服现象。（2）塑性材料在拉伸和压缩时的比例极限、屈服极限和弹性摸量均相同，因塑性材料一般不允许达到屈服极限，所以其抵抗拉伸和压缩的能力相同。脆性材料抵抗拉伸的能力远低于其抵抗压缩的能力。2.2.5拉伸和压缩的强度条件和应用1．许用应力和安全系数

为保证构件具有足够的强度，构件在外力作用下的最大工作应力必须小于材料的极限应力。2．构件在拉伸和压缩时的强度条件

为保证拉（压）杆不致因强度不够而失去正常的工作能力，必须使其最大工作应力不超过材料在拉伸（压缩）时的许用应力[

]，即

N/A≤[

]式中[

]

—许用应力，单位为MPa；

N

—横截面上的内力，单位为N；

A

—横截面的面积，单位为mm2。2.3剪切与挤压2.3.1剪力和切应力

在工程实际中，有很多承受剪切的构件，如铆钉、键和销等连接件，都是剪切变形的工程实例。

图2.12（a）所示为一铆钉连接的简图。

切应力的计算公式为

式中—切应力，单位为MPa；

Q

—剪切面上的剪力，单位为N；

A

—剪切面面积，单位为mm2。图2.12铆钉连接的简图2.3.2挤压应力

机械中受剪切作用的连接件，在传力的接触面上，由于局部承受较大的压力，而出现塑性变形，这种现象称为挤压。

挤压应力在挤压面上的分布也很复杂，工程中近似认为挤压应力在挤压面上均匀分布，如图2.13（c）所示，则bs

=

P/Abs

式中bs

—挤压应力，单位为MPa；

P

—挤压面上的作用力，单位为N；

Abs

—挤压面面积，单位为mm2。

为了简化计算，一般取通过圆柱直径的平面面积（即圆柱的正投影面面积）作为挤压面的计算面积，如图2.13（d）所示。图2.13螺栓连接2.3.3剪切和挤压强度条件和应用1．抗剪强度条件

剪切面上最大切应力，即抗剪强度τmax不得超过材料的许用切应力，即max=Q/A≤[]

式中τmax

—剪切面上的最大切应力，单位为MPa； Q

—剪切面上的剪力，单位为N；A

—剪切面截面积，单位为mm2；

[]

—许用切应力，单位为MPa。

许用切应力

[]

可通过试验测得。2．抗挤压强度条件挤压面上的最大挤压应力不得超过挤压许用应力，即

bsmax

=

P/Abs≤

式中bsmax

—最大挤压应力，单位为MPa；

P

—挤压力，单位为N；

Abs

—挤压面面积，单位为mm2；

—许用挤压应力，单位为MPa。3．抗剪和抗挤压条件的应用

工程中为使机器中关键零件或贵重零件不致损坏，而把机器中某个次要零件设计成机器中最薄弱的环节。注意（1）由于受剪零件同时伴有挤压作用，因此在校核强度时，不仅要计算抗剪强度，还要计算挤压强度；（2）在进行3类强度问题计算前，先明确计算类别，再根据强度条件进行计算；（3）解题步骤为：先用截面法求内力，然后用强度条件进行相关问题的计算。4．提高连接件强度的主要措施

提高连接件强度的主要措施如下。（1）增加连接件的数量，加大承载面积；（2）通过增加连接件剪切面数量，加大承载面积。2.4圆轴扭转2.4.1扭转的概念

工程中，很多传动机构中的回转体都会产生扭转变形。

在工程计算中，作用于轴上的外力偶矩往往不是直接给出其数值，而是给出轴所传递的功率P（kW）和轴的转速n（r/min），通过计算得出外力偶矩m

=

9

550P/n

（N·m）2.4.2扭矩、扭矩图1．扭矩

圆轴在外力偶矩作用下发生扭转变形，其横截面上将产生内力。图2.18圆轴扭转变形图2.19右手螺旋法则2．扭矩图

当轴上承受多个外力偶矩作用时，各横截面上的扭矩是不同的。

为了确定最大扭矩的所在位置，以便分析危险截面，常需画出扭矩随截面位置变化的图形，这种图形称为扭矩图。

扭矩图横坐标表示横截面的位置，纵坐标表示各横截面上扭矩的大小。图2.20传动轴2.4.3圆轴扭转的应力1．圆轴扭转变形

取一等直圆轴，在它的表面划出一组平行于轴线的纵向线和一组代表横截面的圆周线，形成许多矩形格子。

图2.21圆轴扭转变形2．圆轴扭转时的应力（1）切应力分布规律圆轴横截面上任一点的切应力与该点所在圆周的半径成正比，方向与过该点的半径垂直，切应力最大处发生在半径最大处。应力分布规律如图2.22所示。图2.22圆轴横截面上应力分布规律（2）切应力计算公式根据静力学关系导出切应力计算公式为

式中

—切应力，单位为MPa；

MT

—横截面上的扭矩，单位为kN·m；

—横截面上任意一点的半径，单位为mm；

IP

—横截面的极惯性矩，单位为mm4。当

=R时，切应力最大，即令IP/R=Wn，于是上式可改为式中Wn

—抗扭截面系数，单位为mm3。3．圆轴抗扭截面模量计算公式

机器中轴的横截面通常采用实心圆和空心圆两种形状。

它们的极惯性矩Ip和抗扭截面系数Wn计算公式如下。（1）实心圆轴（设直径为D）

极惯性矩

抗扭截面系数

（2）空心圆轴（设轴的外径为D，内径为d）

极惯性矩

抗扭截面系数

式中，

=

d/D。2.4.4圆轴扭转的强度计算为保证圆轴的正常工作，应使危险截面上最大工作剪应力max不超过材料的许用剪应力[

]。由此得圆轴扭转的强度条件为

式中max

—最大切应力，单位为MPa；

MT

—横截面上的扭矩，单位为kN·m；

Wn

—抗扭截面系数，单位为mm3；[

]

—许用切应力，单位为MPa。

受静载荷作用时，[

]与[

]之间存在以下关系。

对于塑性材料[

]

=（0.5～0.6）[

]

对于脆性材料[

]

=（0.8～1.0）[

]2.4.5提高轴抗扭能力的方法

由扭转强度条件max=MT/Wn≤[

]可知，要提高轴的抗扭能力就必须提高轴的强度。

要提高轴的强度必须从以下两方面考虑。 1．合理选用截面，提高轴的抗扭截面系数Wn 2．合理安排受力情况，降低最大扭矩

除了抗扭强度的影响外，对许多轴来说，还要考虑刚度对抗扭能力的影响，即在轴满足强度条件下，还要使轴避免产生过大扭转变形。

我们把抗扭转变形的能力称为抗扭刚度，提高抗扭刚度的方法有以下3种。（1）合理安排受力，降低最大扭矩。（2）合理选择截面，提高抗扭刚度。（3）在强度条件许可的条件下，选择刚度大的材料。2.5直梁弯曲2.5.1概述1．弯曲的概念

在工程结构和机械零件中，存在大量的弯曲问题，如桥式起重机横梁在载荷和自重作用时，汽车用的钢板弹簧以及火车的车轴在受到横向载荷作用时，都会产生弯曲变形。

以弯曲变形为主要变形的杆件称为梁。注意

弯曲变形的特点是杆件所受的力是垂直于梁轴线的横向力，在其作用下梁的轴线由直线变成曲线。2．平面弯曲

工程中大多数梁的横截面都具有对称性，梁的轴线和截面纵向对称轴所决定的平面称为纵向对称面，如图2.24所示。图2.24梁的平面弯曲3．梁的类型

据约束特点对支座简化，分为下列3种基本形式。（1）简支梁（2）悬臂梁（3）外伸梁图2.25桥式起重机横梁图2.26车刀图2.27车床主轴4．梁上外力形成

梁上外力包括载荷和支座两部分，梁上的载荷常见形式有以下3种。（1）集中力F，单位是N或kN。（2）集中力偶M，单位是N·m或kN·m。（3）均匀分布载荷q，单位是N/m或kN/m。

工程上，作用在梁上的载荷是已知的，而支座反力是未知的，必须通过静力平衡方程求得。2.5.2梁的内力—剪力和弯矩

梁的内力包括剪力FQ和弯矩M，下面以图2.28（a）所示的简支梁为例加以说明。梁在C点受集中力F。（1）求梁上所受约束力（2）用截面法求得内力

①在截面m−m处假想地把梁切为两段，取左端为研究对象，如图2.28（b）所示。

②建立平衡方程

由此可以看出，弯曲时，梁的横截面上产生两种内力，一个是剪力，另一个是弯矩。图2.28简支梁受力分析注意

弯矩符号的规定。如图2.29所示，梁弯曲成凹面向上时，横截面上的弯矩为正；弯曲成凸面向下时，弯矩为负。图2.29弯矩符号的规定2.5.3弯矩图

一般情况下，在梁的不同截面上，弯矩是不相同的，并随着横截面位置的不同而改变。图2.30齿轮轴2.5.4弯曲正应力1．纯弯曲

图2.31（a）所示的梁AB段，各横截面上的剪力为零，而弯矩为常量。

只有弯曲作用而没有剪力作用的梁，称为纯弯曲梁。图2.31直梁弯曲2．应力的分布规律

取一矩形截面梁，在其表面画上横向线1-1、2-2和纵向线ab、cd，然后在梁的纵向对称平面施加一对大小相等、方向相反的力偶时，使梁产生纯弯曲变形。注意

正应力的分布规律为横截面上各点正应力的大小，与该点到中性轴的距离成正比。

如图2.32所示，在中性轴处正应力为零，离中性轴最远的截面上，上、下边缘正应力最大。

正应力沿截面高度按直线规律分布。图2.32正应