第15章 利率选择权

利率選擇權第十五章

1交易所推出之利率選擇權以現貨為標的物的商品則稱之為「利率選擇權」，此類商品乃由CBOE於1989年率先推出，以美國政府短、中、長期公債之殖利率為標的物，分為最近標售之十三週國庫券利率選擇權(IRX)、五年期公債利率選擇權(FVX)、十年期公債利率選擇權(TNX)及三十年期公債利率選擇權(TYX)等。2以利率期貨為標的物，稱之為「利率期貨選擇權」。CBOT在1982年首先推出「長期政府公債期貨選擇權合約」，之後又陸續推出以10年期、5年期等中期政府公債期貨為標的物的合約，而CME所推出的歐洲美元期貨選擇權亦是知名的商品之一。由於標的物本身之交易量較大，以及便於避險操作等等的因素，一直以來「利率期貨選擇權」較受到市場投資人的青睞，其交易量大於「利率選擇權」的交易量。

3「利率選擇權」合約中，因為其標的物乃為政府債券的貼現率或有效利率，因此在履約價格及權利金的報價上，亦是以利率的方式來表示。「利率期貨選擇權」的履約價格及權利金報價乃是以期貨契約面額的百分比來表示。4OTC市場之利率選擇權簡單型利率選擇權(PlainVanillaInterestRateOptions)

利率上限及利率下限(InterestRateCaps;InterestRateFloors)

利率上下限(InterestRateCollars)

利率交換選擇權(Swaptions)

5簡單型利率選擇權

利率買權於標的利率到期日的報酬型態可以表達成：上式中T為標的利率之到期期限，例如標的利率若為三個月LIBOR，則T等於90天。6【例15-1】

某公司買進一名目本金為1,000萬美元，到期期限一個月，標的利率為90天期之LIBOR，履約利率為3%之利率買權，則一個月後若90天期之LIBOR上升為4%，那麼該公司於標的利率到期日(距今天120天)可以獲利多少金額？

【解】利用上式，我們可以求得該公司於120天後可以獲利$10,000,000×Max(4%-3%,0)×90/360=$25,000

7利率上限（下限）

利率上限實際上是由一連串相同履約利率的歐式利率買權所構成，而這一連串的歐式利率買權的資產組合，其到期期限是相接連的。一個到期限等於T的利率上限，假設其名目本金為A，上限利率為rc，此一利率上限共分為n個子期，每一子期的時間長度為Δt，並以ti代表i個子期間的開始，且以ri代表在i個子期間開始時的利率水準，則每一個caplet(單期之利率上限)的執行價值為8依市場慣例，caplet之執行利得是在該期的期末才支付。

以一個子期為半年的二年期利率上限為例，在各子期所包含的caplet可以下圖表示

00.511.52CapletCapletCaplet圖：一個二年期利率上限(Cap)所含之Caplet(子期間為半年)9【例15-2】

假設某一二年期之利率上限，其名目本金為$10,000,000，上限利率訂為3%，在半年後市場利率若為3.5%，則此一利率上限之買方執行第一個caplet，其獲利為多少？【解】利率上限之買方執行第一個caplet可以獲得的利潤為$10,000,000×Max(3.5%-3%,0)×0.5=$25,00010利率上下限

利率上下限是由利率上限和利率下限組合而成，一般指的是同時買進一個利率上限和賣出一個利率下限，或者是同時賣出一個利率上限和買進一個利率下限。

11利率交換選擇權

利率交換選擇權其交易標的為利率交換合約。付固定利率之利率交換選擇權賦給買方在未來一定期限內買進付固定利率、收浮動利率之利率交換合約的權利。收固定利率之利率交換選擇權則賦給買方在未來一定期限內買進收固定利率、付浮動利率之利率交換合約的權利。12BlackModel(1976)

在風險中立之下可以將商品期貨(遠期合約)之動態過程表達如下：其中F為到期日T之標的期貨(遠期)合約價格。以期貨(遠期)合約價格為標的之瞬間期望報酬等於零的原因，在於期貨(遠期)合約價格本身即符合平睹過程，且在交易時並不需要支付任何成本之故。13利用十二章附錄12-C的定理，令代入，即可以得到Black模型之買權、賣權價格分別為：其中14債券選擇權之訂價假設標的債券目前的價格為B，該債券在選擇權到期時所支付的利息現值為I，而選擇權的到期期限為T，市場之年化利率為r，則以連續時間所表示於時點T之債券遠期價格(F)為：

15上式中的B值是指含息的債券債格，而非其市場報價。如果把Black模型用來評價債券期貨選擇權，該選擇權的標的資產為債券期貨，而且我們必須假設債券期貨價格遵循對數常態分配，由於債券期貨價格並不包括應計利息，因此Black模型中之F值可以直接以市埸上債券期貨交易價格代入即可。

16【例15-3】

假設一個面額$1,000，到期期限為五年九個月的債券，其目前的債券含息價格為$950。此一債券的票面利率為3%，每年付息乙次，而現在距付息日還有九個月，又假設有一張以此債券為標的資產的一年期買權，其履約價格為$950(不含應計利息)，如果目前市埸中九個月和一年期之即期利率分別為4%和4.2%，而該債券在一年後的遠期價格年波動率為20%，則此一債券買權的權利金應為多少？17計算該債券在選擇權有效期間的應計利息現值(I)

3%×$1,000×e-0.04×0.75=$29.11

計算一年後的遠期債券價格F=e0.042×1($950-$29.11)=$960.39

計算選擇權到期日之含息的履約價格$950+$30/4=$957.518計算出d1和d2的值各為

所以此一債券買權的權利金應為19利率上限（下限）之訂價

一個利率上限是由一連串caplet所組成，而一個利率下限是由一連串floorlet所組成，所以要對利率上限、下限評價，則必須先對各別的caplet及floorlet加以評價，然後再將其值相加。

20假設一個在時點t1開始，到期日為時點t2的caplet(t1和t2皆是以年為單位)，△t為t1到t2的時間長度，rc代表其利率上限(履約利率)，r(t2)為市場上t2年即期殖利率，A為該caplet的名目本金。而現在市埸中時點t1開始到期日為時點t2的遠期利率為f(t1,t2)就是此一利率上限的標的利率，則利用Black模型來評價該caplet時，我們必須假設f(t1,t2)遵循對數常態分配，如此該caplet的評價公式可以表達如下式：21其中契約內容和caplet一模一樣的floorlet(rc=rf(下限利率))22【例15-4】

假設一個名目本金(A)為$1,000的兩年期利率上限選擇權，其上限利率rc=5.5%，且其每一子期的時間長度為半年，其執行的時點分別距離現在各為0.5年、1年和1.5年。假設市埸上的即期殖利率曲線上0.5年、1年、1.5年和2年的殖利率各為4%、4.5%、5%和5.5%。且遠期利率之年化波動度為15%，則此一利率上限選擇權的權利金應為多少？

23【解】

計算出各個caplet之標的遠期利率，其值計算如下：計算半年後執行之caplet價值所需輸入之d1和d2

24所以半年後執行之caplet價值計算如下：同理，一年後及一年半後執行之caplet價值各為$3.0395和$7.0021，故該利率上限的權利金應為$0.2703+$3.0395+$7.0021=$10.3119。

25利率交換選擇權之訂價

考慮某一名目本金為A之付固定交換選擇權，而該選擇權之到期期限為T(以年為單位)，而標的利率交換合約的期限為n年，交換利息流量的頻率為每年m次，且所約定的固定利率(交換利率)為rs。

交換選擇權之標的資產為一遠期利率交換合約，且其所隱含的假設是交換利率在選擇權之到期日遵循對數常態分配。26應用Black模型對上述之付固定交換選擇權訂價時，其每一期交換利息流量的獲利所設算出來的權利金可以下式表達：其中f值代表遠期交換利率，且27整個交換選擇權的價值為各期(n期)所計算之權利金之總和，以下式表達：同理，收固定交換選擇權的價值為各期(n期)所計算之權利金之總和，以下式表達：28【例15-5】

假設一個名目本金(A)為$1,000的付固定利率交換選擇權，其到期期限為兩年，且標的利率交換期間為三年，每年交換一次利息，而交換利率訂定為5.4%。且遠期交換利率之年化波動度為20%。市埸即期利率曲線為一水平曲線，其利率水準等於6%，則此一付固定利率交換的權利金應為多少？29【解】

市埸即期利率曲線為一水平曲線，其利率水準等於6%，故f值也等於6%，如此我們即可以計算出d1和d2如下：30分別計算出三期之權利金各為因此該付固定利率交換的權利金應為$8.2+$7.7+$7.3=$23.231Black-Derman-ToyModel(1991)

Black-Derman-Toy二項式利率模型，假設利率水準服從對數常態分配，利率上漲或下趺的機率皆等於0.5。利率有一個確定的波動度(σ(t))，而且在任何時點t+Δ下列關係將成立

32上式可以改寫成

利用上式之關係式，我們可以將利率走勢以下圖表達：

r2r1e2σr1r0t=0t=1t=2r2e4σr2e2σ33二項式利率樹中每一結點之債券價格

上圖中VH代表下一期利率上升時所對應的不含息之債券價格，VL則代表下一期利率下跌時所對應的不含息之債券價格，C為該債券所支付的票息，所以任何一個結點之債券價格，可以根據下列式子計算而得：

vr*vL+CvH+C34兩期利率樹建構表:市埸政府債券資料

到期期限殖利率市埸價格1年3.50$1002年4.00$1003年4.50$100

35根據上述市埸政府債券資料我們可以求得下列之利率相關資訊：

到期期限即期利率遠期利率1年3.503.5002年4.004.5023年4.505.50736首先我們先選定r1L的一個初始值，一般為了加速收斂我們會以表之f(1,2)值為參考值，假設我們讓r1L=4.5%。利用公式，可以計算r1H為

用表之二年期平價債券充當熱門債券，並利用其於到期時之現金流量，以公式分別計算出當利率分別為r1L=4.5%和r1H=5.496%時的未含息債券價格，分別為37債券現在的價格為和二年期之熱門債券的市價($100)相比較，兩者並不相等，故r1L=4.5%和r1H=5.496%並不滿足「無套利條件」。38我們必須再試r1L之其它初始值，直到所找出之故r1L和r1H能正確評價這一張二年期之熱門債券為止。經由不斷地嘗試，可以找到r1L=4.074%和r1H=4.976%為正確的利率值，將其值以下圖表達如下：

v=100c=0r0

=3.50%v=99.071c=4.0r1,H=4.976%v=99.929c=4.0r1,L=4.074%v=100c=4.0r2,HH

=?v=100c=4.0r2,HL

=?v=100c=4.0r2,LL

=?39為了建構一個兩期之二項式利率樹

，還需要再找一張三年期之熱門債券，假設表之三年期債券即為這一張三年期之熱門債券，則重覆上述步驟，即可以找出符合「無套利條件」之r2HH、r2HL和

r2LL值。有了二項式利率樹，就可以利用它來評價債券或利率選擇權。茲將整個二期之二項樹以下圖表達：

40v=100c=0r0=3.50%v=98.074c=4.50r1,H=4.976%v=99.926c=4.50r1,L=4.074%v=97.886c=4..5r2,HH=6.757%v=99.022c=4.5r2,HL=5.532%v=99.971c=4.5r2,LL=4.530%v=100c=4.5v=100c=4.5v=100c=4.5v=100c=4.5圖：完整之兩期二項式模型41【例15-6】

假設一個名目本金(A)為$1,000萬的歐式利率買權，其標的利率為一年期之政府債券殖利率，且履約利率為4.5%，其到期期限為兩年，若以上圖之二期之二項式利率樹來對該選擇權加以評價，則其權利金應為多少？

42【解】

步驟一：T＝2時，每個結點的現金流量1,000×max(6.757%-4.5%,0)=22.571,000×max(5.532%-4.5%,0)=10.321,000×max(4.53%-4.5%,0)=0.3步驟二：T＝1上每個結點之現金流量[22.57/(1+4.976%)+10.32/(1+4.976%)]×0.5=15.6655[10.32/(1+4.074%)+0