第五章 数值积分及数值微分2014

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内容提要5.1问题的提出5.2插值型求积公式5.3复合求积公式5.4龙贝格（Romberg)求积公式5.5高斯求积公式5.6数值微分5.1问题的提出在一元函数的积分学中,我们已经熟知,若函数f(x)在区间［a,b］上连续且其原函数为F(x),则可用牛顿―莱布尼兹公式

来求定积分。牛顿―莱布尼兹公式虽然在理论上或在解决实际问题中都起了很大的作用,但它并不能完全解决定积分的计算问题。因为定积分的计算常常会碰到以下三种情况:(1)被积函数f(x)的原函数F(x)不易找到。许多很简单的函数,例如

等,其原函数都不能用初等函数表示成有限形式。5.1问题的提出(2)被积函数f(x)没有具体的解析表达式。其函数关系由表格或图形表示,无法求出原函数。(3)尽管f(x)的原函数能表示成有限形式但其表达式相当复杂。例如定积分的被积函数的原函数就比较复杂,从数值计算角度来看,计算量太大。5.1问题的提出积分中值定理x0ab将积分化为函数值,或者是将复杂函数的积分化为简单函数的积分的方法中矩公式x0aby梯形公式x0ab5.1问题的提出关于积分，有Newton-Leibniz公式但是，在很多情况下，还是要数值积分：1、函数有离散数据组成2、F(x)求不出3、F(x)非常复杂定义数值积分如下：是离散点上的函数值的线性组合称为积分系数，与f(x)无关，与积分区间和积分点有关5.1问题的提出为数值积分，为积分，则称数值积分有k阶代数精度是指：两个问题：1、系数ai如何选取，即选取原则2、若节点可以自由选取，取什么点好？代数精度

对任意次数不高于k次的多项式f(x)，数值积分没有误差5.1问题的提出左矩形公式右矩形公式5.1问题的提出梯形公式辛普森公式5.2插值型求积公式

建立数值积分公式最基本的思想是选取一个既简单又有足够精度的函数φ(x),用φ(x)代替被积函数f(x),于是有

现用第4章介绍的插值多项式Pn(x)来代替被积函数f(x),即有f(x)x0ab5.2插值型求积公式

取基点为等距，即利用拉格朗日差值多项式5.2插值型求积公式

其中这里5.2插值型求积公式

5.2插值型求积公式

插值型积分公式/*interpolatoryquadrature*/由决定，与无关。节点

f(x)5.2插值型求积公式

令当节点等距分布时：Cotes系数注：Cotes系数仅取决于n

和k，可查表得到。与f(x)及区间[a,b]均无关。5.2插值型求积公式

5.2插值型求积公式

称为柯特斯求积系数很显然，当n=1时，可算得得到梯形公式5.2插值型求积公式

当n=2时，可得得到辛普森公式5.2插值型求积公式

5.2插值型求积公式

当n=3时，可得得到数值积分公式为5.2插值型求积公式类似地可分别求出n=4,5,…时的柯特斯系数,从而建立相应的求积公式。具体结果下表。nCk(n)

k=0,…,n111/22141/631331/8473212327/905197550507519/288641216275722721641/8407751357713232989298913233577751/1728089895888-92810496-454010496-9285888989/28350柯特斯系数表5.2插值型求积公式

从表中可以看出,当n≤7时,柯特斯系数为正;从n≥8开始,柯特斯系数有正有负。因此,当n≥8时,误差有可能传播扩大,牛顿―柯特斯求积公式不宜采用。柯特斯系数C(n)i仅与n和i有关,与被积函数f(x)无关,且满足

事实上,牛顿―柯特斯求积公式对f(x)=1是准确成立的5.2插值型求积公式

例1试分别用梯形公式和抛物线公式计算积分解利用梯形公式原积分的准确值利用辛普生公式区间等分数较大（即求积节点较多）的求积公式，计算的积分值较精确，但是高阶的牛顿-柯特斯公式在计算中可能会出现不稳定现象。例：nIn(f)25.490242.277663.328881.9411103.5956当n时，In(f)不收敛于I(f)。即牛顿-柯特斯公式并不是对所有在求积区间上可积的函数都收敛。5.2插值型求积公式

误差估计：牛顿―柯特斯求积公式的余项为易知,牛顿―柯特斯求积公式对任何不高于n次的多项式是准确成立的。这是因为故5.2插值型求积公式

代数精度的概念是：假如（3.1）式的求积公式对f(x)=1，x，x2，…，xm恒精确成立，而当f(x)=xm+1时就不精确成立，我们就称公式（3.1）的代数精度为m。5.2插值型求积公式

牛顿―柯特斯求积公式的代数精确度至少为n。通常在基点个数相等的情况下,代数精确度愈高,求积公式就愈精确。一点数值积分0阶代数精度1阶代数精度例：5.2插值型求积公式

定理1(梯形公式的误差)设f(x)在区间［a,b］上具有连续的二阶导数,则梯形求积公式的误差为证明：因梯形公式的余项为5.2插值型求积公式

首先，复习第二积分中值定理。若函数f(x)，g(x)在区间［a，b］上有界且可积，f(x)连续，g(x)在区间［a，b］内不变号，则在区间［a，b］内至少存在一个数ξ(a＜ξ＜b)，使得5.2插值型求积公式

由于ω1(x)=(x-a)(x-b)

在区间(a,b)内不变号,f″(ξ)是x的函数且在［a,b］上连续,故根据积分第二中值定理知,存在某一η∈(a,b)使5.2插值型求积公式

定理2(辛普生公式的误差)：设f(x)在［a,b］上有连续的四阶导数,则辛普生公式的误差为证明：根据误差公式知例：在[5,5]上考察的Ln(x)。取

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

n

越大，端点附近抖动越大，称为Runge现象Ln(x)f(x)分段低次插值5.3复合求积公式

5.3复合求积公式

高次插值有Runge现象，故采用分段低次插值分段低次合成的Newton-Cotes

复合求积公式。5.3复合求积公式-梯形

在每一个子区间［xi，xi+1］上使用梯形公式,则复合梯形公式对于定积分

将积分区间［a,b］分成n个相等的子区间［xi，xi+1］,这里步长相加后得5.3复合求积公式-梯形

若f″(x)在［a,b］上连续,由连续函数的介值定理,存在某一ξ∈(a,b)使得5.3复合求积公式-梯形

于是得到复合梯形公式其余项为5.3复合求积公式-梯形

5.3复合求积公式-梯形

例2若用复合梯形公式计算积分

问积分区间要等分多少才能保证有五位有效数字解由余项公式5.3复合求积公式-梯形

由于原积分的准确值具有一位整数,因此要使近似积分值有五位有效数字,只需取n满足5.3复合求积公式-梯形

例3根据给出的函数的数据表,用复合梯形公式计算5.3复合求积公式-梯形

5.3复合求积公式

解:用复合梯形公式

=0.9456905

而I的准确值为0.9460831…,可见复合梯形公式还不够精确。44444=

Sn5.3复合求积公式-Simpson公式

5.3复合求积公式-柯特斯公式

误差估计：~~~例：计算解：其中=3.138988494运算量基本相同=3.141592502其中Q:给定精度，如何取n?例如：要求，如何判断n=？?上例中若要求，则即：取n=409通常采取将区间不断对分的方法，即取n=2k上例中2k

409k=9

时，T512=3.14159202S4=3.141592502注意到区间再次对分时可用来判断迭代是否停止。事后误差估计法变步长梯形求积法变步长梯形求积法步骤：梯形求积法的递推化5.4龙贝格(Romberg)积分方法

我们已经知道,当被积函数f(x)在区间［a,b］上连续时,要使得复合梯形公式比较精确地代替定积分

可将分点(即基点)加密,也就是将区间［a,b］细分,然后利用复合梯形公式求积。5.4龙贝格(Romberg)积分方法

函数变化有急有缓，为了照顾变化剧烈部分的误差，我们需要加密格点。对于变化缓慢的部分，加密格点会造成计算的浪费。以此我们介绍一种算法，可以自动在变化剧烈的地方加密格点计算，而变化缓慢的地方，则取稀疏的格点。梯形法的递推化

实际计算中，由于要事先给出一个合适的步长往往很困难，所以我们往往采用变步长的计算方案，即在步长逐步分半的过程中，反复利用复化求积公式进行计算，直到所求得的积分值满足精度要求为止。设表示复化梯形求得的积分值，其下标是等分数，由此则有递推公式其中其中

梯形法的加速梯形法的算法简单，但精度低，收敛的速度缓提高收敛速度以节省计算量呢？由复化梯形公式的截断误差公式可得，

n等分区间2n等分区间

梯形法的加速

由此可知，这样导出的加速公式是辛普森公式：龙贝格算法我们可以在步长逐步分半过程中将粗糙的积分值逐步加工为精度较高的积分值:龙贝格算法或者说将收敛缓慢的梯形值序列加工成收敛迅速的积分值序列，这种加速方法称为龙贝格算法。一般有：Romberg序列

Romberg

算法：<?<?<?………………

T1=)0(0T

T8=)3(0TT4=)2(0T

T2=)1(0T

S1=)0(1T

R1=)0(3T

S2=)1(1T

C1=)0(2T

C2=)1(2T

S4=)2(1T总结：龙贝格算法例题例4用Romberg公式计算积分解：按Romberg公式的求积步骤进行计算，结果如下：(1)这里

(2)计算龙贝格算法例题(续1）(1)计算然后由公式算出及

龙贝格算法例题(续2）并由公式(3.3)和逐次分半加速公式，算出龙贝格算法例题(续3）把区间再分半，重复步骤(4)，可算出结果：至此得，因为计算只用小数点后五位，故精确度只要求到0.00001因此积分5.5高斯求积公式

Newton-Cote’s积分公式，可以知道至少有有n阶精度。是否有更高的代数精度呢？N个点的数值积分公式，最高可以到多少代数精度？本节会解决这个问题。例：对于[a,b]上1次插值，有考察其代数精度。f(x)abf(a)f(b)梯形公式/*trapezoidalrule*/解：逐次检查公式是否精确成立代入P0=1：=代入P1=x：=代入P2=x2：代数精度=1n=1:代数精度=1n=2:代数精度=3n=3:Simpson’s3/8-Rule,代数精度=3,n=4:CotesRule,代数精度=5,5.5高斯求积公式例：在两点数值积分公式中，如果积分点也作为未知量，则有4个未知量，可以列出4个方程：（以f(x)在[-1,1]为例）可解出：具有3阶代数精度，比梯形公式1阶代数精度高5.5高斯求积公式设a=-1,b=1，考虑下列求积公式可以使上述求积公式具有2n-1次代数精度，这种高精度的求积公式称为高斯（Gauss）公式，高斯公式的求积节点称为高斯点。我们将会看到，适当的选取求积节点Xk(k=1,2,…,n)高斯点的基本特性

尽管高斯点的确定原则上可以化为代数问题，但是由于所归结的方程组是非线性的，而它的求解存在实质性的困难，所以我们要从研究高斯点的基本特性着手解决高斯公式的构造问题。定理节点是高斯点的充分必要条件是多项式与一切次数<=n-1的多项式P(x)正交，即成立

设是求积公式中的高斯点，令则有如下结论：勒让德多项式以高斯点为零点的n次多项式称为勒让德(Legendre)多项式。一般的，勒让德多项式可以依据来求得。高斯公式牛顿—柯特斯型求积公式是封闭型的（区间[a,b]的两端点a,b均是求积节点）而且要求求积节点是等距的,受此限制，牛顿—柯特斯型求积公式的代数精确度只能是n(n为奇数)或n+1(n为偶数)。而如果对求积节点也适当的选取,即在求积公式中不仅Ak而且xk也加以选取,这就可以增加自由度，从而可提高求积公式的代数精确度。

求积公式含有个待定参数x适当选择这些参数使其具有2n+1次代数精度。这类求积公式称为

高斯公式。是高斯点。其节点高斯点的充分必要条件是以这些点为零点的多项式高斯公式(续1）定理：插值型求积公式与任意次数不超过n的多项式P(x)均正交：高斯公式(续2)必要性证明：

设P(x)是次数不超过n的多项式P(x)w(x)则次数不超过2n＋1。若xk是高斯点，则有又因故有高斯公式(续3）由于Q(x)是不高于n次的多项式，又是插值型的，代数精度最少为n，故有由充分性证明：

是不高于2n+1的多项式，将高斯公式(续3）从而有于是又由知可见此求积公式对一切次数不超过2n+1的多项式均能准确成立，因此xk为高斯点。高斯－勒让德公式此为高斯－勒让德公式，区间为[-1,1],勒让德正交多项式Pn+1(x)的零点就是其高斯点。例：取其两个零点为。求积公式为令它对f(x)=1,x成立，有高斯－勒让德公式(续）验证：分别令f(x)=x2,x3,x4则两点高斯－勒让德公式高斯－勒让德公式(续）

区间[-1,1]上权函数W(x)=1的Gauss型求积公式,称为Gauss-Legendre求积公式,其Gauss点为Legendre多项式的零点.Gauss-Legendre求积公式公式的Gauss点和求积系数可在数学用表中查到.由因此,[a,b]上权函数W(x)=1的Gauss型求积公式为高斯－勒让德公式(续）nxkAknxkAk1026±0.9324695142±0.6612093865±0.2386191861036076157300.46791393462±0.577350269213±0.774596669200.55555555560.88888888897±0.9491079123±0.7415311856±0.405845151400.12948496620.27970539150.38183005050.41795918374±0.8611363116±0.33998104360.34785484510.65214515498±0.9602898565±0.7966664774±0.5255324099±010122853630.22238103450.31370664590.36268378345±0.9061798459±0.538469310100.23692688510.47862867050.5688888889例题运用高斯――勒让德公式计算积分解：两点公式两点梯形公式例题（续）三点公式:三点辛普森公式:例题（续）例用二点高斯-勒让德公式计算积分解作变量代换则记,因为节点得

所以,由二点高斯公式带权的高斯公式对于任意次数不超过2n+1的多项式均能准确成立称其为带权的高斯公式。其中ρ(x)为权函数称为高斯－切比雪夫公式。高斯点为n+1次切比雪夫多项式的零点当时，所建立的高斯公式高斯公式例题例：构造下列形式的高斯公式解：令它对于f(x)=1,x,x2,x3准确成立，得由于x0A0+x1A1=x0(A0+A1)+(x1-x0)A1利用第1式，可将2式化为同样，利用2式化3式，利用3式化4式，分别得