高中数学人教A版第二章平面向量 课后提升作业二十二

温馨提示：此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。课后提升作业二十二平面向量数量积的物理背景及其含义(45分钟70分)一、选择题(每小题5分,共40分)1.(2023·天水高一检测)若|a|=4,|b|=2,a和b的夹角为30°,则a在b方向上的投影为() B.3 3 【解析】选在b方向上的投影为|a|cos<a,b>=4×cos30°=23.2.在四边形ABCD中,AB→=DC→,且ACA.矩形 B.菱形C.直角梯形 D.等腰梯形【解析】选B.因为AB→=DC→,即一组对边平行且相等,3.若等边三角形ABC的边长为1,则|AB→-2 B.2 D.3【解析】选D.因为(AB→-2AC→)2=AB→2-4AB→·A所以|AB→-2AC4.设a,b,c是三个向量,有下列命题:①若a·b=a·c,且a≠0,则b=c;②若a·b=0,则a=0或b=0;③非零向量a,b反向⇔a·b=-|a||b|;④(3a+2b)·(3a-2b)=9|a|2-4|b|2.其中正确的有()个 个 个 个【解析】选B.①中,a·b-a·c=a·(b-c)=0,又a≠0,则b=c或a⊥(b-c),即①不正确;②中,a·b=0⇔a⊥b或a=0或b=0,即②不正确;③当a,b反向时,a·b=-|a||b|成立,反之,当a·b=-|a||b|时,a,b反向,故命题③正确.④中,左边=9a2-6a·b+6b·a-4b2=9|a|2-4|b|2=右边,即④正确.5.(2023·重庆高考)已知非零向量a,b满足|b|=4|a|QUOTEa,且a⊥(2a+b),则a与b的夹角为()A.π3 B.π2 C.2π3【解题指南】直接利用向量的数量积运算即可求出向量的夹角.【解析】选C.设向量a,b的夹角为θ,由|b|QUOTEb=4及a⊥(2a+b),得a·(2a+b)=2|a|2+|a||b|cosθ=2|a|2+4|a|2cosθ=0,解得cosθ=-12,所以θ=2π6.(2023·烟台高一检测)若向量a与b的夹角为60°,|b|=4,(a+2b)·(a-3b)=-72,则|a|=() 【解析】选C.因为(a+2b)·(a-3b)=-72,所以a2-a·b-6b2=-72.所以|a|2-|a||b|cos60°-6|b|2=-72.所以|a|2-2|a|-24=0.又因为|a|≥0,所以|a|=6.【补偿训练】若向量a,b满足|a|=1,(a+b)⊥a,(2a+b)⊥b,则|b|=() B.2 D.2【解析】选B.由题意得QUOTE(a+b)·a=0,(2a+b)·b=0,即QUOTEa2+a·b=0,2a·b+b2=0,可得|b|2=2|a|又|a|=1.所以|b|=2.7.如图,已知正六边形P1P2P3P4P5P6,下列向量的数量积中最大的是()A.P1P2→·P1PC.P1P2→·P1P【解析】选A.由于P1P2→⊥P1P5→,故其数量积是0;P1P2→与P1P6→的夹角是2πP1P2→·P1P4→=|P8.若两个非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|=2|a|,则a+b与a-b的夹角是()A.π6 B.5π6 C.π3【解析】选D.因为|a+b|=|a-b|,所以a2+2a·b+b2=a2-2a·b+b2,所以a·b=0.又因为|a+b|=2|a|,所以|a|2+2a·b+|b|2=4|a|2,所以|b|2=3|a|2.设a+b与a-b的夹角为θ,则cosθ=QUOTE(a+b)·(a-b)|a+b||a-b|=QUOTE|a|2-|b|=QUOTE-2|a|24|a|=-12又因为θ∈[0,π],所以θ=2π二、填空题(每小题5分,共10分)9.(2023·江苏高考)如图,在△ABC中,D是BC的中点,E,F是AD上的两个三等分点,BA→·CA→=4,BF→·CF【解析】令DF→=a,DB→=b,则DC→=-b,DE则BA→=3a-b,CA→=3a+b,BE→=2a-b,CE→=2a+b,BF→=则BA→·CA→=9a2-b2,BF→·CFBE→·CE→=4a2由BA→·CA→=4,可得9a2-b2=4,a2-b2=-1,因此a2=58,b2=13因此BE→·CE→=4a2-b2=答案:710.在平行四边形ABCD中,AD=1,∠BAD=60°,E为CD的中点.若AC→·BE【解析】在平行四边形ABCD中,取AB的中点F,则BE→=所以BE→=FD→=又AC→=AD所以AC→·BE→=(A=AD2→-12AD→·A=|AD→|2+12|AD→||AB→|=1+12×12|AB→|-12所以12-|AB→|所以|AB→|=答案:1三、解答题(每小题10分,共20分)11.(2023·温州高一检测)已知|a|=4,|b|=3,(2a-3b)·(2a+b)=61.(1)求|a+b|.(2)求向量a在向量a+b方向上的投影.【解析】(1)因为(2a-3b)·(2a+b)=61,所以4|a|2-4a·b-3|b|2=61.因为|a|=4,|b|=3,所以a·b=-6,所以|a+b|=QUOTE|a|2+|b|=42+3(2)因为a·(a+b)=|a|2+a·b=42-6=10,所以向量a在向量a+b方向上的投影为QUOTEa·(a+b)|a+b|=1013=10131312.已知:如图,两个长度为1的平面向量OA→和OB→,它们的夹角为(1)|OA→+(2)AB→·【解题指南】(1)利用|a|=QUOTEa2求向量的模.(2)用向量OA→,OB→,OC【解析】(1)因为OA→和OB所以OA→·OB→=|OA→||OB所以|OA→+OB=OA(2)因为点C是以O为圆心的劣弧AB所以∠AOC=∠BOC=π3所以OA→·OC→=OB所以AB→·AC→=(OB→-=OB→·OC→-OB→·OA→=12--12-1【能力挑战题】已知非零向量a,b,且a+3b与7a-5b垂直,a-4b与