第五章 平面图形几何性质

第五章平面图形的几何性质教学内容：面积矩和形心，惯性矩和惯性积，回转半径。教学要求：1、理解主轴、主惯性矩、形心主轴、形心主惯性矩的定义，回转半径的含义；2、掌握面积矩和形心、惯性矩和惯性积的计算，惯性矩和惯性积平行移轴公式的计算；组合图形惯性矩和惯性积的计算；有对称轴截面图形的形心主惯性矩的计算。重点：面积矩和形心，惯性矩，形心主惯性矩。难点：惯性矩和惯性积的移轴公式。§5-1面积矩和形心§5-2惯性矩和惯性积§5-3惯性矩和惯性积移轴公式§5-4惯性矩和惯性积转轴公式、主惯性轴§5-5回转半径第五章平面图形的几何性质选择材料——与材料的机械性质有关确定尺寸——与截面大小、形状有关拉压：应力均布，仅需满足， 不考虑形状；扭转：应力不均布，出现， 在面积A相同，但形状不同的情况下，应力分布不同。§5-1面积矩与形心一、引言oyzAdAyz图形对y轴的面积矩(静矩)图形对z轴的面积矩(静矩)单位：二、截面的面积矩(静矩)静矩可0；0；0。三、截面的形心（1）形心公式。若图形形心C已知，由静力学可知：等厚均质板的重心与形心重合oyzA（2）求静矩的另一公式：同理：C（3）若yzAC则y、z轴称为形心轴。若已知则可确定y轴、z轴通过截面形心。

若某轴过形心，则图形对该轴静矩为零。反之,图形对某轴静矩为零，则该轴必过形心。例5-1（P88）试确定图5-3所示等腰三角形ABD对过底边的z轴和对称轴y轴的面积矩，并确定形心的位置。解：1）计算Sz取与z轴平行的微面积dA=b(y)dy,且有：则：例5-1（P88）试确定图5-3所示等腰三角形ABD对过底边的z轴和对称轴y轴的面积矩，并确定形心的位置。2）计算Sy故：

若某轴为对称轴，则图形对该轴面积矩为零。3）确定形心C的位置结论：1)对称轴必是形心轴;2)平面图形具有两根或两根以上对称轴,则形心必在对称轴的交点上。四、组合截面的面积矩和形心组合截面:由若干简单截面或标准型材截面组成的截面由此可得组合截面的形心坐标为:如图所示组合截面,该截面由n个部分组成，设组成部分i的面积为Ai,形心坐标为(),则有:例：试确定图示截面形心C的位置。解：选坐标参考系oyz如图，并将截面划分成为1与2两个矩形矩形1的面积与形心坐标为：矩形2的面积与形心坐标为：例试确定图示截面形心C的位置。则组合截面形心C的坐标为：截面左右对称,3、截面对形心轴的静矩为零4、若截面对某轴的静矩为零，则该轴必为形心轴1、截面图形的静矩是对某一坐标轴定义的，故静矩与坐标轴有关2、已知静矩，可以确定图形的形心坐标；已知图形的形心坐标，可以确定静矩5、对称轴必是形心轴;平面图形具有两根或两根以上对称轴,则形心必在对称轴的交点上。§5-2惯性矩和惯性积oyzAdAyz图形对o点的极惯性矩单位：一、截面的极惯性矩圆截面对形心点的极惯性矩1、实心圆截面：2、空心圆截面：3、薄壁圆截面：其中，R为平均半径其中，oyzAdAyz图形对y轴的惯性矩图形对z轴的惯性矩单位：二、截面的惯性矩1、讨论（1）惯性矩恒0；（2）oyzAdAyzoyzAdAyzy'z'z'y'且即:对o点极惯性矩=对过o点同一平面内任意一对相互垂直坐标轴的惯性矩之和2、简单截面对形心坐标轴的惯性矩1）矩形截面对形心坐标轴的惯性矩:2）圆截面对形心坐标轴的惯性矩：空心圆截面对形心轴的惯性矩：3）三角形截面对形心轴的惯性矩：例:试计算图示空心截面对形心轴z的惯性矩解：3、组合截面的惯性矩三、截面的惯性积图形对y、z两轴的惯性积单位：oyzAdAyz讨论（1）可0；0；0；（2）若图形有一对称轴，且坐标轴y与z之一位于该对称轴上,则有:yz（3）若则y、z轴称为主惯性轴（主轴）对称轴一定是主轴，主轴不一定是对称轴通过形心的主轴称为形心主惯性轴例5-5（P90）试计算图5-9所示矩形的Sy、Sz、Iy、Iz、Iyz解：同理：§5-3惯性矩和惯性积移轴公式一、惯性矩移轴定理：截面对于任一坐标轴z的惯性矩，等于对其平行形心轴zC的惯性矩加上截面面积与两轴间距离平方之乘积。其中：所以：同理：yzdACOzCzyyCabzCyC二、惯性积移轴定理：截面对于任一直角坐标轴y与z的惯性积Iyz，等于该截面对于平行形心坐标轴yC与zC的惯性积IyCzC，加上其形心坐标C的坐标积ab与截面面积A之乘积。证明：yzdACOzCzyyCabzCyC例5-7已知图5-12所示组合T形截面的形心C,试计算截面对形心坐标轴zc的惯性矩Izc解:将截面看成为I、II两个矩形组成，则有：整个图形对zc轴的惯性矩为：将算得的I、II两个组成部分的惯性矩代入上式可得。例试计算图示矩形截面对坐标轴y与z的惯性积。解：在坐标系oyz内，形心C的坐标：yC轴为对称轴，有：所以，根据惯性积平行轴定理，得：例图示组合截面,由工字钢与上、下盖板组成，试计算该组合截面对水平形心轴zc的惯性矩IzC。已知工字钢的型号为NO32a，上下盖板尺寸相同，宽度b=100mm，厚度d=15mm。解：1、将截面分解成矩形截面（1）、工字钢截面（2）与矩形截面（3）由附录III，工字钢NO32a截面对自身水平形心轴zC的惯性矩为：截面的高度为：2、惯性矩计算：设矩形截面（1）的水平形心轴为z1，则该截面对zC轴的惯性矩为：同理，矩形截面（3）对zC轴的惯性矩为：工字钢截面（2）的形心与整个截面的形心C重合，故对z轴的惯性矩为：得整个截面对z轴的惯性矩为：例图示组合截面,由工字钢与上、下盖板组成，试计算该组合截面对水平形心轴zc的惯性矩IzC。已知工字钢的型号为NO32a，上下盖板尺寸相同，宽度b=100mm，厚度d=15mm。设一平面图形,已知

求oyzAdAyz解:§5-4惯性矩和惯性积的转轴公式与主惯性轴一、转轴公式同理改写为并且角从原始坐标轴量起,逆时针转向为正,反之则为负.oyzAdAyz设一平面图形,已知

求oyzAdAyz(5-12c)设一平面图形,已知

求二、主轴及主惯性矩oyzAdAyz若则轴称为截面o点的主惯性轴（主轴）。如坐标原点与形心重合,则称为形心主惯性轴。对主惯性轴的惯性矩称为主惯性矩（主矩）。图形对形心主轴的惯性矩，称为形心主惯性矩。设一平面图形,已知

求方向的求解:代入(5-12a、b),得主惯矩为求，将公式（5-12a）对a取导数，并令其等于0因此主惯性轴的惯性矩即过o点各轴中的惯矩极值。可求得:（1）求形心位置（2）求形心轴的惯性矩和惯性积，选轴以计算方便为准。（3）求主惯性轴的位置三、形心主惯性轴的位置及形心主惯性矩的计算（4）主惯性矩：讨论:例题5-9确定图示图形的形心主惯性轴的位置,并计算形心主惯性矩几个结论1、若截面有一根对称轴，则此轴即为形心主惯性轴之一，另一形心主惯性轴为通过形心并与对称轴垂直的轴。2、若截面有二根对称轴，则此二轴即为形心主惯性轴。3、若截面有三根或三根以上的对称轴，则通过形心的任一轴均为形心主惯性轴，且主惯性矩相等。（1）圆、圆环、方截面，凡过形心的任一对直角坐标，均是形心主轴（2）具有对称轴的截面（矩形、工字形、圆形等），其对称轴及与之垂直并通过形心的轴就是形心主轴§5-5回转半径二、主惯性半径或主回转半径三、常见截面的主惯性半径圆圆环矩形方形一、惯性半径1、在下列关于平面图形的结论中，（）是错误的。A.图形的对称轴必定通过形心；B.图形两个对称轴的交点必为形心；D.使静矩为零的轴必为对称轴。C.图形对对称轴的静矩为零；D2、在平面图形的几何性质中，（）的值可正、可负、也可为零。A.静矩和惯性矩；B.极惯性矩和惯性矩；C.惯性矩和惯性积；D.静矩和惯性积。D课堂练习：

3、图a、b所示的矩形截面和正方形截面具有相同面积。设它们对对称轴x的惯性矩分别为,。对对称轴y的惯性矩分别为，，则（）。A4.设图示截面对y轴和x轴的惯性矩分别为Iy、Iz，则二者的大小关系是（）。B5、图示半圆形，若圆心位于坐标原点，则（）。zyD6、任意图形的面积为A，z0轴通过形心C，z1轴和z0轴平行，并相距a，已知图形对z1轴的惯性矩是Iz1，则对z0轴的惯性矩为（）。BA.形心轴B.主轴C.主形心轴D.对称轴8、在图示开口薄壁截面图形中，当（）时，y-z轴始终保持为一对主轴。7、任意图形，若对某一对正交坐标轴的惯性积为零，则这一对坐标轴一定是该图形的（）。BA.y轴不动，z轴平移；D.y、z同时平移。B.z轴不动，y轴平移；C.z轴不动，y轴任意移动；B设：A1，A2对zc轴的静矩分别Szc1和Szc2证毕练习：如图所示将截面任意分为两部分A1与A2，证明这两部分面积对整个截面形心轴zc的面积矩绝对值相等。C2zyC1练习：确定下图的形心的方法。分析：组合图形，用分割法、负面积1.用分割法法求解，图形分割及坐标如图801201010小结一、静矩：性质：截面对某轴的静矩为零时，该轴必通过截面形心；

二、极惯性矩：实心圆截面：空心圆截面：三、惯性矩：

四、惯性积：矩形截面：圆形截面：几何关系：五、平行移轴公式：六、主惯性轴和主惯性矩：

形心主惯性轴（形心主轴）—通过形心的主惯性轴；

形心主惯性矩（形心主惯矩）—截面对形心主轴的惯性矩。

主惯性轴（主轴）—使的这对正交坐标轴；

主惯性矩（主惯矩）—截面对主惯性轴的惯性矩；七、平面图形几何性