第五章 无限冲激响应(IIR)数字滤波器设计

无限冲击响应（IIR）

数字滤波器的设计1无限冲激响应（IIR）数字滤波器的设计21§5-1IIR数字滤波器的设计思想2§5-2冲激响应不变法3§5-3双线性变换法4§5-4低通型至其它型的频率变换法5§5-5IIR数字滤波器的设计实例数字滤波器：3

是指输入输出均为数字信号，通过一定运算关系改变输入信号所含频率成分的相对比例或者滤除某些频率成分的器件。

高精度、稳定、体积小、重量轻、灵活，不要求阻抗匹配，可实现特殊滤波功能。优点：数字滤波器的分类4

经典滤波器：

现代滤波器：

选频滤波器维纳滤波器卡尔曼滤波器自适应滤波器等按功能分：低通、高通、带通、带阻、全通滤波器5按实现的网络结构或单位抽样响应分：6FIR滤波器（N-1阶）IIR滤波器（N阶）§5-1IIR数字滤波器的设计思想

特点：h（n）无限长

H（Z）有理分式

H（S）有理分式（带宽无限长）7IIR滤波器（N阶）数字滤波器的设计思想8用一个因果稳定的离散LSI系统的系统函数H(z)逼近此性能指标按设计任务，确定滤波器性能要求，制定技术指标利用有限精度算法实现此系统函数：如运算结构、字长的选择等实际技术实现：软件法、硬件法或DSP芯片法要求：

a.数字滤波器在性能上逼近模拟滤波器性能指标。

b.系统稳定。9

：通带截止频率

：阻带截止频率

：通带容限

：阻带容限阻带：过渡带：通带：理想滤波器不可实现，只能以实际滤波器逼近

模拟滤波器的指标数字滤波器容限图（幅度上）10用模拟滤波器设计IIR数字滤波器设计思想：11

s平面z平面

模拟系统数字系统H(z)的频率响应要能模仿Ha(s)的频率响应，

即s平面的虚轴映射到z平面的单位圆?因果稳定的Ha(s)映射到因果稳定的H(z)， 即s平面的左半平面Re[s]<0

映射到z平面的单位圆内|z|<112设计方法：-冲激响应不变法-双线性变换法§5-2冲激响应不变法1基本思路把模拟滤波器冲激响应的均匀取样值，作为数字滤波器的单位取样值，然后将h(n)通过Z变换求H(z)。2.过程由给定的指标AF的传递函数H(S)反拉氏变换得h(t)取样得h(nT)h(n)Z变换得H(z)3.变换原理数字滤波器的单位冲激响应模仿模拟滤波器的单位冲激响应

1314T—抽样周期序列的z变换&理想抽样信号的Laplace变换理想抽样信号：15

其Laplace变换：16其z变换：比较理想抽样信号的Laplace变换：得：17z平面：

（极坐标）即：是复平面s平面到z平面的映射： (直角坐标）s平面：当

时抽样序列的z变换=理想抽样信号的Laplace变换18单位圆外部r>1右半平面σ>0单位圆内部r<1左半平面σ<0单位圆r=1虚轴σ=0Z平面S平面s平面到z平面的映射是多值映射。19辐射线ω=Ω0T平行直线Ω

=Ω0正实轴ω=0实轴Ω

=0Z平面S平面Ω:Ω:ω:ω:2、混迭失真20仅当数字滤波器的频响在折叠频率内重现模拟滤波器的频响而不产生混迭失真：数字滤波器的频率响应是模拟滤波器频率响应的周期延拓，周期为

21

实际系统不可能严格限带，都会混迭失真，在 处衰减越快，失真越小当滤波器的设计指标以数字域频率给定时，不能通过提高抽样频率来改善混迭现象3、模拟滤波器的数字化方法2223系数相同：极点：s平面

z平面稳定性不变：s平面z平面24当T很小时，数字滤波器增益很大，易溢出，需修正令：则：25试用冲激响应不变法，设计IIR数字滤波器例：设模拟滤波器的系统函数为解：据题意，得数字滤波器的系统函数：设T=1s，则26模拟滤波器的频率响应：?数字滤波器的频率响应：4、优缺点27优点：缺点：保持线性关系： 线性相位模拟滤波器转变为线性相位数字滤波器频率响应混迭 只适用于限带的低通、带通滤波器h(n)完全模仿模拟滤波器的单位抽样响应 时域逼近良好§5-3

双线性变换1、变换原理28使数字滤波器的频率响应与模拟滤波器的频率响应相似。冲激响应不变法、阶跃响应不变法：时域模仿逼近缺点是产生频率响应的混叠失真29

§5-3

双线性变换

脉冲响应不变法的主要缺点是频谱交叠产生的混淆，这是从S平面到Z平面的标准变换z＝esT的多值对应关系导致的,为了克服这一缺点，设想变换分为两步：第一步：将整个S平面压缩到S1平面的一条横带里；第二步：通过标准变换关系将此横带变换到整个Z平面上去。

由此建立S平面与Z平面一一对应的单值关系，消除多值性，也就消除了混淆现象。§5-3

双线性变换303132一.S平面与Z平面映射关系33左半平面单位圆内

s平面Z平面右半平面单位圆外虚轴单位圆上34

1)与脉冲响应不变法相比，双线性变换的主要优点：S平面与Z平面是单值的一一对应关系（靠频率的严重非线性关系得到的），即整个jΩ轴单值的对应于单位圆一周，关系式为：可见，ω和Ω为非线性关系，如下页图。

小结35

图双线性变换的频率非线性关系

由图中看到，在零频率附近，Ω～ω接近于线性关系，Ω进一步增加时，ω增长变得缓慢， 。36

2)双线性变换缺点：Ω与ω成非线性关系，导致：

a.数字滤波器的幅频响应相对于模拟滤波器的幅频响应有畸变，(使数字滤波器与模拟滤波器在响应与频率的对应关系上发生畸变)。

例如，一个模拟微分器，它的幅度与频率是直线关系，但通过双线性变换后，就不可能得到数字微分器解决办法：“预畸”校正

37预畸变

给定数字滤波器的截止频率，则按设计模拟滤波器，经双线性变换后，即可得到为截止频率的数字滤波器。

b.线性相位模拟滤波器经双线性变换后，得到的数字滤波器为非线性相位。

c.要求模拟滤波器的幅频响应必须是分段恒定的，故双线性变换只能用于设计低通、高通、带通、带阻等选频滤波器。虽然双线性变换有这样的缺点，但它目前仍是使用得最普遍、最有成效的一种设计工具。这是因为大多数滤波器都具有分段常数的频响特性，如低通、高通、带通和带阻等，它们在通带内要求逼近一个衰减为零的常数特性，在阻带部分要求逼近一个衰减为∞的常数特性，这种特性的滤波器通过双线性变换后，虽然频率发生了非线性变化，但其幅频特性仍保持分段常数的特性。

38四、低通型至其它型的频率变换法39频率变换法双线性变换双线性变换频率变换法冲激不变法五、IIR数字滤波器设计实例一.?巴特沃思数字滤波器二.?切比雪夫数字滤波器401、Butterworth低通逼近41幅度平方函数：当称为Butterworth低通滤波器的3分贝带宽N为滤波器的阶数为通带截止频率1）幅度函数特点：42

通带内有最大平坦的幅度特性，单调减小

3dB不变性

过渡带及阻带内快速单调减小当（阻带截止频率）时，衰减为阻带最小衰减Butterworth滤波器是一个全极点滤波器，其极点：432）幅度平方特性的极点分布：

极点在s平面呈象限对称，分布在Buttterworth圆上，共2N点

极点间的角度间隔为

极点不落在虚轴上

N为奇数，实轴上有极点，N为偶数，实轴上无极点3）滤波器的系统函数：45为归一化系统的系统函数去归一化，得4）滤波器的设计步骤：46根据技术指标求出滤波器阶数N：确定技术指标：由得：同理：令则：求出归一化系统函数：

或者由N，直接查表得其中技术指标给出或由下式求出：

其中极点：去归一化阻带指标有富裕或通带指标有富裕48例：设计Butterworth数字低通滤波器，要求在频率低于rad的通带内幅度特性下降小于1dB。在频率到之间的阻带内，衰减大于15dB。分别用冲激响应不变法和双线性变换法。1、用冲激响应不变法设计1）由数字滤波器的技术指标：2）得模拟滤波器的技术指标：选T=1s49a）确定参数

用通带技术指标，使阻带特性较好，改善混迭失真3）设计Butterworth模拟低通滤波器b)求出极点（左半平面）c)构造系统函数或者b’)由N=6，直接查表得c’)去归一化514）将展成部分分式形式:变换成Butterworth数字滤波器：522、用双线性变换法设计531）由数字滤波器的技术指标：2）考虑预畸变，得模拟滤波器的技术指标：54a）确定参数

用阻带技术指标，使通带特性较好，因无混迭问题3）设计Butterworth模拟低通滤波器b)求出极点（左半平面）55c)构造系统函数56或者b’)由N=6，直接查表得c’)去归一化574）将变换成Butterworth数字滤波器：2、Chebyshev低通逼近幅度平方函数：59N：滤波器的阶数

：截止频率，不一定为3dB带宽

，表示通带波纹大小，越大，波纹越大

：N阶Chebyshev多项式601）幅度函数特点：61

通带外：迅速单调下降趋向0N为偶数N为奇数

通带内：在1和间等波纹起伏

2）Chebyshev滤波器的三个参量：62

：通带截止频率，给定

：表征通带内波纹大小N：滤波器阶数，等于通带内最大最小值的总数由通带衰减决定阻带衰减越大所需阶数越高为阻带截止频率3）幅度平方特性的极点分布：644）滤波器的系统函数：65其中：5）滤波器的设计步骤:66

归一化：确定技术指标：根据技术指标求出滤波器阶数N及：其中：或者由N和，直接查表得其中极点由下式求出：求出归一化系统函数：去归一化 例：用双线性变换法设计Chebyshev数字低通滤波器，要