第二章 点、直线与平面的投影

画法几何及机械制图（机类）

武汉化工学院机械工程学院

工程及计算机图学教研室第二章点、直线、平面的投影

问题的提出如何用二维平面图反映三维空间物体？解决要求：一一对应性直观性度量性解决方法：将复杂的问题分解成简单的问题将具体的问题抽象成几何模型投影法

实例：物体在光的照射下就会产生影子在墙上。讨论：墙上影子可以反映一个物体的实际形状吗？只能反映部分形状只在特殊情况下反映真实尺寸

可以通过投影想象实际物体形状结论：通过投影将三维物体转换成二维平面物体，但还不能完全反映真实情况。问题：是否可以通过投影解决二维平面反映三维物体？投影法通过空间点A的直线L称为投射线。

通过空间任一点A的投射线与投影面的交点a为A点的投影。利用投射线使物体在指定面上产生图象的方法就是投影法投影法的分类投影法中心投影法平行投影法正投影斜投影投影法的分类投射中心S为一点投射中心S为无限远

成影现象:光源光线被投影物体影子地面new中心投影:S中心投影投射线被投影物体投影面Hnew斜投影:new正投影:本教材所学的主要内容

投射线的方向垂直于投影面H且彼此平行.newnew平行投影的基本性质(正投影的基本性质)5.积聚性1.从属性2.平行性3.定比性4.显实性new1.从属性:直线上的点的投影仍在直线的投影上.CBAacbEfFenew2.平行性:acbd〝DA〝CB〝两平行直线的投影仍相互平行.new3.类似性：new4.显实性

若线段和平面图形平行于投影面,则其投影反映实长或实形。new

5.积聚性

若线段和平面的图形垂直于投影面，其投影积聚为一点或一直线段。new工程上常用的投影法

1、透视图：用中心投影法生成的投影图优点：直观性好，多用于效果图、广告图缺点：作图困难，度量性差；不用于施工图2、轴测图：用平行投影法生成的单面投影图（正斜两种）度量性和作图便利性比透视图好，直观和立体感好，有一定度量性

多用于补充图、构思图工程上常用的投影法

3、多面正投影图：用正投影法将物体向多个投影面投影后将多个投影图展开到同一平面上所形成的图。作图方便，度量性好，多用于施工图。4、标高投影图

投影的可逆要求

问题：由一一对应性提出通过投影可以唯一确定物体在空间形状和位置。如果能够通过投影确定每个点的空间位置，就一定可以确定这个物体在空间的位置。如果在一个面上投影不能反映点在空间的位置，那么再引入一个投影面是否可以？

第二章点的投影SABa1.点的单面投影(b)newnew点的两面投影一、两面投影体系ⅠⅡⅢⅣnew第一角投影的二面投影板ＯＺ轴ＯＹ轴ＯＸ轴正面投影Ｖ坐标圆点Ｏ水平投影Hnew二面投影板的展开new二、点的两面投影Aa′aaxnew点的正面投影a′点的水平投影aa′aA空间点Ａnewa′aXO点的两面投影图axa′a投影连线垂直于ＯＸ轴new点在两投影面体系中的投影

正立投影面（V）和水平投影面（H）的引入四分角象限的划定为确立点在空间的位置，引入H面和V面，将空间划分成四个区域，每个区域称为一个分角，逆时针顺序称为Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ分角。求第一分角内一点A在H面和V面的投影a和a/。a称为水平投影，a/称为正面投影。点在两投影面体系中的投影规律

点的正面投影与水平投影的连线垂直于OX轴。点的正面投影到OX轴的距离，反映该点到H面的距离；点的水平投影到OX轴的距离，反映该点到V面的距离。点的水平投影在OX轴下方（上方），表示空间该点在V面的前方（或后方）。点的正面投影在OX轴的上方（或下方），表示空间该点在H面的上方或（下方）。

点在三投影面体系中的投影规律

点的三面投影体系是在两投影面体系的基础上，再增加一个侧立投影面W构成的。过空间任一点A向三个投影面做垂线，求得点A三个投影面上的投影。利用三个投影面上投影，可以唯一确定点A在空间的位置。

点在三投影面体系中的投影规律点在三投影面体系中的投影规律

点的正面投影与水平投影的连线垂直于OX轴：点的正面投影与侧面投影的连线垂直于OZ轴：点的水平投影到OX轴的距离等于点的侧面投影到OZ的距离。

点的投影与直角坐标的关系

讨论：三投影面体系中投影和点的坐标的关系点的X坐标等于点的正面投影到OZ的距离也等于点的水平投影到OYH轴的的距离；点的Y坐标等于点的水平投影到OX轴的距离及点的侧面投影到OZV的距离；点的Z坐标等于点的正平投影到OX轴的距离及点的侧面投影到OYW轴的距离。例一：已知点的坐标求三面投影例一：题解利用点的两个投影求第三个投影如果知道点的两个投影，则该点在空间的位置就确定了，因此它的第三投影也唯一确定。

点在投影面和投影轴上的投影规律

点在投影面上；点在投影轴上点的两个投影落在投影轴上；点的三个投影和其本身重合两点的相对位置两点的相对位置两点的正面投影反映两点的上下、左右位置关系：两点的水平投影反映两点的左右、前后位置关系。

两点的侧面投影反映两点的上下、前后位置关系。空间两点的相对位置，由它们的坐标差所确定。例二：两点的相对位置例二：题解无轴投影图没有标识投影轴的投影图无轴投影图利用45度辅助线作图利用相对坐标作图重影点及投影可见性A，B两点位于垂直某投影面的同一条投射线上时，两点在该投影面上的投影重合，则该两点叫做重影点。不可见的点的投影用投影点外加括号方式表达。根据重影点针对不同投影面，分别叫对H面重影点，对V面重影点，对W面重影点。重影点及投影可见性如何判断重影点的可见性？正面投影----前遮后水平投影----上遮下侧面投影----左遮右例：重影点及投影可见性例：题解例：两交叉直线的重影点问题Ⅰ点的Ｙ坐标大于Ⅱ点，故Ⅰ点在Ⅱ点的正前方。正面投影重影点水平投影重影点Ⅲ点的Ｚ坐标大于Ⅳ点，故Ⅲ点在Ⅳ点的正上方。直线对平面相对位置

投影面平行线平行于一个投影面，倾斜于另两个投影面

投影面垂直线垂直于一个投影，平行于另二个投影面一般位置直线

倾斜于三个投影面的直线。

投影面平行线的投影特性

投影面平行线种类正平线：∥V，对H、W面倾斜。水平线：∥H，对V、W倾斜。侧平线：∥W．对H、V倾斜。投影面平行线投影特性在直线所平行的投影面上，投影反映实长；且其投影与投影轴的夹角反映直线与相应投影面的倾角；在另外两个投影面上的投影小于实长，且平行于相应的投影轴。

投影面平行线的投影特性投影面垂直线的投影特性

投影面垂直线种类正垂线：⊥V面，∥H，∥W铅垂线：⊥H面，∥V，∥W侧垂线：⊥W面，∥H，∥V。投影面垂直线投影特性当直线AB垂直于投影面时，它在该投影面上的投影ab变成一个点a≡b。直线上任一点M的投影m也重合在这个点上，这种性质叫积聚性；在另外两个投影面的投影垂直于相应的投影轴，且反映实长。

投影面平行线的投影特性反映ＡＢ实长AA正平线NEW反映ＡＢ实长正平线投影图NEW投影面平行线的投影特性水平线ＦefＥ反映ＥＦ实长abcNEWEF实长水平线投影图NEW投影面平行线的投影特性侧平线反映ＣＤ实长NEWＣＤ实长侧平线投影图NEW总结:投影面平行线的投影特性

在所平行的投影面上的投影反映实长；其它两投影平行于相应的投影轴，且小于实长。

NEW投影面垂直线的投影特性投影面垂直线的投影特性铅垂线水平投影积聚为一点；其它两个投影平行于ＯＺ轴，并反映直线ＡＢ实长；直线ＡＢ与H面的夹角实长NEWNEW投影面垂直线的投影特性铅垂线NEW铅垂线的投影NEW投影面垂直线的投影特性正垂线dcCDNEW正垂线的投影NEW投影面垂直线的投影特性侧垂线ＥＦefNEWNEW侧垂线的投影ef总结：投影面垂直线的投影特性

在所垂直的投影面上积聚为一点；其它两投影垂直于相应的投影轴。NEW一般位置直线的投影特性直线的各投影均对投影轴倾斜；直线的各投影与投影轴的夹角并不反映空间直线与相应投影面的倾角。当直线AB倾斜于投影面时，它在该投影面上的投影ab长度小于实长，缩短多少，根据对投影面夹角大小确定。

讨论：如何判断直线于投影面关系投影面平行线：有一个平行于投影轴的投影投影面垂直线：有两个垂直于投影轴的投影有一个投影积聚成一点一般位置直线：有两个不平行于投影轴的投影直角三角形法求直线实长及倾角

以直线段在某一投影面上的投影长度为一直角边，直线段两端与这个投影面的坐标差为另一直角边，所形成的直角三角形的斜边就是该直线段的实长。斜边与投影长度直角边的夹角就是该直线对这个投影面的倾角。直角三角形法中有四个参数，即线段的实长、投影长度、坐标差及直线对投影面的倾角。只要知道其中任两个参数即可作出直角三角形而求出其它两个参数。也就是说，用直角形法不仅可由直线段两投影求实长及倾角，还可以已知一投影实长(或倾角)求线段的另一投影及倾角(或实长)。

一般位置直线ＡＢ对Ｈ面的倾角NEWNEW例：（在Ｖ／Ｈ投影中）在直线ＡＢ上求距Ａ点为２０mm的Ｃ点NEW

一般位置直线ＡＢ对Ｖ面的倾角NEW例：求一般位置直线ＡＢ对Ｖ面的倾角ＡＢ实长NEW

一般位置直线ＡＢ对Ｗ面的倾角NEW例：求一般位置直线ＡＢ对Ｗ面的倾角ＡＢ实长NEW例：直角三角形法例：直角三角形法

例：找出AB、CD、DE直线的第三投影，判断空间位置。铅垂线正垂线正平线NEWNEW直线与点的相对位置一、点在直线上二、点不在直线上三、直线的迹点一、

C点在直线ＡＢ上NEW点Ｃ在直线上ＡＢ上。NEW点Ｃ的投影在直线的同面投影上，并符合点的投影规律。

C点在直线ＡＢ上NEW二、Ｄ点不在直线ＡＢ上。NEW例：判断点Ｍ是否在直线ＣＤ上解法１：

点Ｍ的投影不符合点在直线上的投影规律，故Ｍ点不在直线ＣＤ上。NEWd0M0解法２例：判断点Ｍ是否在直线ＣＤ上O

点Ｍ的投影不符合直线上点定比性，故Ｍ点不在直线ＣＤ上。NEW三、直线的迹点。

ＡＢ直线的正面迹点Ｎ。

ＡＢ直线的水平迹点Ｍ。ANEW直线的迹点

ＡＢ直线的正面迹点Ｎ。

ＡＢ直线的水平迹点Ｍ。直线上点投影的特性

①从属性：点在直线上，点的投影在直线的同面投影上。②定比性：点分线段之比等于点的投影分线段的投影之比。例：直线上点投影的特性

例：直线上点投影的特性

空间两直线的相对位置空间两直线的相对位置同面直线异面直线平行相交交叉平行两直线投影特性两直线的同面投影相互平行，且其长度之比等于投影长度之比。如何利用投影特性根据投影判断两直线是否平行？如果两直线都不平行于投影轴，则有两个投影面投影平行则可以认为直线平行。如果两直线都平行于某投影轴，则必须根据第三投影或比例关系判断。

例：已知直线AB平行直线CD，试完成直线AB和CD的三面投影。

题解：acbb″〝da″〝c″〝d″〝d′〝a′〝c′〝b′〝NEW例：平行两直线投影特性a’c’b’d’c’d’ab相交两直线投影特性相交两直线同面投影都相交，且交点符合点的投影规律如何利用投影特性根据投影判断两直线是否相交？投影上交点连线垂直于投影轴。相交直线可能成为某一投影面的重影线

例：相交两直线投影特性a’c’b’d’c’d’ab交叉两直线投影特性既不符合平行两直线的投影特性，又不符合相交两直线的投影特性交叉直线的同面投影若相交，其交点并非一个点的投影，而是两条直线上的两个点的重影。其重影点的可见性应根据两个点的相对位置来判别。两交叉直线正面投影重影点水平投影重影点交叉两直线的投影

两侧平线的投影反映ＣＤ和ＨＤ的线段实长g´h´g´´h´´hg直角投影定理

如果两直线在空间上垂直(垂直相交或垂直交叉)，当其中一条直线平行于某一投影面时，则两直线在该投影面上的投影垂直。

利用直角投影定理，可完成过点作投影面平行线的垂线，或与其相关的求点到直线距离，求直角三角形、等腰三角形等平面图形投影的作图问题。

相交成直角的两直线，只要其中有一条直线平行于某投影面，则它们在该投影面上的投影仍反映直角。ＡＢＣabc水平线NEWabb′a′例：过Ｂ点作直线ＢＣ垂直于ＡＢ,ＢＣ为任意长度。XONEWabb′a′题意分析：XO水平线（实长）有无穷多解，可任意做一解。NEWabcb′c′a′解：

例：过Ｂ点作直线ＢＣ垂直于ＡＢ,ＢＣ为任意长度XONEWNEW

例:判定下列图中两直线的相对位置（平行、相交、垂直相交、交叉）

1.交叉2.垂直相交3.相交NEW例：直角投影定理

例：直角投影定理

小结1．熟练掌握点在第一分角中的投影特性及作图方法。2．熟练掌握点的投影与该点直角坐标的关系。3．掌握两点的相对位置及重影点的可见性判别。4．熟练掌握各种位置直线的投影特性和作图方法。5．掌握直线上点的投影特性。6．熟练掌握用直角三角形法求一般位置直线段实长及其对投影面倾角的方法，并能灵活运用直角三角形法。7．掌握两直线各种相对位置的投影特性及作图方法和判别方法。8．掌握直角投影定理及其应用。

平面的表示方法

几何元素表示平面：不在同一直线上的三点；一直线和直线外一点；相交两直线；平行两直线；平面图形。迹线表示平面：平面与投影面的交线，称为平面的迹线。平面的迹线有水平迹线、正面迹线、侧面迹线。平面可以用相应的迹线表示其位置。

PV

PW

PH水平迹线PH正面迹线PV侧面迹线PW

用迹线表示的一般位置的平面：new各种位置的平面平面特殊位置平面一般位置平面投影面垂直面投影面平行面投影面垂直面投影特性垂直于一个投影面，倾斜于另两个投影面。正垂面：垂直于V面，对H，W面倾斜铅垂面：垂直于H面，对V，W面倾斜侧垂面：垂直于W面，对H，V面倾斜投影面垂直面的投影特性：平面所垂直的投影面上的投影积聚为直线，与投影轴的夹角，分别反映平面对另两个投影面的真实倾角。（积聚性）在另外两个投影面上的投影均为缩小的平面图形。（类似性）

铅垂面Ｐ的投影Ｐnew投影面垂直面的投影特性铅垂面Ｐnew铅垂面Ｐnewpp″p′正垂面Ｑ的投影Ｑq′q″q投影面垂直面的投影特性new正垂面Ｑqq″q′new侧垂面R的投影Ｒr′r″r投影面垂直面的投影特性r″侧垂面Ｒ的投影rr′new投影面平行面投影特性平行于一个投影面，垂直于另两个投影面。正平面：平行于V面，对H，W面垂直水平面：平行于H面，对V，W面垂直侧平面：平行于W面，对H，V面垂直

投影面平行面投影特性：平面所平行的投影面上的投影反映实形；（实形性）平面在另外两个投影面上的投影均积聚成直线，且平行于相应的投影轴。（积聚性）水平面Ｑ的投影Ｑq′q″q投影面平行面的投影特性投影面平行面的投影特性水平面ＱqＱq″q′q′qq″水平面Ｑ的三面投影投影面平行面的投影特性正平面Ｐ正平面Ｐ的三面投影侧平面Ｒ的投影Rr′r″r投影面平行面的投影特性r′r″r

例如：在该平面立体中Q为水平面，Ｐ为侧垂面，ＡＢ为侧平线，ＣＤ为侧垂线。new一般位置平面投影特性对V，H，W面都倾斜，不在同一直线上的三点构成的平面。投影特性一般位置平面的投影特性：三面投影仍为平面图形，且面积缩小。其投影为和原来形状类似的图形。（类似性）

cbaa′b′c′b″a″c″ACB一般位置平面的投影投影为空间平面的类似形newＯYW

c′

aＸYＨＺ

PW一般位置平面的投影

c

b

a′

b′

a〞

b〞

c〞投影为小于三角形实形的类似形new平面和直线投影特点实形性：投影反映实形。直线或平面平行于投影面时。积聚性：投影积聚成一点或一条线。直线或平面垂直于投影面时。类似性：投影成为缩小的类似形。直线或平面倾斜于投影面时。例：已知平面的两投影，求第三投影。new例：找出图中所标各面的第三投影，并判断它们的空间位置。new1"3"22"ⅡⅢ水平面侧平面铅垂平面实形例：找出投影图中所标的Ｐ平面、Ｑ平面及ＣＢ、ＦＥ直线的三投影，并判断它们的空间位置。Ｐ平面为一般位置平面；Ｑ平面为正平面。ＣＢ直线为正平线；ＦＥ直线为水平线。实形实长new总结在平面作图中要注意利用实形性、积聚性和类似性的性质。平面的三个投影中，必然有一个是封闭线框。一般情况下投影图上的一个封闭线框表示空间一个面的投影。

平面上的点和直线

点和直线在于面上的几何条件是：(1)点在于面上，则该点必定在于面上的一条直线上。(2)直线在于面上，则该直线必定通过这个平面上的两个点；或者通过平面上的一点且平行于平面上的一条直线。上述几何条件，是解决有关平面上点和直线的作图和判别等习题的依据。可以解决三类问题：判别已知点、线是否属于平面；完成已知平面上的点和直线的投影；完成多边形的投影。

cbaa′b′c′b″a″c″ACB平面内的点和直线Ma′b′c′m′m″m若一直线通过平面上的两点，则此直线在该平面上。此直线上的任意点都在该平面在上。new例：判别已知点、线是否属于平面例：判别已知点、线是否属于平面例：完成多边形的投影例：完成多边形的投影ＯYW

c′

aＸYＨＺ

c

b

a′

b′

a〞

b〞

c〞

m

m〞

m′

例：已知点Ｍ在平面三角形ＡＢＣ上，作出Ｍ点的三面投影。

例：求作平面梯形ABCD上的梯形EFGH的水平投影。题解：a′d′e′g′f′h′1′c′2′b′defc1ag2hb例：已知平面四边形ABCD的水平投影abcd和正面投影abd，试完成四边形的正面投影。new平面内的特殊位置直线一、平面内的投影面平行线１.平面内的水平线２.平面内的正平线３.平面内的侧平线new

PV

PW

PH平面内的水平线平面内的正平线平面内的侧平线平面内的投影面平行线new20例：在平面内作一条距H面为20mm的水平线。水平线20例：在水平面内作一条距Ｖ面为20mm的正平线。正平线例：过N点作一正平线MN与已知平面ABC平行。题解：例：求作直线AB的水平投影，并在直线AB上求一点C，使C点距H、V面等距离。new空间分析CV/H的中垂面中垂面上所有的点距V面和Ｈ在的距离相等。题解：new例：求作直线MN，使其与直线AB、CD、EF相交，并与直线CD垂直。

题解：例：完成正方形ABCD的两面投影。题解：▽y▽y二、平面内对投影面的最大斜度线。平面内垂直于该投影面内任意一条投影面平行线的直线，称为平面内对相应投影面的最大斜度线。new平面内对投影面的最大斜度线有三种１.垂直于平面内水平线的直线，是平面内对水平面的最大斜度线。２.垂直于平面内正平线的直线，是平面内对正平面的最大斜度线。３.垂直于平面内侧平线的直线，是平面内对侧平面的最大斜度线。new

平面内对投影面的最大斜度线用于一般位置平面对投影面倾角的求法newＢ1Ｂ

PHＭＮ平面P对水平面H的最大斜度线A1.作平面内的水平线；

2.作对H面的最大斜度线；

3.用直角三角形法求最大斜度线对H面的倾角。求一般位置平面对H面倾角例：求三角形ＡＢＣ对Ｈ面的倾角最大斜度线实长最大斜度线水平投影new例：求三角形ＡＢＣ对Ｖ面的倾角△ｙ△ｙ最大斜度线正面投影最大斜度线实长直线与平面平行

直线与平面平行

平面外的一直线若与平面上的一直线平行，到此直线与平面相互平行。即该直线投影和该平面上某直线投影相平行。若一平面上两相交直线对应地平行于另一平面上两相交直线，则两平面互相平行。直线与投影面垂直面平行

直线的投影平行平行于平面有积聚性的同名投影，或者直线亦积聚为一点。

LKLABDC１.若直线平行于平面内某一直线，则直线与该平面平行直线与平面平行作图问题判别已知线面是否平行；作直线与已知平面平行；包含已知直线作平面与另一已知直线平行。

判别判别已知线面是否平行判别判别已知线面是否平行Ｏ

c′

aＸ

c

b

a′

b′

d

d′

例：判别直线ＤＥ与平面ＡＢＣ是否平行。

e′

e

直线ＤＥ与平面ＡＢＣ不平行。Ｏ

c′

aＸ

c

b

a′

b′

m

m′

例：过Ｍ点作直线与已知三角形平面平行作直线与已知平面平行作直线与已知平面平行包含已知直线作平面与另一已知直线平行包含已知直线作平面与另一已知直线平行平面与平面平行

若平面上的两相交直线分别平行于另一平面内的两相交直线，则这两个平面相互平行。

ＭＮＢ

ＣＡＫ两平面平行的作图问题

判别两已知平面是否相互平行；过一点作一平面与已知平面平行；已知两平面平行，完成其中一平面的投影。

Ｏ

c′

aＸ

c

b

a′

b′

d′

例：过点Ｄ作已知平面的平行面。

e

e′

df

f′Ｏ

c′

aＸ

c

b

a′

b′

d

d′

例：判别平行直线ＣＤ与ＡＢ所确定的平面与平行直线ＥＦ和ＧＫ所决定的平面是否相互平行。

e′

e

f′

k′g′g

k

f两平面不平行直线与平面相交

直线与平面不平行就会相交，其交点是直线与平面的共有点。直线与平面相交的问题就是求直线和平面的交点，难点是判断直线的可见性。

线面的交点线面的交点平面与平面相交

平面与平面相交，其交线是平面与平面的共有线。求两平面交线的基本方法是求出两个共有点或求出一个共有点及交线的方向。

线、面相交作图方法

（1）一般位置直线与有积聚性平面相交，交点的一个投影为直线与平面积聚性投影的交点，另一投影可在直线的投影上找到。（面上定点）线、面相交作图方法

（2）一般位置平面与有积聚性直线相交，交点的一个投影与直线的积聚性投影重合，另一个投影可利用在平面上求点的方法求出。（一眼可见）线、面相交作图方法

（3）有积聚性投影的平面与平面相交，交线的一个投影必定与其中一个平面的积聚性投影重合，交线的另一个投影可根据平面上求点的方法求出。（求积聚点）教材P44