第二章数学模型与数值分析方法

计算机在材料科学与工程中的应用王建刚第1章数学模型与数值分析方法1.1数学模型基础1.2建模步骤和原则1.3建模方法第一部分数学模型第1章数学模型与数值分析方法计算机在材料科学与工程中的应用第二章材料数据分析与模型建立

对于一个客观实际，为了一个特定目的，根据其本身属性及内在规律，作出必要的抽象、简化假设，运用适当的数学工具（数学公式、数学符号、程序及图表等），得到的一个数学结构。基本概念21现实世界数学世界建立数学模型翻译为实际解答始于现实世界并终于现实世界1.1数学模型基础计算机在材料科学与工程中的应用第三章材料数据分析与模型建立2数学模型分类

2按照建立模型数学方法初等模型、图论模型、规划论模型、微分方程模型、最优控制模型、随机模型、模拟模型等。初等模型--为采用简单而且初等的方法建立问题的数学模型。微分方程模型--指的是在所研究的现象或过程中取一局部或一瞬间，然后找出有关变量和未知变量的微分（或差分）之间的关系式，从而获得系统的数学模型。1.1数学模型基础按照对实体的认识过程描述性模型、解释性数学模型。描述性模型—从特殊到一般，从分析具体客观事物及其状态开始，最终得到一个数学模型。解释性模型—由一般到特殊，从一般的公理系统出发，借助于数学壳体，对公理系统给出正确解释。计算机在材料科学与工程中的应用第三章材料数据分析与模型建立1.1数学模型基础按照模型的应用领域人口模型、交通模型、环境模型、生态模型、水资源模型、再生资源利用模型等。按照模型的特征静态模型和动态模型、确定性模型和随机、离散模型和连续性模型、线性模型和非线性模型等。按照模型的了解程度白箱模型、灰箱模型和黑箱模型。计算机在材料科学与工程中的应用第三章材料数据分析与模型建立数学模型的根本作用在于它将客观原型进行抽象和简化，便于人们采用定量的方法去分析和解决实际问题。材料科学从最早的试错法的手工操作到作为当代重要科学支柱，数学的应用起着非常重要的作用，利用数学这一有效工具，可以深刻认识客观现象的本质规律，促进学科发展。在材料研究和应用中，要对有关问题进行计算，就必须先建立该问题的数学模型。（材料设计，生产过程（极端条件，纳米枪））1.1数学模型基础2数学模型的作用

3计算机在材料科学与工程中的应用第三章材料数据分析与模型建立3.1数学模型和数学建模模型准备模型假设模型构成模型求解模型分析模型检验模型应用模型准备了解实际背景明确建模目的搜集有关信息掌握对象特征形成一个比较清晰的‘问题’1.2建立数学模型的一般步骤和原则计算机在材料科学与工程中的应用第三章材料数据分析与模型建立3.1数学模型和数学建模建模一般步骤：模型假设目的性原则、简明性原则、真实性原则、全面性原则在合理与简化之间作出折中模型构成用数学的语言、符号描述问题发挥想像力使用类比法尽量采用简单的数学工具1.2建立数学模型的一般步骤和原则计算机在材料科学与工程中的应用第三章材料数据分析与模型建立3.1数学模型和数学建模模型求解各种数学方法、软件和计算机技术。模型分析如结果的误差分析、统计分析、模型对数据的稳定性分析。模型检验与实际现象、数据比较，检验模型的合理性、适用性。模型应用1.2建立数学模型的一般步骤和原则计算机在材料科学与工程中的应用第三章材料数据分析与模型建立3.1数学模型和数学建模建模的全过程现实对象的信息数学模型现实对象的解答数学模型的解答表述求解解释验证(归纳)(演绎)表述求解解释验证根据建模目的和信息将实际问题“翻译”成数学问题选择适当的数学方法求得数学模型的解答将数学语言表述的解答“翻译”回实际对象用现实对象的信息检验得到的解答实践现实世界数学世界理论实践1.2建立数学模型的一般步骤和原则计算机在材料科学与工程中的应用第三章材料数据分析与模型建立实例：激光冲击残余应力的估算

目前，人们对残余应力的测试一般采用的是一种破坏性的测试方法，而这种方法极大的防碍了激光冲击强化技术在工程中的应用，造成大量人力物力的浪费，增加了生产的成本，限制了人们对被加工性能的有效控制。激光冲击的基本力学模型：１.假设：1)假设在微秒时间内结构在厚度方向上所有质量都受到波及，而结构塑性动力响应通常需要经历毫秒以至更长时间才会达到结构的最大形变；2)假设被冲击的工件材料为理想的刚塑性材料；3)激光冲击压力为GPa;弹性形变塑性形变Shockwave1.2建立数学模型的一般步骤和原则计算机在材料科学与工程中的应用第三章材料数据分析与模型建立

激光冲击应力为一维平面波，在激光冲击区取一个微体积元，仅在x方向考虑被压缩，即冲击波沿X方向传播，考虑应力和应变的关系，为保持x的单轴应变条件而假设y=z,形变侧面Y、Z方向尺寸不变，X方向有弹塑性变形，激光冲击后弹性变形恢复不完全，导致了残余应力的产生。1.2建立数学模型的一般步骤和原则计算机在材料科学与工程中的应用第三章材料数据分析与模型建立2.根据Mises屈服准则有：x-y|b在弹性范围内，应力与应变的关系为：x=+2xy=+2yz=+2z式中：＝x＋y＋z，因为是单轴变形，侧面受到介质约束，x＝（V0-V)/V,y=z=0,V是体积，＝／2(+u)，和u是材料的拉梅常数，是泊松比。(1)xyxyxX01.2建立数学模型的一般步骤和原则计算机在材料科学与工程中的应用第三章材料数据分析与模型建立

在塑性变形状态，应变增量是弹性和塑性增量之和。因而在X方向有：

dx=dxe+dxp因为不存在塑性膨胀，所以有dxp＋dyp+dzp=0微元体中的残余应力是弹性和塑性应变引起的，dx=d+2(dxe+dxp)dy=d+2（dye+dyp）dz=d+2(dze+dzp）(2)1.2建立数学模型的一般步骤和原则计算机在材料科学与工程中的应用第三章材料数据分析与模型建立激光冲击应力作用后，在冲击强化区的y，z方向上由弹性应力引起的弹性变形难以完全恢复，所以，在激光冲击区形成残余应力，于是可得简单算式：y=1-x实际上x是随冲击应力波的衰减而变化，故残余应力y也是随x的变化而变化，设：xe-x有x=maxe-bx(3)(4)其中b为参量；1.2建立数学模型的一般步骤和原则在玻璃(K9)的约束层的条件下，激光冲击产生的峰压可以估算为：Pmax=0.2871/3(A.q0)2/3如果有max=pmax代入公式(４)x=pmaxe-bxy=pmaxe-bx1-(5)计算机在材料科学与工程中的应用第三章材料数据分析与模型建立

显然该式(5)所表达的是Pmax未卸载时残余应力的情形。令x=0，取Pmax＝2.8GPa，＝0.29，则b不论取何值，y=-1.12GPa，这显然与实际测量值y=-400MPa相去甚远，因此必须对式（５）加以修正。首先，由弹性力学原理可知：＝／E.因此，材料的弹塑性形变与弹性模量关系较大，材料受到相同外力作用时，弹性模量大的材料，弹塑性形变小；因此有：yE

(6)1.2建立数学模型的一般步骤和原则其次，由冲击动力学原理可知，当材料的冲击变形深度相同时，材料本身的弹性模量大，屈服极限高，冲击波对材料产生的残余应力的影响就深。如果材料本身弹性模量小，局部极限低，冲击波对材料产生的残余应力深度就浅。因此有：ye-bx/E

(7)结合(４)(５)(６)(７)1-(8)xEPmaxe-bx/EyEPmaxe-bx/E计算机在材料科学与工程中的应用第三章材料数据分析与模型建立然而此时，还需使公式(８)满足边界条件X=0时，解决y与实际残余应力值相差太远的问题，因此还必须在公式(８)中加入一个系数K,即：x=EkPmaxe-bx/Ey=EkPmaxe-bx/E1-(9)利用45钢试样的一组残余应力数据对式（9)进行拟合，从而求得K=2.3x10-6(MPa)-1;b=2.16x108(MPa/m)，将所得的k,b数据代入公式（9）得到激光冲击强化残余应力的一般估算经验公式：

x=2.3x10-6EPmaxe-2.16x108x/Ey=2.3x10-6Pmaxe-2.16x108

x/EE-11.2建立数学模型的一般步骤和原则计算机在材料科学与工程中的应用第三章材料数据分析与模型建立21应用自然科学中已被证明是正确的理论、原理和定律，对被研究系统的有关因素进行分析、演绎、归纳，从而建立系统的数学模型。Eg.在渗碳工艺过程中通过平衡理论找出控制参量与炉气碳势之间的理论关系式。1.3常用的数学建模方法理论分析法结构及性质已经了解，但其数量描述及求解都相当困难。如构造出结构和性质与其相同，可以把后一种模型看成是原来模型的模拟。Eg.钢铁材料中裂纹在外载荷作用下尖端的应力、应变分布，采用环氧树脂制备成具有同样结构的模型，并根据钢铁材料中裂纹形式在环氧树脂模型加工出裂纹；借助实验光测力学的手段来完成分析。22模拟方法计算机在材料科学与工程中的应用第三章材料数据分析与模型建立2类比分析法

3若两个不同的系统，可以用同一形式的数学模型来描述，则此两个系统就可以互相类比。类比分析法是根据两个（或两类）系统某些属性或关系的相似，去猜想两者的其它属性或关系也可能相似的一种方法。Eg.在聚合物的结晶过程中，结晶度随时间的延续不断增加，最后趋于该结晶条件下的极限结晶度，现期望在理论上描述这一动力学过程（即推导Avrami方程）。聚合物的结晶过程包括成核和晶体生长两个阶段，这与下雨时雨滴落在水面上生成一个个圆形水波并向外扩展的情形相类似，因此可通过水波扩散模型来推导聚合物结晶时的结晶度与时间的关系。1.3常用的数学建模方法计算机在材料科学与工程中的应用第三章材料数据分析与模型建立2数据分析法

4若在系统的结构性质不大清楚，但有若干能表征系统规律，描述系统状态的数据可利用时，回归分析是处理这类问题的有利工具。Eg.经实验获得低碳钢的屈服点s

与晶粒直径d对应关系如表1-3中的数据所示，用最小二乘法建立起d与s之间关系的数学模型（即霍尔-配奇Hall-Petch公式）。1.3常用的数学建模方法计算机在材料科学与工程中的应用第三章材料数据分析与模型建立2数据分析法

4按照上述最小二乘法原理，误差平方和为最小的直线是最佳直线。求最小值的条件是40050105286121180242345低碳钢屈服极限与晶粒直径以d-1/2作为x，s作为y，取y=a+by，为一直线。设实验数据点为（Xi，Yi），一般来说，直线并不通过其中任一实验数据点，因此，每点均有偶然误差ei，ei=(a+bXi)-Yi1.3常用的数学建模方法计算机在材料科学与工程中的应用第三章材料数据分析与模型建立1.有限差分法2.有限元法第二部分数值分析方法第1章数学模型与数值分析方法计算机在材料科学与工程中的应用第三章材料数据分析与模型建立2.1有限差分法2概述

1有限差分方法使是以有限差分代替无限微分、以差分代数方程代替微分方程、以数值计算代替数学推导的过程，从而将连续函数离散化，以有限的、离散的数值代替连续的函数分布。主要步骤：1）构成差分格式。首先选择网格布局、差分形式和步长；其次，以有限差分代替无限微分。2）求解差分方程。精确法，又称直接法，即消元法；近似法，又称间接法，即迭代法。3）对所得的数值解进行精度与收敛性分析和检验。计算机在材料科学与工程中的应用第三章材料数据分析与模型建立2差分方程的建立22.1有限差分法△y△xxyi，j+1i+1，ji，ji-1，ji，j-1O1.合理选择网格布局及步长将求解区域内连续变化的自变量离散化，形成离散化网格。网格交点称为结点，区域内函数被离散化。将离散化后各相邻离散点之间的距离，或离散化单元的长度称为步长。2.将微分方程转化为差分方程差分某物理量的有限增量，分向前差分、向后差分和中心差分三种。差商差商为函数的差分与自变量差分之比。计算机在材料科学与工程中的应用第三章材料数据分析与模型建立2差分方程的求解方法32.1有限差分法直接法：矩阵法、Gauss消元法、主元素消元法间接法：Jocobi迭代法、Seidel迭代法和超松弛(SOR)迭代法计算机在材料科学与工程中的应用第三章材料数据分析与模型建立2.2有限元法有限元法的要点：将一个表示结构或连续体的求解域离散为若干个子域（单元），并通过他们边界上的结点相互联结成为组合体。用每个单元内所假设的近似函数来分片地表示全求解域内待求的未知场变量。通过和原问题数学模型（基本方程、边界条件）等效的变分原理或加权余量法，建立求解基本未知量(场函数的结点值)的代数方程组或常微分方程组。计算机在材料科学与工程中的应用第三章材料数据分析与模型建立有限元分析的基本思想:

把连续的几何结构离散成有限个单元的集合体，并在每一个单元中设定有限个节点，从而将连续体看作仅在节点处相连接的一组单元的集合体；同时选定场函数的节点值作为基本未知量，并在每一单元中假设一近似插值函数以表示单元中场函数的分布规律，再建立用于求解节点未知量的有限元方程组，从而将一个连续域中的无限自由度问题化为离散域中的有限自由度问题，求解得到节点值后就可以通过设定的插值函数确定单元上以致整个集合体上的场函数。运用有限元法可以模拟和逼近复杂的求解域。

2.2有限元法计算机在材料科学与工程中的应用第三章材料数据分析与模型建立ANSYS有限元分析的典型步骤：

1）利用前处理模块，建立有限元模型，包括（1）定义单元类型，（3）定义实常数，（4）定义材料属性，（5）建立几何模型，（6）对几何模型划分网格；2）利用求解模块进行加载和计算；3）利用后处理模块查看结果，对结果图形显示和输出。2.2有限元法计算机在材料科学与工程中的应用第三章材料数据分析与模型建立2有限元法的基本概念-直接刚度法12.2有限元法通过一个例子来介绍直接刚度法，说明有限元法求解的一般步骤。例：考虑一个变截面杆，如图示。杆的一端固定，另一端承受P=1000N的载荷，杆的顶部宽w1=2cm，杆的底部宽w2=1cm，杆的厚度t=0.125cm，长度L=10cm，杆的弹性模量E=10.4×105MPa。试分析该杆沿长度方向不同位置的变形情况，质量忽略不计。1.前处理过程(1)求解区域离散化将求解的问题分解为结点和单元计算机在材料科学与工程中的应用第三章材料数据分析与模型建立3.2数学建模软件简介2.2有限元法(2)建立单元位移方程先考虑一截均一长度为l、截面为A的固体单元受外力F的变形情况。以弹簧的变形来模拟固体单元的变形，等价刚度为：keq=AE/l前面问题可近似将杆模型化为不同截面的等截面杆的串联。杆在顶端固定，静态平衡时，可获得如下方程：10000-k1

k1+k2-k2000-k2

k2+k3-k3000-k3

k3+k4-k4000-k4

k4u1u2u3u4u50000P=计算机在材料科学与工程中的应用第三章材料数据分析与模型建立2.2有限元法(3)建立单元刚度方程每个单元有两个结点，每个结点可建立两个方程。方程包含结点位移和单元的刚度。结点i和i+1处可有方程：(4)单元集成将上式用于所有单元，进行集成，得到总体刚度矩阵：keq-keq

-keq

keqfifi+1uiui+1=k1

-k1000-k1

k1+k2-k2000-k2

k2+k3-k3000-k3

k3+k4-k4000-k4

k4=K(G)

(5)施加边界条件和载荷2.求解阶段3.后处理阶段计算机在材料科学与工程中的应用第三章材料数据分析与模型建立(一)加权余量法工程或物理学中的许多问题，通常是以未知场函数应满足的微分方程和边界条件的形式提出来的，可以一般地表示为未知函数u应满足微分方程组：2.2有限元法2有限元法的基本理论2域Ω可以是体积域，面积域等，如图示，同时未知函数u还应满足边界条件：Υ是域Ω的边界(2-1)(2-2)计算机在材料科学与工程中的应用第三章材料数据分析与模型建立2.2有限元法要求解得未知函数u可以是标量场（如温度场），也可是几个变量组成的向量场（如位移、应变、应力等）。A、B是对于独立变量的微分算子。微分方程组是（2-1）在域Ω中每一点都必须为零，因此：(2-3)其中V是函数向量，它是和微分方程个数相等的任意函数。同理，假如边界条件式（2-2）也同时在边界上的每一点都得到满足，对于一组任意函数V应有：(2-4)因此若积分形式对于所有的V和V都成立，式（2-5）称为微分方程的等效积分形式。(2-5)计算机在材料科学与工程中的应用第三章材料数据分析与模型建立2.2有限元法对于微分方程式（2-1）和边界条件式（2-2）所表达的物理问题，未知函数u可以用近似函数来表示。近似函数是一族带有待定参数的已知函数，一般形式是：(2-6)式中，ai是待定参数，Ni是称为试探函数的已知函数。在式（2-5）中，用n个规定函数来代替任意函数V和V，即：(2-7)可以得到近似的等效积分形式：权函数采用使余量的加权积分为零的方法来求微分方程的近似解的方法称为加权余量法。(2-8)计算机在材料科学与工程中的应用第三章材料数据分析与模型建立