高中数学北师大版第二章函数 精品获奖

(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)一、选择题(每小题5分，共20分)1．下列结论中，正确的是()A．幂函数的图像都通过点(0,0)，(1,1)B．幂函数的图像可以出现在第四象限C．当幂指数α取1,3，eq\f(1,2)时，幂函数y＝xα是增函数D．当幂指数α＝－1时，幂函数y＝xα在定义域上是减函数解析：当幂指数α＝－1时，幂函数y＝x－1的图像不通过原点，故选项A不正确；因为所有的幂函数在区间(0，＋∞)上都有定义，且y＝xα(α∈R)，y>0，所以幂函数的图像不可能出现在第四象限，故选项B不正确；当α＝－1时，y＝x－1在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上是减函数，但在它的定义域上不是减函数，故选项D不正确．答案：C2．下列幂函数中过点(0,0)，(1,1)的偶函数是()A．y＝xeq\f(1,2) B．y＝x4C．y＝x－2 D．y＝xeq\f(1,3)解析：函数y＝xeq\f(1,2)定义域为(0，＋∞)，既不是奇函数也不是偶函数，故A不正确；函数y＝x4是过点(0,0)，(1,1)的偶函数，故B正确；函数y＝x－2不过点(0,0)，故C不正确；函数y＝xeq\f(1,3)是奇函数，故D不正确．答案：B3．设a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\f(3,4)，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)))eq\f(3,4)，c＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\f(1,2)，则()A．a<b<c B．c<a<bC．b<c<a D．b<a<c解析：由y＝xeq\f(3,4)是[0，＋∞)上的增函数，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)))eq\f(3,4)<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\f(3,4)，由y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x是R上的减函数，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\f(3,4)<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\f(1,2).∴b<a<c.答案：D4．已知函数y＝xa，y＝xb，y＝xc的图像如图所示，则a，b，c的大小关系为()A．c<b<a B．a<b<cC．b<c<a D．c<a<b解析：由幂函数的图像特征知，c<0，a>0，b>0.由幂函数的性质知，当x>1时，幂函数的幂指数大，其函数值就大，则a>b.综上所述，可知c<b<a.答案：A二、填空题(每小题5分，共10分)5．已知幂函数f(x)＝xm2－1(m∈Z)的图像与x轴，y轴都无交点，且关于原点对称，则函数f(x)的解析式是________．解析：∵函数的图像与x轴，y轴都无交点，∴m2－1<0，解得－1<m<1；∵图像关于原点对称，且m∈Z，∴m＝0，∴f(x)＝x－1.答案：f(x)＝x－16．已知幂函数f(x)＝xα的部分对应值如下表：x1eq\f(1,2)f(x)1eq\f(\r(2),2)则不等式f(|x|)≤2的解集是________．解析：由表中数据知eq\f(\r(2),2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))α，∴α＝eq\f(1,2)，∴f(x)＝xeq\f(1,2)，∴|x|eq\f(1,2)≤2，即|x|≤4，故－4≤x≤4.答案：{x|－4≤x≤4}三、解答题(每小题10分，共20分)7．已知幂函数f(x)＝x－m2＋2m＋3(m∈Z)为偶函数，且在区间(0，＋∞)上是单调增函数．求函数f(x)的解析式．解析：∵f(x)在区间(0，＋∞)上是单调增函数，∴－m2＋2m＋3>0，即m2－2m－3<0，－1<m<3.又m∈Z，∴m＝0,1,2，而m＝0,2时，f(x)＝x3不是偶函数，m＝1时，f(x)＝x4是偶函数，∴f(x)＝x4.8．已知幂函数f(x)＝xa的图像经过点Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\r(2))).(1)求实数a的值；(2)用定义证明f(x)在区间(0，＋∞)内的单调性．解析：(1)∵f(x)＝xa的图像经过点Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\r(2)))，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))a＝eq\r(2)，即2－a＝2eq\f(1,2)，∴a＝－eq\f(1,2).(2)证明：任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1<x2，则f(x2)－f(x1)＝x2－eq\f(1,2)－x1－eq\f(1,2)＝eq\f(1,\r(x2))－eq\f(1,\r(x1))＝eq\f(\r(x1)－\r(x2),\r(x1x2))＝eq\f(x1－x2,\r(x1x2)·\r(x1)＋\r(x2)).∵x2>x1>0，∴x1－x2<0，且eq\r(x1x2)·(eq\r(x1)＋eq\r(x2))>0，于是f(x2)－f(x1)<0，即f(x2)<f(x1)，所以f(x)＝x－eq\f(1,2)在区间(0，＋∞)内是减函数．eq\x(尖子生题库)☆☆☆9．(10分)已知幂函数f(x)＝xeq\f(1,m2＋m)(m∈N*)．(1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；(2)若函数还经过(2，eq\r(2))，试确定m的值，并求满足f(2－a)>f(a－1)的实数a的取值范围．解析：(1)∵m∈N*，∴m2＋m＝m×(m＋1)为偶数．令m2＋m＝2k，k∈N*，则f(x)＝xeq\f(1,2k)＝eq\r(2k,x)，∴定义域为[0，＋∞)，在[0，＋∞)上f(x)为增函数．(2)∵eq\r(2)