第二章 波函数与薛定谔方程

第二章波函数和薛定谔方程--量子力学的基本方程埃尔文·薛定谔沃纳·海森堡23岁2.1薛定谔方程真空中自由传播的电磁波满足波动方程用算符表示有以下关系薛定谔方程非相对论量子力学的基本方程其分离变量函数形式的特解解方程E的物理意义就是能量2.2波函数的统计诠释电子源感光屏PPOQQO结论：衍射实验所揭示的电子的波动性--许多电子在同一个实验中的统计结果，或者是一个电子在许多次相同实验中的统计结果。波函数正是为了描述粒子的这种行为而引进的，在此基础上，Born提出了波函数意义的统计解释。假设衍射波波幅用Ψ(r)描述，与光学相似，衍射花纹的强度用|Ψ(r)|2

描述，但意义与经典波不同。据此，描写粒子的波可以认为是几率波，反映微观客体运动的一种统计规律性，波函数Ψ(r)有时也称为几率幅。这就是首先由Born

提出的波函数的几率解释，它是量子力学的基本原理。|Ψ(r)|2

的意义是代表电子出现在r点附近几率的大小，确切的说，|Ψ(r)|2ΔxΔyΔz表示在r点处，体积元ΔxΔyΔz中找到粒子的几率。波函数在空间某点的强度（振幅的绝对值的平方）和在这点找到粒子的几率成比例。波函数总结：（1）“微观粒子的运动状态用波函数描述，描写粒子的波是几率波”，这是量子力学的一个基本假设（基本原理）。（2）波函数一般用复函数表示。（3）波函数一般满足连续性、有限性、单值性。（4）这即是要求描写粒子量子状态的波函数Ψ必须是绝对值平方可积的函数。波函数的性质

1.几率密度2.平方可积在t时刻r点，单位体积内找到粒子的几率是：ω(r,t)=dW(r,t)/dτ=C|Ψ(r,t)|2

在体积V内，t时刻找到粒子的几率为：W(t)=∫VdW=∫Vω(r,t)dτ=C∫V|Ψ(r,t)|2dτ

由于粒子存在空间中,在全空间找到粒子的几率应等于1，所以： ∫∞|Ψ(r,t)|2dτ=1,无穷大表示对整个空间积分3．波函数的归一化条件在时刻，在空间任意两点1和2处找到粒子的相对几率是：考虑Schrodinger方程及其共轭式：取复共轭在空间闭区域τ中将上式积分，则有：闭区域τ上找到粒子的总几率在单位时间内的增量J是几率流密度几率（粒子数）守恒的积分表示式。令τ趋于∞，即让积分对全空间进行，考虑到任何真实的波函数应该是平方可积的，波函数在无穷远处为零，则式右面积分趋于零，于是

其微分形式与流体力学中连续性方程的形式相同S2.3定态（具有确定能量值的状态）分离时空变量如果波函数满足归一化条件关于连续性在V(x)取有限值的区域内，ψ及ψ’均为连续函数，并取有限值V(x)->∞处ψ(x)->0，ψ’有可能不连续V(x)->-∞处ψ有可能趋于∞，ψ’有可能不连续关于定态薛定谔方程的定理如果ψ=u+iv(u,v为实函数）是对应于某个特征值E的解，则其实部和虚部都是方程的解。对于一维薛定谔方程，如果ψ1和ψ2是某个能量特征值E的两个线性独立解，则

ψ1ψ2’

-ψ2ψ1’

=C（常数）对于一维薛定谔方程，与任何一个能量特征值相应的线性独立解最多有两个，即每个能级最多有两个简并态。关于定态薛定谔方程的定理对于一维束缚态，所有能级都是非简并的，波函数为实函数。对于一维束缚定态，如果V(x)为偶宇称，则每一个ψE(x)都有明确的宇称性。例1粒子的一维自由运动。2.4一维平底势阱中的粒子1、无限深平底势阱势场在势阱内（），满足的薛定谔方程为:V趋向于无穷大，根据波函数满足的连续性和有限性条件，只有当波函数为零时才成立，所以有：在势阱内（），满足的薛定谔方程为:

它的通解是：

边界条件偶宇称态A和B不能同时为零,否则波函数为零,这在物理上是没有意义的。波函数为：能量为：奇宇称态图示2、有限深平底势阱-aaV=0V=0V=-V0在势阱外（），满足的薛定谔方程为:在势阱内（），满足的薛定谔方程为:

束缚态（-V0<E<0)在势阱外（），满足的薛定谔方程为:束缚态的由来偶宇称态奇宇称态？？？3、δ势阱对有限深方势阱，如果V0->∞,a->0,同时保持γ=2V0a为有限值，就得到一个δ势阱Hamilton量：定态Schrödinger方程：

2.5一维谐振子同时令：

为待定常数引入无量纲变量当时，方程的渐近形式为：

当很大时，和相比可以略去，因而在时，上面方程的解可写为：

代入方程可得满足的微分方程

可得厄密方程本征值问题的本征值：例如由归一化条件求得归一化常数为：能量本征函数归一化后的本征函数为：本征函数几率密度n=10时谐振子的几率密度例质量m，电荷q的粒子，受到弹性力(-kx)和均匀电场的共同作用，势能可以表示为求定态能级和波函数2.6势垒贯穿薛定谔方程为:V0>E经典力学解答粒子不能越过势垒，将在1|2壁处反弹量子力学解答粒子有一定概率贯穿设粒子从左侧入射入射波、透射波和反射波的流量：

根据波函数（导数）连续可以得到系数之间的关系例计算势垒穿透系数宏观情形微观情形结论：微观领域势垒贯穿现象容易发生E>V0反射系数和透射系数量级大致相同，透射容易发生特殊情况—共振透射：|D/A|2=12a/λ=1,2,3…λ为物质的波波长任意形状的势垒

对于任意形状的势垒V（x),我们可以把这个势垒看作是许多方形势垒组成的，每个方形势垒宽为dx,高为V(x)。能量为E的粒子在x=