第2章-计算流体动力学分析-CFD软件原理及应用

计算流体动力学分析

-CFD软件原理与应用王福军编著.北京:清华大学出版社,2004.9第2章基于有限体积法的

控制方程离散汇报人：华南理工大学机械与汽车工程学院机械工程2班内容提要1离散化概述2有限体积法及其网格简介3一维稳态问题的有限体积法4常用离散格式5空间离散的高阶离散格式内容提要6各种离散格式的性能对比7一维瞬态问题的有限体积法8有限体积法的进一步讨论9二、三维问题的离散方程一、离散化概述1.离散化的目的2023/2/36二、有限体积法及其网格简介1.有限体积法的基本思想2023/2/38三、求解一维稳态问题的

有限体积法1.问题描述2023/2/310四、常用的离散格式2023/2/3121.离散格式（discretizationscheme）：也就是插值方式。2.插值的目的：建立离散方程，通过体积上的节点物理量，求出体积界面上的物理量。3.本节介绍最基本、应用最广泛的一阶离散格式。2023/2/3131.前提：离散格式并不会影响控制方程中的源项和瞬态项，因此选取简单的、一维、稳态、无源项的对流-扩散问题为讨论对象。1.术语与约定2.通过一些列推导，可以化简为如下公式左图表示控制体积P及界面上的流速。在x方向的对流-扩散行为，通过w、e两个界面。公式中参数的含义：F：通过单位面积的对流质量通量；D：界面的扩散传导性φ：通用变量，或者广义未知量在速度场已知的情况下，FE、FW是可以得到的；因此，只需要计算φ在E和W处的值即可。因此，必须决定界面物理量如何通过节点的插值来表示。也就是确定离散格式。（？？）2023/2/3142.中心差分格式2.1中心差分格式（centraldifferencingscheme）的数学描述中心插值，也就是说采用线性插值方式来计算。通过下面的公式可以看出。经过一系列化简，中心插分格式的对流-扩散插值方程如下所示：方程的未知量是各点的φ值，即是

FE、Fφ、FW。求解这个方程组，可以得到未知量φ在空间的分布。原始公式：其中，2023/2/3152.中心差分格式2.2中心插分格式的特点及适用性

在上述公式中，D是由扩散项的中心差分所形成的，代表了扩散过程的影响；F则是分段线性插值方式，在均匀的网格下的表现，代表了对流过程的影响。

引入一个新参数，Pe=F/D，那么，将方程组的解与精确解对比可知：

当Pe<2时，两者基本吻合；但当Pe>2时，计算结果完全失去意义。这是由于aE小于0的缘故。结论：根据数学上的分析可知，要满足Pe<2的条件，只能使得速度很小、网格间距很小。因此，公式的限制程度很大，中心差分格式不能作为一般流动问题的离散格式。2023/2/3163.一阶迎风格式3.1一阶迎风格式格式的数学描述从前面的分析可知，界面w处的广义物理量φ会同时受到临近的两个点P、W的共同影响，但是这个模型是从左往右流动的，因此，上游的P点的影响力是要大于下游的W点，可以知道，上一节的中心差分明显是不合适的。

考虑到流动方向的影响，于是提出了迎风格式firstorderupwindscheme。经过一系列化简，中心插分格式的对流-扩散插值方程如下所示：式中各物理量的意义如前所述。由于这种插值方式存在一阶的余项，因此称之为一阶迎风格式。其中，原始公式：2023/2/3173.2一阶迎风格式格式的特点及适用性3.一阶迎风格式一阶迎风格式解决了中心插分格式中，三个a值可能为负数的问题，因此，这样的方程组求得的解不会震荡，看上去是合理的。这一点也使得一阶迎风格式在过去有着广泛的应用。

缺点及不足：

（1）一阶迎风格式简单的按照界面流速的正负性来决定a的取值，没有考虑到Pe的取值。但精确解还是与Pe的大小有关；

（2）一阶迎风格式的扩散项永远按照中心差分的方式来计算。但是，在D值很小的情况下，扩散作用很小；但此时，迎风格式中的扩散项仍然按平均值计算，明显有所缺陷。2023/2/3184.混合格式

将上述两种方法综合起来，就是混合格式hybridscheme。当|Pe|<2时，使用二阶中心差分格式；|Pe|>2时，采用一阶迎风格式。经过一系列化简，混合格式插值方程如下所示，各物理量的意义如前所述：优点：不会出现震荡解，无条件稳定；与高阶离散格式相比，计算效率较高；缺点：只具有一阶精度。其中，原始公式：2023/2/3195.指数格式指数格式（exponentialscheme）是利用方程的精确解建立起来的一种离散格式。综合考虑了传导和对流两方面的影响。其中，原始公式：优点：在应用一维问题时，对于任何的P值、任意网格数量，都可以获得精确解；缺点：指数运算耗费时间；只在一维且源项为0的情况下才可以实现。2023/2/3206.乘方格式乘方格式（power-lawscheme）则是与上述指数格式非常接近的一种离散格式。当P>10时，扩散项D按0计算；当0<P<10时，单位面积上的通量按照一个多项式来计算。其中，化简公式：这种离散格式的计算精度与指数格式较为接近，但比指数格式要省时。它与混合格式有着类似的性质，常作为混合格式的替代格式。使用也较为普遍。2023/2/3217.各种离散格式的汇总离散格式系数aW系数aE中心差分格式一阶迎风格式混合格式指数格式乘方格式对于一维、稳态、无源项的对流-扩散方程，最终都生成了相同的离散方程：且有2023/2/3228.低阶格式中的假扩散与人工粘性总结：1.本节介绍的各种离散形式，都属于低阶离散。在对流-扩散方程中，对流项引起的计算误差称之为“假扩散”（falsediffusion）。因为这种离散格式截差的首项包括一阶导数，使得数值计算过程中扩散的作用被人为的放大了。也就相当于引进了人工粘性（artificialviscosity）或数值粘性（numbericalviscosity）；2.假扩散的成因：非稳定项和对流项的一阶导数离散；流动方向和网格线成倾斜交叉；非常数的源项的影响；3.为了消除或减轻数值计算中的假扩散，可以采用截断误差较高的离散格式；或者采用自适应网格，使得网格朝向和流动方向一致。五、空间离散的高阶离散格式1.二阶迎风格式2023/2/324

上述的各种离散格式，虽然可以保证计算的稳定性、满足流动方向的要求，但一阶精度会导致假扩散。因此，本章提出高阶离散格式，它的改变主要有两点：引入更多的相邻节点；考虑流动方向性的问题。高阶离散格式可以有效降低这种误差。

二阶迎风格式与一阶迎风格式类似。但区别在于，要求出P处的未知量φ前者需要用到上游两个节点的值（WW和W），后者只需要用到上游一个点（W）的值。2023/2/3251.二阶迎风格式二阶迎风格式的对流-扩散方程的离散方程：化简公式：其中，其中，当流动沿着正方向时，有Fw>0和Fe>0，α=1；当流动沿着负方向时，有Fw<0和Fe<0，α=0.二阶迎风格式是在一阶迎风格式的基础上，考虑了物理量在节点间分布曲线的曲率影响。实际上，对流项采用二阶迎风，扩散项仍是中心差分。显然，其截断误差是二阶的，可以减少假扩散。2023/2/3262.QUICK格式对流运动的二次迎风插值（QuadraticUpwindInterpolationofConvectiveKinematics）2.1QUICK格式的数学描述化简公式：其中，其中，当Fw>0时，有αw=1；当Fe>0时，有αe=1；当Fe<0时，有αw=0；当Fe<0时，有αe=0。

2023/2/3272.QUICK格式2.2QUICK格式的特点及其改进格式

优点：对于与流动方向对齐的结构网格而言，QUICK格式将可产生比二阶迎风格式更为精确的计算结果，例如六面体网格（三维问题）和四边形网格（二维问题）。对于其他类型的网格，一般使用二阶迎风格式。缺点：QUICK格式并不是绝对稳定。因此，很多人提出了改进的办法。其中，化简公式：其中，当Fw>0时，有αw=1；当Fe>0时，有αe=1；当Fe<0时，有αw=0；当Fe<0时，有αe=0。

但它总能得到稳定解。2023/2/3283.对高阶格式的讨论离散格式的三个要求：（1）良好的稳定性；（2）较高的精度；（3）适应不同的流动形式。综合分析上述的几种离散方式之后，可以知道两点结论：

（1）在满足稳定性的范围内，一般来说，在截断误差较高的格式下，对应的解准确度更高。例如，三阶截差的QUICK格式往往具有较高的精度。在采用低阶截差格式时，应使得网格足够密，以减少假扩散；

（2）稳定性和准确性常常互相矛盾。例如，一阶迎风格式是无条件稳定，但精度不高；三阶QUICK格式不是无条件稳定的，但是精度较高。常见离散格式的性能对比如表所示：2023/2/3293.对高阶格式的讨论离散格式稳定性及稳定条件精度与经济性中心差分条件稳定P≤2不发生震荡的范围内内，可以有较准确的结果一阶迎风绝对稳定P较大时，假扩散严重。需要加密计算网格二阶迎风绝对稳定精度比一阶迎风高，但仍有假扩散混合格式绝对稳定P≤2时，性能与中心差分相同；P>2时，性能与一阶迎风相同指数格式绝对稳定适用于无源项的对流-扩散模型。当源项不是常数时，若P较